人教版九年级数学上《配方法》拓展练习.docx
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人教版九年级数学上《配方法》拓展练习
《配方法》拓展练习
一、选择题(本大题共5小题,共25.0分)
1.(5分)用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2=0,此方程可化为的正确形式是( )
A.(x﹣4)2=14B.(x﹣4)2=18C.(x+4)2=14D.(x+4)2=18
2.(5分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8=0,下列变形正确的是( )
A.(x﹣6)2=﹣8+36B.(x﹣6)2=8+36
C.(x﹣3)2=8+9D.(x﹣3)2=﹣8+9
3.(5分)一元二次方程﹣x2+8x+1=0配方后可变形为( )
A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x﹣4)2=17D.(x﹣4)2=15
4.(5分)一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为( )
A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x﹣4)2=17D.(x﹣4)2=15
5.(5分)设a、b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数根是( )
A.x1=x2=1B.x1=0,x2=1C.x1=x2=﹣1D.x1=1,x2=﹣2
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
6.(5分)将一元二次方程x2+8x+13=0通过配方转化成(x+n)2=p的形式(n,p为常数),则n= ,p= .
7.(5分)用配方法将方程x2+10x﹣11=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数),则m+n= .
8.(5分)把一元二次方程2x2﹣x﹣1=0用配方法配成a(x﹣h)2+k=0的形式(a,h,k均为常数),则h和k的值分别为
9.(5分)将一元二次方程x2﹣2x﹣1=0用配方法化成的(x+a)2=b形式为 .
10.(5分)把方程x2﹣2x﹣4=0用配方法化为(x+m)2=n的形式,则m= ,n= .
三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)用适当方法解下列方程:
(1)x2+4x﹣1=0
(2)3x2﹣2=4x
12.(10分)解方程:
(1)(x+1)(x﹣5)=1
(2)x2﹣2x﹣1=0
13.(10分)用适当方法解下列方程:
(1)3(x+1)2﹣9=0
(2)x2+4x﹣1=0
(3)3x2﹣2=4x
14.(10分)小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
如:
解方程x(x+4)=6.
解:
原方程可变形,得:
[(x+2)﹣2][(x+2)+2]=6.
(x+2)2﹣22=6,
(x+2)2=6+22,
(x+2)2=10.
直接开平方并整理,得.x1=﹣2+
,x2=﹣2﹣
.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+3)(x+7)=5时写的解题过程.
解:
原方程可变形,得:
[(x+a)﹣b][(x+a)+b]=5.
(x+a)2﹣b2=5,
(x+a)2=5+b2.
直接开平方并整理,得.x1=c,x2=d.
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为 , , , .
(2)请用“平均数法”解方程:
(x﹣5)(x+3)=6.
15.(10分)解方程:
(1)(y+2)2=(3y﹣1)2
(2)x2+4x+2=0(配方法)
《配方法》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共5小题,共25.0分)
1.(5分)用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2=0,此方程可化为的正确形式是( )
A.(x﹣4)2=14B.(x﹣4)2=18C.(x+4)2=14D.(x+4)2=18
【分析】移项,配方,即可得出选项.
【解答】解:
x2﹣8x+2=0,
x2﹣8x=﹣2,
x2﹣8x+16=﹣2+16,
(x﹣4)2=14,
故选:
A.
【点评】本题考查了解一元二次方程,能够正确配方是解此题的关键.
2.(5分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8=0,下列变形正确的是( )
A.(x﹣6)2=﹣8+36B.(x﹣6)2=8+36
C.(x﹣3)2=8+9D.(x﹣3)2=﹣8+9
【分析】移项,配方,即可得出答案.
【解答】解:
x2﹣6x﹣8=0,
x2﹣6x=8,
x2﹣6x+9=8+9,
(x﹣3)2=17,
故选:
C.
【点评】本题考查了解一元二次方程,能够正确配方是解此题的关键.
3.(5分)一元二次方程﹣x2+8x+1=0配方后可变形为( )
A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x﹣4)2=17D.(x﹣4)2=15
【分析】移项,系数化成1,再配方,即可得出选项.
【解答】解:
﹣x2+8x+1=0,
﹣x2+8x=﹣1,
x2﹣8x=1,
x2﹣8x+16=1+16,
(x﹣4)2=17,
故选:
C.
【点评】本题考查了解一元二次方程,能正确配方是解此题的关键.
4.(5分)一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为( )
A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x﹣4)2=17D.(x﹣4)2=15
【分析】常数项移到方程的右边,再在两边配上一次项系数一半的平方,写成完全平方式即可得.
【解答】解:
∵x2﹣8x=1,
∴x2﹣8x+16=1+16,即(x﹣4)2=17,
故选:
C.
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键.
5.(5分)设a、b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数根是( )
A.x1=x2=1B.x1=0,x2=1C.x1=x2=﹣1D.x1=1,x2=﹣2
【分析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程,左边化为完全平方式,开方转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.
【解答】解:
∵a△b=a2+b2+ab,
∴(x+2)△x=(x+2)2+x2+x(x+2)=1,
整理得:
x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,
解得:
x1=x2=﹣1.
故选:
C.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,利用此方法解方程时,首先将方程二次项系数化为1,常数项移到方程右边,然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并为一个非负常数,开方转化为两个一元一次方程来求解.
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
6.(5分)将一元二次方程x2+8x+13=0通过配方转化成(x+n)2=p的形式(n,p为常数),则n= 4 ,p= 3 .
【分析】依据配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得.
【解答】解:
∵x2+8x+13=0,
∴x2+8x=﹣13,
则x2+8x+16=﹣13+16,即(x+4)2=3,
∴n=4、p=3,
故答案为:
4、3.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
7.(5分)用配方法将方程x2+10x﹣11=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数),则m+n= 41 .
【分析】方程常数项移到右边,两边加上25配方得到结果,求出m与n的值即可.
【解答】解:
∵x2+10x﹣11=0,
∴x2+10x=11,
则x2+10x+25=11+25,即(x+5)2=36,
∴m=5、n=36,
∴m+n=41,
故答案为:
41.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
8.(5分)把一元二次方程2x2﹣x﹣1=0用配方法配成a(x﹣h)2+k=0的形式(a,h,k均为常数),则h和k的值分别为
,﹣
【分析】先将方程变形,利用完全平方公式进行配方.
【解答】解:
2x2﹣x﹣1=0,
x2﹣
x﹣
,
x2﹣
x+
﹣
+
,
(x﹣
)2﹣
=0.
∴h=﹣
,k=﹣
.
故答案是:
,﹣
.
【点评】考查了配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
9.(5分)将一元二次方程x2﹣2x﹣1=0用配方法化成的(x+a)2=b形式为 (x﹣1)2=2 .
【分析】方程整理后,利用完全平方公式配方即可.
【解答】解:
方程x2﹣2x﹣1=0,变形得:
x2﹣2x=1,
配方得:
x2﹣2x+1=2,即(x﹣1)2=2,
故答案为:
(x﹣1)2=2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
10.(5分)把方程x2﹣2x﹣4=0用配方法化为(x+m)2=n的形式,则m= ﹣1 ,n= 5 .
【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2﹣2x=4,再配方得(x﹣1)2=5,故可以得出结果.
【解答】解:
∵x2﹣2x﹣4=0,
∴x2﹣2x=4,
则x2﹣2x+1=4+1,即(x﹣1)2=5,
∴m=﹣1、n=5,
故答案为:
﹣1、5.
【点评】本题考查了解一元二次方程,配方法的一般步骤:
把常数项移到等号的右边;把二次项的系数化为1;等式两边同时加上一次项系数一半的平方;选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)用适当方法解下列方程:
(1)x2+4x﹣1=0
(2)3x2﹣2=4x
【分析】
(1)移项后配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(2)移项后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
【解答】解:
(1)x2+4x﹣1=0,
x2+4x=1,
x2+4x+4=1+4,
(x+2)2=5,
x1=﹣2+,
,x2=﹣2﹣
;
(2)3x2﹣2=4x,
3x2﹣4x﹣2=0,
b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×3×(﹣2)=40,
x=
,
x1=
,x2=
.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能选择适当的方法解方程是解此题的关键.
12.(10分)解方程:
(1)(x+1)(x﹣5)=1
(2)x2﹣2x﹣1=0
【分析】
(1)整理后移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(2)求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
【解答】解:
(1)(x+1)(x﹣5)=1,
整理得:
x2﹣4x﹣6=0,
x2﹣4x=6,
x2﹣4x+4=6+4,
(x﹣2)2=10,
x﹣2=
,
x1=2+
,x2=2﹣
;
(2)x2﹣2x﹣1=0,
b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8,
x=
,
x1=1+
,x2=1﹣
.
【点评】本题考查了解一元二次方程,能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键,注意:
解一元二次方程的方法有:
直接开平方法,公式法,配方法,因式分解法等.
13.(10分)用适当方法解下列方程:
(1)3(x+1)2﹣9=0
(2)x2+4x﹣1=0
(3)3x2﹣2=4x
【分析】
(1)移项,系数化成1,再开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(2)先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可;
(3)移项后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
【解答】解:
(1)3(x+1)2﹣9=0,
(x+1)2=3,
x+1=
,
x1=﹣1+
,x2=﹣1﹣
;
(2)x2+4x﹣1=0,
b2﹣4ac=42﹣4×1×(﹣1)=20,
x=
,
x1=﹣2+
,x2=﹣2﹣
;
(3)3x2﹣2=4x,
3x2﹣4x﹣2=0,
b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×3×(﹣2)=40,
x=
,
x1=
,x2=
.
【点评】本题考查了解一元二次方程,能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
14.(10分)小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
如:
解方程x(x+4)=6.
解:
原方程可变形,得:
[(x+2)﹣2][(x+2)+2]=6.
(x+2)2﹣22=6,
(x+2)2=6+22,
(x+2)2=10.
直接开平方并整理,得.x1=﹣2+
,x2=﹣2﹣
.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+3)(x+7)=5时写的解题过程.
解:
原方程可变形,得:
[(x+a)﹣b][(x+a)+b]=5.
(x+a)2﹣b2=5,
(x+a)2=5+b2.
直接开平方并整理,得.x1=c,x2=d.
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为 5 , 2 , ﹣2 , ﹣8 .
(2)请用“平均数法”解方程:
(x﹣5)(x+3)=6.
【分析】
(1)根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可;
(2)利用“平均数法”解方程即可.
【解答】解:
(1)原方程可变形,得:
[(x+5)﹣2][(x+5)+2]=5.
(x+5)2﹣22=5,
(x+5)2=5+22.
直接开平方并整理,得.x1=﹣2,x2=﹣8.
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、2、﹣2、﹣8,
故答案为:
5、2、﹣2、﹣8;
(2)原方程可变形,得:
[(x﹣1)﹣4][(x﹣1)+4]=6.
(x﹣1)2﹣42=6,
(x﹣1)2=6+42.
x﹣1=±
,
∴x=1±
,
直接开平方并整理,得.x1=1+
,x2=1﹣
.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用,弄清题中的新定义是解本题的关键.
15.(10分)解方程:
(1)(y+2)2=(3y﹣1)2
(2)x2+4x+2=0(配方法)
【分析】
(1)利用直接开平方法解方程;
(2)利用配方法解方程.
【解答】解:
(1)y+2=±(3y﹣1)
y+2=3y﹣1,y+2=﹣(3y﹣1)
y1=
,y2=﹣
;
(2)x2+4x+4=2
(x+2)2=2
x+2=
x1=﹣2
,x2=﹣2﹣
.
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法,掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.
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