初中勾股定理16种证明方法.docx
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初中勾股定理16种证明方法
初中勾股定理16种证明方法
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勾股定理的证明
【证法1】(课本的证明)
ab
做8个全等的贞角三角形,
设它们的两条百角边长分别为冬b,斜边I
三个边长分别为a、b.c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图匕可以看到.这两个正方形的边长都是a+b.所以而积相等.即
/"2+4x—=/+4X—",、、
22,整理得“""I
【证法2】(邹元治证明)
以3、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三
等于2•把这四个宜角三角形拼成如图所示形状,使八E、B三点在-条£C三点在一条直线上.C、G、D三点在一条直线上.
VRtAHAE竺RtAEBI;
•••ZAHE=ZBEF.
•••ZADI十ZAIIE=90°,
•••ZAEH4ZBEF=9『・
•••ZHEF=180°-9(T=90°.
•••四边形EFG1I是个边心为c正方形.
VRIAGDH
•••ZHGD=
•••ZHGD+
•••ZEIIA十
乂IZGHE二
•••ZDHA=
它的而积等于c・MRIAI1AE,ZEI1A.
ZGHD二90°,
ZGIID=90°.
9(T,
9(T+90°二180\
•••ABCD是•个边长为a+
.=4x丄"力十F
••2•
【证法3】(赵爽证明)以。
、b为直角边(b>a),
边作四个全等的直角三角形,则每个貢角
Lab
三角形的而积等于2•把这四个自角:
.
角形拼成如图所示形状
•・•RtADAH仝RtAABE,
•••ZHDA=ZEAB.
•••ZUAD+ZHAD=90°,
•••ZEAB+ZHAD=90°,
•••ABCD是f边长为c的正方形,它的而积等丁•J
IEF=FG=GH=HE=b-a,
ZIIEH=90°.
・•・EFGH是•个边长为b—“的正方形,它的血枳等门力-“匚
4x丄“5+(力一“尸二疋
••2•
•••
【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的而
B[点在一条直线上.
积等于2.把这两个/iff]•:
角形拼成如图所示形状.使A、卜
RtAEAD也RtACBE,
ZADE=ZBEC.
ZAED+ZADE=90°,
ZAEI)+ZBEC=90°.
ZDEC=180°-9Cf=90°•
ADEC是一个等腰直角三角形.
丄,
它的面积等于产•
乂•••/DAE=9(T,ZEBC-90°,
•••ZEGF二NRED,
IZEGF+ZGEF=90°,•••ZBED+NCEF=90°,•••ZBEG=180°-90°=90°.
又•••AB■BE
•••ABEG是
•••ZABC十
TRtAABC
/.ZABC=
•••ZEBD+
即ZCBD=90°.
XVZBDE=9(T,ZBCP=90%BC=BD=a.
•••BDPC是•个边长为a的正方形・同理,HPFG是•个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则
/+力’=S+2x丄“A
2
c2=5"+2x丄“力
2,宀宀
【证法6】(项明达证明)
做两个金筹的直角三角形.c.再做•个边长为c的正方形.
直线上
过点Q作QP/ZBC,交AC于点P.过点B作BM丄PQ,垂足为再过点F作FN丄PQ,垂足为N.
•/ZBCA=90%QP//BC,
・•・Z\1PC-90%
VBJI丄PQ,
•••ZBMP=90°,
•••BCPM是一个矩形,即ZHBC=
IZQBM十ZMBA二ZQBA二9『,
ZABC+ZMBA=ZM13C=90°,
•••ZQBM=ZABC,
XVZBMP=9(f,ZBCA=90°,BQ=BA=c,
•••RtABMQ9RtABCA.
同理可证RtAQNF丝RtAAEF.
从而将问题转化为【证法4】(梅文勵证明)•
【证法7】(欧几里得证明)
做三个边长分别为肚b.c的正方形.把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点
在一条直线匕连结BE.CD.过C作CLIDE,交ABJ:
点\〔,
•••AF二
ZFAB
•••AEAB9AGAD,
IAFAB的面积等于2,
△GAD的面积等于矩形ADLH的而积的一半.
•••矩形ADLM的面积同理可证,矩形MLEB的而积二几
•••止方形ADEB的闻枳
二矩形ADUI的面积+矩形MLEB的面积
.・•C:
=店",即仗七什二c\
【证法8】(利用相似三角形性质证明)
如图,/ERtAABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过
点C作CD丄AB,垂足是D.在AADC和厶ACB中,
•••ZADC=ZACB=90°,
ZCAD=ZBAC,
•••AADCsaACB.
AD:
AC=AC:
AB,
[!
|JAC^AD・AB.
同理可证,ACDBsAACB,从而有BC・BD•人B.
g*BC^1-(AD♦・4B・4圧.即/十夕二丁.
【证法9】(杨作玫证明)'
做两个全等的宜角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做•个边长为c的正方形・把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC,AF交GTFF,AF交DT于R.过B作BP丄AH垂足为P.过I)作DE与CB的延长线垂直,韭足为氏DE交AFfll.
•••ZBAl)=9(T,ZPAC=90°,
•••RtADHA9RtABCA.
•••DH=BC=a,AH=AC=b.
由作法可知•PBCA是•个矩形,
所以RtAAPB竺RtABCA即PB=
CA=b,AP=a,从而PH=b—a.
•••RtADGT RtADHA竺RtABCA. : •RtADGT竺RtADHA• •••DH=DG=a,ZGDT=ZHDA• 又丁ZDGT=9(T,ZDHF=90°. ZGDH=ZGDT+ZTDH=ZHDA+ZTDII=9(T, •••DGEII是一个边长为a的止方形. •I(;F=HI=a•TF±AF・Tl;=GT-GF=h-a. •••TPPB是•个直角梯形,上底TF=b-a,F底BP=b,? ^5FP=a+(b-a)•用数字农示而积的编号(如图).则以c为边长的正方形的面积为 ••d"_扣十(力-“)卜二护_* =力2■丄“力■£A? CC~ /.12Jb-S\-S、.② 把②代入①.得 =力•+£+5;=沪+/. 【证法10】(李鋭证明) 设苴角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c•做・: 个边长分别为a.b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上•用数字表示 面积的编号(如图). VZTBE=ZABII=90°> •••ZTBH=ZABEe 乂IZBTH=ZBEA=90\BT-BE=b, /.RtAHBT9RtAABE. A1IT=AE=a. •••GH=GT-HT=b-a. XVZGHF+ZBirr=90°,zdbc+ZBirr=zrBH+ •••ZGIIF=ZDBC・ IDB=EB-ED=b-a, NHGF=ZBDC=90°, •••RtAHGE竺RtABDC.即禺讥 过Q作QM1AG,垂足是M.由ZBAQ-ZBEA-90°,可知ZABE=ZQAM,而八B=AQ=c,所以RtAABE竺RtAQAM•乂RtAHBT竺RtAABE.所以RtAHBT3RtAQAM.即 IIIRtAABE丝RtAQAM,又得QM=AE=a.ZAQM二ZBAL TZAQM+ZEQM=90°,ZBAE+ZCAR=90\ZAQM=ZBAE,•••ZEQM=ZCAR. 又•••ZQME=ZARC=9(T,QM=AR=a, ARtAQMF竺RtAARC.即 ••w=5^+£+4人+6+送"'=$+£斤=s、*s.*s* 又・.•刀 •+力’=£+£+£+・久+£ 二£+£+5+二4 V, 即夕+力'*• 【证法11](利用切割线定理证明) d: RlAABC«|^设血和边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图,以B为阴I心s为半径作圆,交AB及AB的延长线分别FD、E,则BD=BE二BC=a.因为ZBCA=90°,点C在OBh,所以AC是OB的切线.由切割线定理.得 /ERtAABC中.设直角边BC=a,AC=b,斜边AB二c(如图).过点A作AD〃CB过点B作BD〃CA・贝ijACBD为矩形,矩形ACBD内接于-个隊根期多列米定理,鬪内按四边形对处线的乘积等于两对边乘积Z和,有 DC=BOAC^BD, •••AB=DC=c,AD=BC二a. AC=BD=b- /.击=ffc1+必,即K=宀几•••W". 【证法13】(作直角三角形的内切圆证明) 在RtAABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作RtAABC的内VJMOO.切点分别为D、E、F(如图人设G«0的半径为r. TAE=AF,BF=BD,CD=CE, •••AC^RC-AB=(//£+8+(加+8-(B叭 二CE*CD二r+r=2r, -(2r+r+r)r、 =2=/・・+“, : .4(X+“)=45;% 彳尸+胡=2“力 /+力'+2“力=2a/>+c29/./+力‘=c: . 【证法14】(利用反证法证明)^ 如图,在RtAABC中.设直角边AC、BC的长度分别为a.b,斜边AB的肉为c,过点C作CD丄AB,垂足是D. 假设“即假设,心+必则由 ABr=AB二個BD\二A/i.川)-AB・8D 可知Ae^AB^AD.或者BC,丰AB・BD.即AD: ACHAC: AB,或者BD: BCHBC: AB. AAI)C和AACR中. VZA=ZA, ・••若AD: ACMAC: AB,则ZADCHZACB. ACDB和厶ACB中, IZB=ZB, •••若BD: BCHBC: AB,则 ZCDB^ZACB. 乂•••ZACB=90P, •••ZADC^90°,ZCDB^90°. 这9作法CI)丄冊孑盾•所以,(广+力工力的假设不能成'匕 : .MM". 【证法⑸(辛卜松证明) 设直角三角形两直角边的长分别为a.b,斜边的长为c•作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成L: 方左图所示的儿个部分,则止方形ABCD的面枳为(“+砺=/+,+2巾: 把|F方形ABCD划分成I••方右图所示的儿个部分,则iF•方形ABCD的 而积为 ■ •• ■ •• (“+丹=4x・“力+"〉 2=2“+几 a'+fy+2"=2〃力+e, b的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状,示而积的编号(如图〉• 在EH=b上截取ED=a,连结DA、DC,则AD=c. EM=EH+HM=b+a,ED=aEM-ED-“+")-a-b.A9CT,CM=a,9Cf,AE-b,幻RtADMC. ZNDC,DC-AD-c・EZADC+ZMI)C=18(T, ZNDC=ZADE+ZEAD=9(T,9(T. •••作AB〃DC,CB〃DA,则ABCD是一个边长为c的正方形. •••ZBAF+ZFAD二ZDAE+ZFAD二90°,・••ZBAF二ZDAE. 连结FB,在AABF和△ADE中, •••AB=AD=c,AE=AF=b,ZBAF二ZDAE, •••AABF9AADE. ・••ZAFB二ZAED二90°,BE=DE=a. •・・点B、F、G、H在一条直线上• 在RtAABF和RtABCG中, •••AB=BC=c,BF二CG二a, RtAABF竺RtABCG. •・R=&十£十G十送夕=①十$十送CT §=$5=Si=$6+$7, •4~+〃~=送+$7+,|+&+/ 二另+尻+£+(/+另) _Sc+Sy+£+£
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