浙江高考数学一轮复习随机事件的概率古典概型.docx
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浙江高考数学一轮复习随机事件的概率古典概型
第五节
随机事件的概率、古典概型
1.事件的相关概念
2.频数、频率和概率
(1)频数、频率:
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.
(2)概率:
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.
3.事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A发生⇒B发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A=B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A+B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立事件
A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B=∅,
P(A∪B)=1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为1.
(3)不可能事件的概率为0.
(4)概率的加法公式:
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
(5)对立事件的概率:
若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).
5.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
6.古典概型
(1)
(2)概率计算公式:
P(A)=.
[小题体验]
1.(教材习题改编)某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为____________;中10环的概率约为________.
解析:
中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为=0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.
答案:
0.9 0.2
2.(教材习题改编)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心的概率是,取到方块的概率是,则取到黑色牌的概率是________.
答案:
3.(教材习题改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球,则在先摸出1个白球后放回的条件下,再摸出1个白球的概率是________.
解析:
先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率,实质上就是第二次摸到白球的概率,因为袋内装有2个白球和3个黑球,因此概率为.
答案:
4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.
解析:
两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3),总的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种.∴所求概率P==.
答案:
1.易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.
2.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
3.概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=∅,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.
[小题纠偏]
1.甲:
A1,A2是互斥事件;乙:
A1,A2是对立事件,那么( )
A.甲是乙的充分但不必要条件
B.甲是乙的必要但不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
解析:
选B 两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不一定成立.
2.从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中,随机抽取1张.事件A为“抽到红桃K”,事件B为“抽到黑桃”,则P(A∪B)=________(结果用最简分数表示).
解析:
∵P(A)=,P(B)=,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=+==.
答案:
[题组练透]
1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶D.两次都不中靶
解析:
选D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.
2.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是________,互为对立事件的是________.
解析:
设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为A∩B=∅,A∩C=∅,B∩C=∅,B∩D=∅,故A与B,A与C,B与C,B与D为互斥事件.而B∩D=∅,B∪D=I,故B与D互为对立事件.
答案:
A与B,A与C,B与C,B与D B与D
[谨记通法]
判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
[题组练透]
1.在投掷一枚硬币的试验中,共投掷了100次,“正面朝上”的频数为51,则“正面朝上”的频率为( )
A.49 B.0.5
C.0.51D.0.49
解析:
选C 由题意,根据事件发生的频率的定义可知,“正面朝上”的频率为=0.51.
2.某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
217
200
300
85
98
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
解:
(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.
(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.
(3)与
(1)同理,可得:
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1,
所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
[谨记通法]
1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
[提醒] 概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
[典例引领]
某战士射击一次,问:
(1)若中靶的概率为0.95,则不中靶的概率为多少?
(2)若命中10环的概率是0.27,命中9环的概率为0.21,命中8环的概率为0.24,则至少命中8环的概率为多少?
不够9环的概率为多少?
解:
(1)设中靶为事件A,则不中靶为.
则由对立事件的概率公式可得,
P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.
即不中靶的概率为0.05.
(2)设命中10环为事件B,命中9环为事件C,命中8环为事件D,由题意知P(B)=0.27,P(C)=0.21,P(D)=0.24.
记至少命中8环为事件E,
则P(E)=P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)
=0.27+0.21+0.24=0.72.
故至少命中8环的概率为0.72.
记至少命中9环为事件F,则不够9环为,
则P(F)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.27+0.21=0.48.
则P()=1-P(F)=1-0.48=0.52.
即不够9环的概率为0.52.
[由题悟法]
求复杂互斥事件概率的2种方法
(1)直接法:
将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.
(2)间接法:
先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P()求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就会较简便.
[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件发生的概率,再求和(或差).
[即时应用]
(2019·洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求:
(1)至多2人排队等候的概率是多少?
(2)至少3人排队等候的概率是多少?
解:
记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)法一:
记“至少3人排队等候”为事件H,则
H=D∪E∪F,
所以P(H)=P(D∪E∪F)
=P(D)+P(E)+P(F)
=0.3+0.1+0.04=0.44.
法二:
记“至少3人排队等候”为事件H,
则其对立事件为事件G,
所以P(H)=1-P(G)=0.44.
[题组练透]
1.(2019·浙江名校联考)春节期间,记者在天安门广场随机采访了6名外国游客,并从这6人中任意选取2人进行深度采访,则不同的选择情况有________种,若这6人中有2名游客会说汉语,则选取的2人中至少有1人会说汉语的概率为________.
解析:
不同的选择情况有C=15种.
法一:
设“选取的2人中至少有1人会说汉语”为事件A,由题意知,P()===,则P(A)=1-=.
法二:
设“选取的2人中至少有1人会说汉语”为事件A,则P(A)===.
答案:
15
2.(2019·嘉兴高三期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则恰好选到2名男生和1名女生的概率为________,所选3人中至少有1名女生的概率为________.
解析:
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,
基本事件总数n=C=20,
恰好选到2名男生和1名女生包含的基本事件个数m=CC=12,
∴恰好选到2名男生和1名女生的概率P1===.
∵所选3人中至少有1名女生的对立事件是选到的3人都是男生,∴所选3人中至少有1名女生的概率P2=1-=.
答案:
3.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:
(单位:
人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
解:
(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,
故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P==.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:
{A1,B2},{A1,B3},共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.
[谨记通法]
1.求古典概型概率的步骤
(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;
(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.
2.基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求
排列、组合法
此法适合于基本事件数对应某排列数或组合数时的计数
[锁定考向]
古典概型在高考中常与平面向量、解析几何等知识交汇命题,命题的角度新颖,考查知识全面,能力要求较高.
常见的命题角度有:
(1)古典概型与平面向量相结合;
(2)古典概型与直线、圆相结合;
(3)古典概型与函数相结合.
[题点全练]
角度一:
古典概型与平面向量相结合
1.设平面向量a=(m,1),b=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4},记“a⊥(a-b)”为事件A,则事件A发生的概率为( )
A. B.
C.D.
解析:
选A 有序数对(m,n)的所有可能结果为:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.由a⊥(a-b),得m2-2m+1-n=0,即n=(m-1)2,由于m,n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共2个,所以所求的概率P(A)==.
角度二:
古典概型与直线、圆相结合
2.(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为________.
解析:
依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种,其中满足直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,即满足≤,即a≤b,则当a=1时,b=1,2,3,4,5,6,共有6种,当a=2时,b=2,3,4,5,6,共5种,同理当a=3时,有4种,a=4时,有3种,a=5时,有2种,a=6时,有1种,故共6+5+4+3+2+1=21种,因此所求的概率等于=.
答案:
角度三:
古典概型与函数相结合
3.已知函数f(x)=cos,a为抛掷一颗骰子所得的点数,则函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 依题意,函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4等价于函数f(x)的周期的倍不大于4,即×≤4,解得a≥,故a=4,5,6,而所有a的值共6个,所以函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为.
[通法在握]
解决古典概型交汇命题的方法
解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
[演练冲关]
1.(2019·湘中名校联考)从集合A={-2,-1,2}中随机选取一个数记为a,从集合B={-1,1,3}中随机选取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为( )
A.B.
C.D.
解析:
选A 从集合A,B中随机选取后组合成的数对有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种,要使直线ax-y+b=0不经过第四象限,则需a>0,b>0,共有2种满足题意,所以所求概率P=,故选A.
2.(2019·宁海模拟)m∈{-2,-1,0,1,2},n∈{-1,0,1},随机抽取一个m和一个n,使得平面向量a=(m,n),满足|a|>2的概率为________.
解析:
当m=-2,2,n=-1,1时,满足|a|>2.所以概率为=.
答案:
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.(2019·宁波四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为( )
A. B.
C.D.
解析:
选A ∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9个,其中两人参加同一个小组的事件有(A,A),(B,B),(C,C),共3个,∴两人参加同一个小组的概率为=.
2.一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球,其数量分别为3,2,1,从中任取两球,则互斥而不对立的两个事件为( )
A.至少有一个白球;都是白球
B.至少有一个白球;至少有一个红球
C.恰有一个白球;一个白球一个黑球
D.至少有一个白球;红球、黑球各一个
解析:
选D 红球、黑球各取一个,则一定取不到白球,故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件,又任取两球还包含“两个红球”这个事件,故不是对立事件.
3.(2019·绍兴质检)5个车位分别停放了A,B,C,D,E5辆不同的车,现将所有车开出后再按A,B,C,D,E的次序停入这5个车位,则在A车停入了B车原来的位置的条件下,停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是( )
A.B.
C.D.
解析:
选A 若C停在原来位置上,则剩下三辆车都不停在原来位置上,共有9种方法,故所求概率为=.
4.(2019·杭州高级中学联考)甲、乙两人从4门课程中各选修2门.则不同的选法共有________种,2人所选课程至少有一门相同的概率为________.
解析:
甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则不同的选法共有CC=36种.2人所选课程至少有一门相同,有36-C=30种,∴2人所选课程至少有一门相同的概率为=.
答案:
36
5.如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B发生的概率是0.64,事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍,则事件A发生的概率为________;事件B发生的概率为________.
解析:
设P(A)=x,P(B)=3x,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64.
∴P(A)=x=0.16,P(B)=3x=0.48.
答案:
0.16 0.48
二保高考,全练题型做到高考达标
1.(2019·宁波模拟)一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( )
A.B.
C.D.
解析:
选D 抛掷两次该玩具共有16种情况:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),…,(4,4).其中乘积是偶数的有12种情况:
(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P==.
2.袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为( )
A.恰有1个白球和全是白球;
B.至少有1个白球和全是黑球;
C.至少有1个白球和至少有2个白球;
D.至少有1个白球和至少有1个黑球.
解析:
选A 由题意可知,事件C、D均不是互斥事件;A、B为互斥事件,但B又是对立事件,满足题意只有A,故选A.
3.(2019·安徽淮北一模)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 由题意知共有25种基本事件,其中没有相邻的两个人站起来包括如下情况:
没有人站起来,有1种基本事件;只有一个人站起来,有C=5种基本事件;有两个人站起来,只有13,14,24,25,35这5种基本事件,因此所求概率为=.
4.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 如图,在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共6种情况,故构成的四边形是梯形的概率P==.
5.已知集合M=,N=,A是集合N中任意一点,O为坐标原点,则直线OA与y=x2+1有交点的概率是( )
A.B.
C.D.
解析:
选C 易知过点(0,0)与y=x2+1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑),集合N中共有16个元素,其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,故所求的概率是=.
6.(2018·诸暨质检)用1,2,3,4,5这五个数字组成各位上数字不同的四位数,则千位上是奇数,且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1524)的概率为________.
解析:
用1,2,3,4,5这五个数字组成各位上数字不同的四位数,基本事件总数n=A=120,
其中千位上是奇数,且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有:
1352,1425,1524,3142,3152,3524,3514,5241,5314,5142,共10个
∴千位上是奇数,且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1524)的概率为=.
答案:
7.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为,取得两个绿球的概率为,则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为________.
解析:
由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=+=.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件,则至少取得一个红球的概率为
P(A)=1-P(B)=1-=.
答案
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