导数的综合应用.docx
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导数的综合应用
3.3 导数的综合应用
1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
2.不等式问题
(1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.
(2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
3.方程解的个数问题
构造函数,利用导数研究函数的单调性,极值和特殊点的函数值,根据函数性质结合草图推断方程解的个数.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数在闭区间上必有最值.( √ )
(2)函数f(x)=x2-3x+2的极小值也是最小值.( √ )
(3)函数f(x)=+x-1和g(x)=-x-1都是在x=0时取得最小值-1.( × )
(4)函数f(x)=x2lnx没有最值.( × )
(5)已知x∈(0,),则sinx>x.( × )
(6)若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上没有实数根.( × )
1.(2014·湖南)若0 A. B. C. D. 答案 C 解析 设f(x)=ex-lnx(0 则f′(x)=ex-=. 令f′(x)=0,得xex-1=0. 根据函数y=ex与y=的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确. 设g(x)=(0 又0 ∴函数g(x)在(0,1)上是减函数. 又0 ∴ . 2.(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A.∀x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0是f(-x)的极小值点 C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点 答案 D 解析 A错,因为极大值未必是最大值.B错,因为函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点.C错,函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,x0应为-f(x)的极小值点.D对,函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,-x0应为y=-f(-x)的极小值点. 3.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( ) A.1B.C.D. 答案 D 解析 |MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx(x>0)的最小值, h′(x)=2x-=, 显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点, 也是最小值点,故t=. 4.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式: y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为( ) A.1百万件B.2百万件 C.3百万件D.4百万件 答案 C 解析 y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3), 当0 当x>3时,y′<0. 故当x=3时,该商品的年利润最大. 题型一 利用导数证明不等式 例1 已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用a表示b,并求b的最大值; (2)求证: f(x)≥g(x)(x>0). (1)解 设两曲线的公共点为(x0,y0), f′(x)=x+2a,g′(x)=, 由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0), 即 由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去). 即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna. 令h(t)=t2-3t2lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt). 于是当t(1-3lnt)>0,即0 时,h′(t)>0; 当t(1-3lnt)<0,即t> 时,h′(t)<0. 故h(t)在(0, )上为增函数,在( ,+∞)上为减函数, 于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h( )= , 即b的最大值为 . (2)证明 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x>0), 则F′(x)=x+2a-=(x>0). 故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数. 于是F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0. 故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0, 即当x>0时,f(x)≥g(x). 思维升华 利用导数证明不等式的步骤 (1)构造新函数,并求其单调区间; (2)判断区间端点函数值与0的关系; (3)判断定义域内函数值与0的大小关系,证不等式. 证明: 当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x. 证明 记F(x)=sinx-x, 则F′(x)=cosx-. 当x∈(0,)时,F′(x)>0,F(x)在[0,]上是增函数; 当x∈(,1)时,F′(x)<0,F(x)在[,1]上是减函数. 又F(0)=0,F (1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0, 即sinx≥x. 记H(x)=sinx-x, 则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx-1<0, 所以H(x)在[0,1]上是减函数, 则H(x)≤H(0)=0,即sinx≤x. 综上,x≤sinx≤x,x∈[0,1]. 题型二 利用导数研究函数零点问题 例2 (2013·北京)已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx. (1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围. 解 (1)由f(x)=x2+xsinx+cosx, 得f′(x)=x(2+cosx). ∵y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切. ∴f′(a)=a(2+cosa)=0且b=f(a), 则a=0,b=f(0)=1. (2)令f′(x)=0,得x=0. ∴当x>0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增. 当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上递减. ∴f(x)的最小值为f(0)=1. ∵函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调, ∴当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点. 综上可知,b的取值范围是(1,+∞). 思维升华 函数零点或函数图象交点问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一. 已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围. 解 (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当a<0时,对x∈R,有f′(x)>0, ∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞). 当a>0时,由f′(x)>0, 解得x<-或x>. 由f′(x)<0,解得- ∴当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞),单调减区间为(-,). (2)∵f(x)在x=-1处取得极值, ∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0, ∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1, f′(x)=3x2-3, 由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由 (1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1, 在x=1处取得极小值f (1)=-3. ∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图象可知: 实数m的取值范围是(-3,1). 题型三 生活中的优化问题 例3 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位: 千克)与销售价格x(单位: 元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3 (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 思维点拨 (1)由x=5时y=11求a; (2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系,利用导数求最值. 解 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2. (2)由 (1)可知,该商品每日的销售量为 y=+10(x-6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)=(x-3)[+10(x-6)2] =2+10(x-3)(x-6)2,3 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得,x=4时,函数f(x)在区间(3,6)内取得极大值,也是最大值. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点. 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值? 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 解 设包装盒的高为hcm,底面边长为acm. 由已知得a=x,h==(30-x),0 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, 所以当x=15时,S取得最大值. (2)V=a2h=2(-x3+30x2),V′=6x(20-x). 由V′=0,得x=0(舍)或x=20. 当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0. 所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值. 此时=.即包装盒的高与底面边长的比值为. 一审条件挖隐含 典例: (12分)设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3. (1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M. (2)如果对于任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围. 审题路线图 (1)存在x1,x2∈[0,2]使得g(
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- 导数 综合 应用