广东省中考数学试题分类解析汇编 专题3 方程组和不等式组.docx
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广东省中考数学试题分类解析汇编专题3方程组和不等式组
广东2012年中考数学试题分类解析汇编
专题3:
方程(组)和不等式(组)
1、选择题
1.(2012广东佛山3分)用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是【】
A.(x-1)2=2B.(x-1)2=4C.(x-1)2=1D.(x-1)2=7
【答案】B。
【考点】用配方法解一元二次方程。
【分析】由x2-2x-3=0移项得:
x2-2x=3,两边都加上1得:
x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4。
则用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是(x-1)2=4。
故选B。
2.(2012广东广州3分)已知a>b,若c是任意实数,则下列不等式中总是成立的是【】
A.a+
c<b+c B.a﹣c>b﹣c C.ac<bc D.ac>bc
【答案】B。
【考点】不等式的性质。
【分析】根据不等式的性质,应用排除法分别将个选项分析求解即可求得答案:
A、∵a>b,c是任意实数,∴a+c>b+c,故本选项错误;
B、∵a>b,c是任意实数,∴a﹣c>b﹣c,故本选项正确;
C、当a>b,c<0时,ac<bc,而此题c是任意实数,故本选项错误;
D、当a>b,c>0时,ac>bc,而此题c是任意实数,故本选项错误.
故选B。
3.(2012广东湛江4分)湛江市2009年平均房价为每平方米4000元.连续两年增长后,2011年平均房价达到每平方米5500元,设这两年平均房价年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是【】
A.5500(1+x)2=4000B.5500(1﹣x)2=4000C.4000(1﹣x)2=5500D.4000(1+x)2=5500
【答案】D。
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程(增长率问题)。
【分析】设年平均增长率为x,那么2010年的房价为:
4000(1+x),2011年的房价为:
4000(1+x)2=5500。
故选D。
二、填空题
1.(2012广东省4分)不等式3x﹣9>0的解集是 ▲ .
【答案】x>3。
【考点】解一元一次不等式。
【分析】移项得,3x>9,系数化为1得,x>3。
2.(2012广东佛山3分)分式方程
的解x等于▲;
【答案】x=1。
【考点】解分式方程
【分析】去分母,得3x-1=2,移项、合并,得3x=3,解得x=1。
检验:
当x=1时,x≠0
所以,原方程的解为x=1。
3.(2012广东佛山3分)某药品原价是100元,经连续两次降价后,价格变为64元,如果每次降价的百分率是一样的,那么每次降价的百分率是▲;
【答案】20%。
【考点】一元二次方程的应用(增长率问题)。
【分析】设每次降价的百分率是x,第一次降价后,价格变为100(1-x),则第二次降价后,价格变为
100(1-x)(1-x)=100(1-x)2。
据此列出方程:
100(1-x)2=64,解得x=20%。
4.(2012广东广州3分)不等式x﹣1≤10的解集是 ▲ .
【答案】x≤11。
【考点】解一元一次不等式。
【分析】首先移项,然后合并同类项即可:
移项,得:
x≤10+1,∴不等式的解集为x≤11。
5.(2012广东广州3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2
x+k=0有两个相等的实数根,则k值为
▲ .
【答案】3。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2
x+k=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣2
)2﹣4k=0,解得k=3。
6.(2012广东汕头4分)不等式3x﹣9>0的解集是 ▲ .
【答案】x>3。
【考点】解一元一次不等式。
【分析】移项得,3x>9,系数化为1得,x>3。
7.(2012广东湛江4分)请写出一个二元一次方程组 ▲,使它的解是
.
【答案】
(答案不唯一)。
【考点】二元一次方程的解。
【分析】根据二元一次方程解的定义,围绕
列一组等式,例如:
由x+y=2+(-1)=1得方程x+y=1;由x-y=2-(-1)=3得方程x-y=3;
由x+2y=2+2(-1)=0得方程x+2y=0;由2x+y=4+(-1)=3得方程2x+y=3;等等,
任取两个组成方程组即可,如
(答案不唯一)。
8.(2012广东珠海4分)不等式组
的解集是 ▲.
【答案】﹣1<x≤2。
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分:
同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了(无解)。
因此,
解第一个不等式得,x>﹣1,
解第二个不等式得,x≤2,
∴不等式组的解集是﹣1<x≤2。
三、解答题
1.(2012广东省6分)解方程组:
.
【答案】解:
①+②得,4x=20,解得x=5,
把x=5代入①得,5﹣y=4,解得y=1,
∴不等式组的解为:
。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】先用加减消元法求出x的值,再用代入法求出y的值即可。
2.(2012广东省7分)据媒体报道,我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次,2011年公民出境旅游总人数约7200万人次,若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题:
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?
【答案】解:
(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x.根据题意得
5000(1+x)2=7200.
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)。
答:
这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%。
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,则2012年我国公民出境旅游总人数为
7200(1+x)=7200×120%=8640万人次。
答:
预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】
(1)设年平均增长率为x.根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1+x)万人次,2011年公民出境旅游总人数5000(1+x)2万人次.根据题意得方程求解。
(2)2012年我国公民出境旅游总人数约7200(1+x)万人次。
3.(2012广东佛山6分)解不等式组
,注:
不等式(1)要给出详细的解答过程.
【答案】解:
解不等式
(1)得:
3-2x+1≥5x+4,-2x-5x≥4-3-1,-7x≥0,x≤0;
解不等式
(2)得:
x-6<4x,x-4x<6,-3x<6,x>-2。
∴不等式组的解集是-2<x≤0。
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分:
同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了(无解)。
4.(2012广东广州9分)解方程组
.
【答案】解:
,
①+②得,4x=20,解得x=5;
把x=5代入①得,5﹣y=8,解得y=﹣3。
∴方程组的解是
。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】根据y的系数互为相反数,利用加减消元法求解即可。
5.(2012广东梅州7分)解不等式组:
,并判断﹣1、
这两个数是否为该不等式组的解.
【答案】解:
,
由①得x>﹣3;由②得x≤1。
∴原不等式组的解集为:
﹣3<x≤1,
∵﹣3<﹣1≤1,∴﹣1是该不等式组的解。
∵1<
,∴
不是该不等式组的解。
【考点】解一元一次不等式组,估算无理数的大小。
【分析】解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分:
同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了(无解)。
判断﹣1、
这两个数是否为该不等式组的解只要判断它们在不在﹣3<x≤1内即可:
6.(2012广东梅州8分)解方程:
.
【答案】解:
方程两边都乘以(x+1)(x﹣1),得4﹣(x+1)(x+2)=﹣(x2﹣1),
整理,得,3x=1,解得
。
经检验,
是原方程的根。
∴原方程的解是
。
【考点】解分式方程。
【分析】观察可得最简公分母是(x+1)(x﹣1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解。
7.(2012广东汕头7分)解方程组:
.
【答案】解:
①+②得,4x=20,解得x=5,
把x=5代入①得,5﹣y=4,解得y=1,
∴不等式组的解为:
。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】先用加减消元法求出x的值,再用代入法求出y的值即可。
8.(2012广东汕头7分)据媒体报道,我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次,2011年公民出境旅游总人数约7200万人次,若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题:
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?
【答案】解:
(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x.根据题意得
5000(1+x)2=7200.
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)。
答:
这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%。
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,则2012年我国公民出境旅游总人数为
7200(1+x)=7200×120%=8640万人次。
答:
预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】
(1)设年平均增长率为x.根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1+x)万人次,2011年公民出境旅游总人数5000(1+x)2万人次.根据题意得方程求解。
(2)2012年我国公民出境旅游总人数约7200(1+x)万人次。
9.(2012广东湛江12分)先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:
解一元二次不等式x2﹣4>0
解:
∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2)
∴x2﹣4>0可化为
(x+2)(x﹣2)>0
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
解不等式组①,得x>2,
解不等式组②,得x<﹣2,
∴(x+2)(x﹣2)>0的解集为x>2或x<﹣2,
即一元二次不等式x2﹣4>0的解集为x>2或x<﹣2.
(1)一元二次不等式x2﹣16>0的解集为 ;
(2)分式不等式
的解集为 ;
(3)解一元二次不等式2x2﹣3x<0.
【答案】解:
(1)x>4或x<﹣4。
(2)x>3或x<1。
(3)∵2x2﹣3x=x(2x﹣3)
∴2x2﹣3x<0可化为x(2x﹣3)<0
由有理数的乘法法则“两数相乘,异号得负”,得
或
。
解不等式组①,得0<x<
,解不等式组②,无解。
∴不等式2x2﹣3x<0的解集为0<x<
。
【考点】有理数的乘法法则,一元一次不等式组的应用。
【分析】
(1)将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。
(2)根据有理数的除法法则“两数相除,同号得正”,可以得到其分子、分母同号,从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。
(3)将一元二次不等式的左边因式分解后,有理数的乘法法则“两数相乘,异号得负”,化为两个一元一次不等式组求解即可。
10.(2012广东肇庆6分)解不等式:
,并把解集在下列的数轴上(如图)表示出来.
【答案】解:
2(x+3)-4>0,
去括号得:
2x+6-4>0,
合并同类项得:
2x+2>0,
移项得:
2x>-2,
把x的系数化为1得:
x>-1。
∴原不等式的解为x>-1。
在数轴上表示为:
【考点】解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集。
【分析】解一元一次不等式,首先去括号,再合并同类项,移项,再把x的系数化为1即可求出不等式组的解集。
不等式的解集在数轴上表示的方法:
>,≥向右画;<,≤向左画,在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示。
11.(2012广东肇庆7分)顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游,到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人,到两地旅游的人数各是多少人?
【答案】解:
设到怀集的旅游人数为x人,则到德庆旅游的人数为(2x-1)人,根据题意得,
X+(2x-1)=200,解得,x=67。
2x-1=133。
答:
到怀集和德庆旅游的人数各是67人,133人。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】根据到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人,以及顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游,即可得出等式方程求解。
12.(2012广东珠海6分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=﹣3时,求方程的根.
【答案】解:
(1)∵当m=3时,△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8<0,
∴原方程无实数根。
(2)当m=﹣3时,原方程变为x2+2x﹣3=0,
∵(x﹣1)(x+3)=0,∴x﹣1=0,x+3=0。
∴x1=1,x2=﹣3。
【考点】一元二次方程根的判别式,因式分解法解一元二次方程。
【分析】
(1)判断一元二次方程根的情况,只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号即可判断:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根。
(2)把m的值代入方程,用因式分解法求解即可。
13.(2012广东珠海6分)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的
倍,购进数量比第一次少了30支.
(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元?
(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元,问每支售价至少是多少元?
【答案】解:
(1)设第一次每支铅笔进价为x元,由第二次每支铅笔进价为
x元。
根据题意列方程得,
,解得,x=4。
检验:
当x=4时,分母不为0,
∴x=4是原分式方程的解。
答:
第一次每支铅笔的进价为4元。
(2)设售价为y元,根据题意列不等式为:
解得,y≥6。
答:
每支售价至少是6元。
【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】
(1)方程的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。
设第一次每支铅笔进价为x元,由第二次每支铅笔进价为
x元。
本题等量关系为:
第一次购进数量-第二次购进数量=30
-
=30。
(2)设售价为y元,求出利润表达式,然后列不等式解答。
利润表达式为:
第一次购进数量×第一次每支铅笔的利润+第二次购进数量×第二次每支铅笔的利润
·
+
·
。
14.(2012广东河源6分)解不等式组:
解不等式组:
,并判断﹣1、
这两个数是否为该不等式组的解.
【答案】解:
,
由①得x>﹣3;由②得x≤1。
∴原不等式组的解集为:
﹣3<x≤1,
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分:
同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了(无解)。
15.(2012广东河源7分)解方程:
+
=-1.
【答案】解:
方程两边都乘以(x+1)(x﹣1),得4﹣(x+1)(x+2)=﹣(x2﹣1),
整理,得,3x=1,解得
。
经检验,
是原方程的根。
∴原方程的解是
。
【考点】解分式方程。
【分析】观察可得最简公分母是(x+1)(x﹣1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解。
16.(2012广东河源9分)
(1)已知方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2,求证:
x1+x2=-p,x1·x2=q.
(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于点A、B,且过点(―1,―1),设线段AB的长为d,当p为
何值时,d2取得最小值并求出该最小值.
【答案】
(1)证明:
∵a=1,b=p,c=q,p2﹣4q≥0,
∴
。
(2)解:
把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得p﹣q=2,即q=p﹣2。
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)。
∵d=|x1﹣x2|,
∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4。
∴当p=2时,d2的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,抛物线与x轴的交点,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。
【分析】
(1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可】
(2)把点(﹣1,﹣1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式,应用二次函数的最值原理即可得出结论。
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