高中数学 32独立性检验的基本思想及其初步应用学案 新人教A版选修23.docx
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高中数学32独立性检验的基本思想及其初步应用学案新人教A版选修23
2019-2020年高中数学3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案新人教A版选修2-3
1.分类变量的概念.
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.
2.2×2列联表.
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)如下:
构造随机变量K2=
,其中n=a+b+c+d为样本容量.
3.独立性检验.
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.
临界值表:
1.下面说法正确的是(B)
A.统计方法的特点是统计推断准确、有效
B.独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法
C.任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到
D.不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关
解析:
根据独立性检验的概念知,选项B正确.故选B.
2.对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k,下列说法正确的是(B)
A.k越大,推断“X与Y有关系”,犯错误的概率越大
B.k越小,推断“X与Y有关系”,犯错误的概率越大
C.k越接近于0,推断“X与Y无关”,犯错误的概率越大
D.k越大,推断“X与Y无关”,犯错误的概率越小
3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(C)
A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B.从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病
C.若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误
D.以上三种说法都不正确
解析:
根据独立性检验的概念知,选项C正确.故选C.
【典例】 调查者通过询问男女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示.请估计看营养说明是否与性别有关系.
看营养说明
不看营养说明
总计
男大学生
10
45
55
女大学生
8
27
35
总计
18
72
90
解析:
由表中数据得K2的观测值为:
k=
≈0.292<0.455,
所以我们没有充分的证据认为看营养说明与男女性别有关.
【易错剖析】本题若不用独立性检验,会有如下错解:
由表中数据可知,55名男大学生中有10名看营养说明,而35名女大学生中有8名看营养说明,显然男性看营养说明的比例
比女性的
要低,因此看营养说明与性别有关.
1.下列关于K2的说法正确的是(C)
A.K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关
B.K2的值越大,两个事件的相关性越大
C.K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合
D.K2的观测值的计算公式为K2=
解析:
A中K2的使用范围是四个数据中每个数据都必须大于5,故A错;B中过于确定,不正确;C正确;D中公式有错.
2.在2×2列联表中,两个比值________相差越大,两个分类变量之间的关系越强(A)
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
解析:
与
相差越大,说明ad与bc相差越大,两个分类变量之间的关系越强.
3.下面是2×2列联表:
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
则表中a、b的值分别为(C)
A.94、96 B.52、50
C.52、54 D.54、52
解析:
∵a+21=73,∴a=52.
又∵a+2=b,∴b=54.
4.某大学在研究性别与职称(分正教授,副教授)之间是否有关系,你认为应该收集的数据是男正教授人数,男副教授人数,女正教授人数,女副教授人数.
5.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据:
种子处理
种子未处理
总计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
总计
93
314
407
根据以上数据,则(A)
A.没有充分的理由说明种子经过处理跟是否生病有关
B.种子经过处理跟是否生病有关
C.种子是否经过处理决定是否生病
D.以上都是错误的
解析:
由公式得K2的观测值为k=
≈0.164<0.455.
6.有两个分类变量x,y,其2×2列联表如下表.其中a,15-a均为大于5的整数,若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“x与y之间有关系”,则a的取值应为(D)
y1
y2
x1
a
20-a
x2
15-a
30+a
A.5或6B.6或7C.7或8D.8或9
解析:
查表可知,要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为K2之间有关系,则K2>2.706,而
K2=
=
=
,要使K2>2.706得a>7.19或a<2.04.又因为a>5且15-a>5,a∈Z,所以a=8或9,故当a取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“x与y之间有关系”.
7.某高校统计初步课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况,具体数据如下表:
专业
性别
非统计专业
统计专业
男生
13
10
女生
7
20
为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据得到随机变量K2的观测值为k=
≈4.844.因为k>3.841,所以确认“主修统计专业与性别有关系”,这种判断出现错误的可能性为________.
解析:
因为随机变量K2的观测值k>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”.故这种判断出现错误的可能性为5%.
答案:
5%
8.对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:
又发作过
心脏病
未发作过
心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算K2=________,比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
解析:
提出假设H0:
两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.根据列联表中的数据,可以求得K2的观测值k=
=1.78.
当H0成立时,K2=1.78,而K2<2.072的概率为0.85.所以,不能否定假设H0.也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.
答案:
1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论
9.为了解决初二平面几何入门难的问题,某校在初中一年级代数教学中加强概念和推理教学,并设有对照班,下表是初中二年级平面几何期中测验成绩统计表的一部分,试分析研究实验结果.
70分以上
70及70分以下
合计
实验班
32
18
50
对照班
12
38
50
合计
44
56
100
解析:
∵k=
≈16.234>10.828,故有99.9%的把握认为“在初一加强概念和推理教学,对初二平面几何的测试成绩”有关系.
10.甲、乙两机床加工同一种零件,抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位:
cm)及个数y,如下表:
零件
尺寸x
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
零件
个数y
甲
3
7
8
9
3
乙
7
4
4
4
a
由表中数据得y关于x的线性回归方程为y=-91+100x(1.01≤x≤1.05),其中合格零件尺寸为1.03±0.01(cm).完成下面列联表,并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关.
合格零件数
不合格零件数
合计
甲
乙
合计
解析:
(1)
=1.03,
=
,由y=-91+100x知,
=-91+100×1.03,所以,a=11,由于合格零件尺寸为1.03±0.01cm,故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为:
合格零件数
不合格零件数
合计
甲
24
6
30
乙
12
18
30
合计
36
24
60
所以,K2=
=
=10,
因K2=10>6.635,故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关.
2019-2020年高中数学3.2独立性检验的基本思想及其初步应用课后训练新人教A版选修2-3
1.关于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k,下列说法正确的是( )
A.k的值越大,“X和Y有关系”的可信程度越小
D.k的值越小,“X和Y有关系”的可信程度越小
C.k的值越接近于0,“X和Y无关”的可信程度越小
D.k的值越大,“X和Y无关”的可信程度越大
解析:
k的值越大,X和Y有关系的可能性就越大,也就意味着X与Y无关系的可能性就越小.
答案:
B
2.下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图中可以看出( )
A.性别与喜欢理科无关
B.女生中喜欢理科的比例约为80%
C.男生比女生喜欢理科的可能性大些
D.男生中不喜欢理科的比例约为60%
解析:
由题图可知,女生中喜欢理科的比例约为20%,男生中喜欢理科的比例约为60%,因此男生比女生喜欢理科的可能性大些.故选C.
答案:
C
3.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系,随机抽取了部分工人,得到如下列联表:
文化程度与月收入列联表(单位:
人)
月收入
2000元以下
月收入
2000元及以上
总计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
总计
30
75
105
由上表中数据计算得K2的观测值k=≈6.109,请估计“文化程度与月收入有关系”的把握是( )
A.1%B.99%
C.2.5%D.97.5%
解析:
由于6.109>5.024,故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“文化程度与月收入有关系”,即有97.5%的把握认为“文化程度与月收入有关系”.
答案:
D
4.假设两个分类变量X与Y,它们的值域分别为{x1,x2},{y1,y2},其2×2列联表为
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
对于以下数据,对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为( )
A.a=5,b=4,c=3,d=2
B.a=5,b=3,c=2,d=4
C.a=5,b=2,c=4,d=3
D.a=2,b=3,c=5,d=4
解析:
相差越大,说明ad与bc相差越大,两个分类变量有关系的可能性越大.
答案:
B
5.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查,所得数据如下表:
认为作业量大
认为作业量不大
总计
男生
18
9
27
女生
8
15
23
总计
26
24
50
则推断“学生的性别与认为作业量大有关”,这种推断犯错误的概率不超过( )
A.0.01B.0.005C.0.025D.0.001
解析:
K2的观测值为k=≈5.059>5.024.
∵P(K2≥5.024)=0.025,
∴犯错误的概率不超过0.025.
答案:
C
6.在独立性检验中,在犯错误不超过0.01的前提下认为两个分类变量“X和Y有关系”,则K2的观测值k的取值范围是 .
解析:
∵P(K2>6.635)=0.01,∴6.635 答案: (6.635,+∞) 7.某卫生机构对366人进行健康体检,有阳性家族史者糖尿病发病的有16例,不发病的有93例,有阴性家族史者糖尿病发病的有17例,不发病的有240例,认为糖尿病患者与遗传有关系的概率约为 . 解析: 列出2×2列联表: 发病 不发病 总计 阳性家族史 16 93 109 阴性家族史 17 240 257 总计 33 333 366 所以随机变量K2的观测值为 k=≈6.067>5.024, 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为糖尿病患者与遗传有关. 答案: 0.975 8.从发生汽车交通事故的司机中抽取2000名司机,调查他们的血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有责任,将数据整理如下: 有责任 无责任 总计 有酒精 650 150 800 无酒精 700 500 1200 总计 1350 650 2000 根据以上数据判断司机对事故负有责任与血液中含有酒精是否有关系? 若有关系,你认为在多大程度上有关系? 解: K2的观测值为k=≈114.9 因为114.9>10.828, 所以,我们有99.9%的把握认为司机对事故负有责任与血液中含有酒精有关. 9.某大型活动即将举行,为了做好接待工作,组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动,其余人不喜爱运动. (1)根据以上数据完成以下2×2列联表: 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 10 16 女 6 14 总计 30 (2)根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关? 解: (1) 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 10 6 16 女 6 8 14 总计 16 14 30 (2)由已知数据可求得: K2的观测值为k=≈1.1575<2.706, 因此,不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为喜爱运动与性别有关. B组 1. 为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取了60名高中生,通过问卷调查,得到以下数据: 作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般 8 20 28 总计 30 30 60 由以上数据,计算得到K2的观测值是k≈9.643,根据临界值表,在犯错误的概率不超过 的前提下认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关. 解析: 由临界值表知P(K2>7.879)=0.005,所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关. 答案: 0.005 2.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关,用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天内的结果如下表所示: 死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计 20 30 50 进行统计分析时,计算得到K2的观测值k≈ .(精确到0.01) 答案: 5.33 3.某校xx年高三年级2个班共91人参加高考,统计数据如下: 城镇考生 农村考生 录取 31 24 未录取 19 17 则在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为考生的户口形式和高考被录取 .(填“无关”或“有关”) 解析: 2×2列联表如下: 城镇考生 农村考生 合计 录取 31 24 55 未录取 19 17 36 合计 50 41 91 计算K2的观测值k=≈0.11. 由于0.11<2.706,所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为考生的户口形式和高考被录取无关. 答案: 无关 4.随着工业化以及城市车辆的增加,城市的空气污染越来越严重,空气质量指数API一直居高不下,对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康情况,得到2×2列联表如下: 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病 100 总计 200 (1)补全2×2列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关? (3)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中随机地抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率. 解: (1)列联表如下: 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 200 350 无呼吸系统疾病 50 100 150 总计 200 300 500 (2)计算得K2的观测值为k=≈3.968>3.841. 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. (3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名,其中有呼吸系统疾病的抽4人,无呼吸系统疾病的抽2人,A=“从中随机地抽取两人,两人都有呼吸系统疾病”,则P(A)=. 5.对某校学生进行心理障碍测试得到的数据如下表: 焦虑 说谎 懒惰 总计 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 总计 25 20 65 110 试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大. 解: 对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量.其观测值分别为k1,k2,k3. 由题表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表: 焦虑 不焦虑 总计 女生 5 25 30 男生 20 60 80 总计 25 85 110 可得k1=≈0.863<2.706, 同理,k2=≈6.366>5.024, k3=≈1.410<2.706. 因此,在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为说谎与性别有关,没有充分的证据显示焦虑、懒惰与性别有关.
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