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1.路灯照明问题。

在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。

在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？

如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？

如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？

解：

一：

假设1、光的亮度与光的功率成正比，即I=kP。

（k为常数）

假设2、光的亮度与距离的平方成反比，即I=a/x^2。

（a为常数）

则可知一功率为P的灯泡照在距离x米的地面的光的亮度I=AP/x^2。

（A为常数）

假设A=1，则可知光的亮度I=P/x^2。

取2kw的灯所对的地面为坐标原点，则任意一个距原点为x的地面的亮度可表示为：

I=3/[（20-x）^2+6^2]+2/（x^2+5^2）

1）记x1表示地面上最暗点，编程如下求解：

dx=0.01;

x=9.4:

dx:

9.5;

y=3./（（20-x）.^2+6^2）+2./（x.^2+5^2）;

plot（x,y）

可知最暗点x1=9.43m。

2）记x2表示地面的最亮点，编程如下求解：

dx=0.001;

x=19.85:

dx:

19.95;

y=3./（（20-x）.^2+6^2）+2./（x.^2+5^2）;

plot（x,y）

gridon

可知最亮点x2=19.9m。

二：

当3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化时，记h表示3kw灯泡的高度。

则可知任意点的亮度可表示为：

I=3/[（20-x）^2+h^2]+2/（x^2+5^2）

做出I与x,h的图像：

dx=0.01;dh=0.01;

x=0:

dx:

20;h=3:

dh:

9;

[X,H]=meshgrid（x,h）;

Y=3./（（20-X）.^2+H.^2）+2./（X.^2+5^2）;

mesh（X,H,Y）

需求hm,和xm的值。

编程如下：

m=0;

x1=0;

x2=20;

forn=1:

6001

h=3+（n-1）/1000;

y=@（x）3./（（20-x）.^2+h^2）+2./（x.^2+5^2）;

[xn,fn]=fminbnd（y,x1,x2）;

iffn>m

m=fn;

minmax=n;

end

end

hm=3+（minmax-1）/1000

y1=@（x）3./（（20-x）.^2+hm^2）+2./（x.^2+5^2）;

[xm,fm]=fminbnd（y1,x1,x2）

hm=

3

xm=

8.5823

fm=

0.0418

所以可知当3kw灯泡的高度为3m、最距原点为8.5823m存在最暗点中的最亮点。

三：

假设2kw灯的高度为hm1，3kw灯的高度为hm2时，路面上最暗点xm处的亮度最大，编如下程序进行求解：

m=0;

x1=0;

x2=20;

forn=1:

601

h1=3+（n-1）/100;

fora=1:

601

h2=3+（a-1）/100;

y=@（x）3./（（20-x）.^2+h1^2）+2./（x.^2+h2^2）;

[xn,fn]=fminbnd（y,x1,x2）;

iffn>m

m=fn;

minmax1=n;

minmax2=a;

end

end

end

hm1=3+（minmax1-1）/100

hm2=3+（minmax2-1）/100

y1=@（x）3./（（20-x）.^2+hm1^2）+2./（x.^2+hm2^2）;

[xm,fm]=fminbnd（y1,x1,x2）

hm1=

3

hm2=

3

xm=

9.2413

fm=

0.0452

所以可知当2kw和3kw的灯都处于3m高的时候，在距原点为9.2413m处存在最暗时候的最亮点。

2.山区地貌：

在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。

平面区域为

1200<=x<=4000,1200<=y<=3600）

试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。

表3.8某山区高程表

y

x

1200

1600

2000

2400

2800

3200

3600

4000

1200

1130

1250

1280

1230

1040

900

500

700

1600

1320

1450

1420

1400

1300

700

900

850

2000

1390

1500

1500

1400

900

1100

1060

950

2400

1500

1200

1100

1350

1450

1200

1150

1010

2800

1500

1200

1100

1550

1600

1550

1380

1070

3200

1500

1550

1600

1550

1600

1600

1600

1550

3600

1480

1500

1550

1510

1430

1300

1200

980

（1）“Nearest”方法：

x=[12001600200024002800320036004000];

y=[1200160020002400280032003600];

z=[11301250128012301040900500700

13201450142014001300700900850

139015001500140090011001060950

15001200110013501450120011501010

15001200110015501600155013801070

15001550160015501600160016001550

1480150015501510143013001200980];

[xi,yi]=meshgrid（1200:

100:

4000,1200:

100:

3600）;

zi=interp2（x,y,z,xi,yi,'Nearest'）

subplot（1,2,1）

mesh（xi,yi,zi）

xlabel（'长度'）,ylabel（'宽度'）,zlabel（'高度'）,

title（'某山地可视化图形'）

subplot（1,2,2）

contour（xi,yi,zi）

title（'某山地等高线'）

（2）“Linear”方法：

x=[12001600200024002800320036004000];

y=[1200160020002400280032003600];

z=[11301250128012301040900500700

13201450142014001300700900850

139015001500140090011001060950

15001200110013501450120011501010

15001200110015501600155013801070

15001550160015501600160016001550

1480150015501510143013001200980];

[xi,yi]=meshgrid（1200:

100:

4000,1200:

100:

3600）;

zi=interp2（x,y,z,xi,yi,'linear'）

subplot（1,2,1）

mesh（xi,yi,zi）

xlabel（'长度'）,ylabel（'宽度'）,zlabel（'高度'）,

title（'某山地可视化图形'）

subplot（1,2,2）

contour（xi,yi,zi）

title（'某山地等高线'）

（3）“Cubic”方法：

x=[12001600200024002800320036004000];

y=[1200160020002400280032003600];

z=[11301250128012301040900500700

13201450142014001300700900850

139015001500140090011001060950

15001200110013501450120011501010

15001200110015501600155013801070

15001550160015501600160016001550

1480150015501510143013001200980];

[xi,yi]=meshgrid（1200:

100:

4000,1200:

100:

3600）;

zi=interp2（x,y,z,xi,yi,'Cubic'）

subplot（1,2,1）

mesh（xi,yi,zi）

xlabel（'长度'）,ylabel（'宽度'）,zlabel（'高度'）,

title（'某山地可视化图形'）

subplot（1,2,2）

contour（xi,yi,zi）

title（'某山地等高线'）

（4）Spline方法：

x=[12001600200024002800320036004000];

y=[1200160020002400280032003600];

z=[11301250128012301040900500700

13201450142014001300700900850

139015001500140090011001060950

15001200110013501450120011501010

15001200110015501600155013801070

15001550160015501600160016001550

1480150015501510143013001200980];

[xi,yi]=meshgrid（1200:

100:

4000,1200:

100:

3600）;

zi=interp2（x,y,z,xi,yi,'Spline'）

subplot（1,2,1）

mesh（xi,yi,zi）

xlabel（'长度'）,ylabel（'宽度'）,zlabel（'高度'）,

title（'某山地可视化图形'）

subplot（1,2,2）

contour（xi,yi,zi）

title（'某山地等高线'）

另一种画法

x=[12001600200024002800320036004000];

y=[1200160020002400280032003600];

z=[1130,1250,1280,1230,1040,900,500,700;

1320,1450,1420,1400,1300,700,900,850;

1390,1500,1500,1400,900,1100,1060,950;

1500,1200,1100,1350,1450,1200,1150,1010;