数学建模期末论文猎狗追兔问题.docx
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数学建模期末论文猎狗追兔问题
《数学建模》课程期末论文
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猎狗追兔问题
一、问题重述
如图1所示,有一只猎狗在B点位置,发现了一只兔子在正东北方距离它250m的地方O处,此时兔子开始以8m/s的速度正向正西北方向,距离为150m的洞口A全速跑去.假设猎狗在追赶兔子的时候,始终朝着兔子的方向全速奔跑。
请回答下面的问题:
⑴猎狗能追上兔子的最小速度是多少?
⑵在猎狗能追上兔子的情况下,猎狗跑过的路程
是少?
⑶假设猎狗在追赶过程中,当猎狗与兔子之间的
距离为30m时,兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半,
而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍,在这种情
况下回答前面两个问题。
二、问题分析与假设
在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶,所以可以建立平面直角坐标系,通过导数联立起猎狗运动位移,速度和兔子的运动状态。
1.假设兔子的运动是匀速的。
2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。
3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。
4.猎狗运动时总是朝向兔子。
三、模型的建立及求解
3.1符号规定
1.(x,y):
猎狗或者兔子所在位置的坐标。
2.t:
从开始到问题结束经过的时间。
3.a:
猎狗奔跑的路程。
4.
B
A
N
O
W
S
E
v:
猎狗的奔跑速度。
3.2问题一的模型建立与求解
猎狗能够抓到兔子的必要条件:
猎狗的运动轨迹在OA要有交点
以OA为y轴,以OB为x轴建立坐标系,则由图有O(0,0),A(0,150),B(250,0),兔子的初始位置0点,而猎狗初始位置是B点,t(s)后猎狗到达了C(x,y),而兔子到达了D(0,8t),则有CD的连线是猎狗运动轨迹的一条切线,由导数的几何意义有:
三式联立消去t,得到;
若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运动时此方程有解,设:
得到:
得到:
两式联立相加得到:
1.如果q=1即v=8m/s得到:
所以此情况无交点,所以v=8m/s猎狗无法追上兔子;
2.如果q<1即v>8m/s得到:
此情况有交点,所以有可能能够追上兔子,如果要追上兔子需要y<=150;
解得到:
即所以这种情况下能够追上的最小速度是.
3.如果q>1利用上式得到,所以这种情况不能追上兔子。
综上讨论,猎狗可以追上兔子的最小速度为。
3.3问题二的模型建立与求解
如果猎狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹和兔子的轨迹必相交与一点,此时兔子的路程,所用放的时间,那么猎狗的的路程a=tv;
带入数值解得a=。
3.4模型三的建立与求解
模型三利用matlab试验,得到代码如下:
a=8;
dogxa=[];
dogya=[];
rabbitxa=[];
rabbitya=[];
d=1;
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
dt=0.001;
forb=0:
100
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
c=b;
a=8;
while(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d&rabbity<150)
if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)<=30)
b=b*1.1^dt;
a=a*0.5^dt;
end
t=t+dt;
dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2);
dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2);
rabbitx=rabbitx+0;
rabbity=rabbity+a*dt;
end
if(rabbity<=150)
b=c;
break;
end
end
fprintf('猎狗的最小速度是:
:
%2f',b);
a=8;
b=16;
d=1;
dogxb=[];
dogyb=[];
rabbitxb=[];
rabbityb=[];
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
dt=0.001;
s=0;
while(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d)
t=t+dt;
if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)<=30)
b=b*1.1^dt;
a=a*0.5^dt;
end
dogx0=dogx;
dogy0=dogy;
dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)
dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)
dogxb=[dogxb,dogx];
dogyb=[dogyb,dogy];
rabbitx=rabbitx+0;
rabbity=rabbity+a*dt;
rabbitxb=[rabbitxb,rabbitx];
rabbityb=[rabbityb,rabbity];
s=s+sqrt((dogx0-dogx)^2+(dogy0-dogy)^2);
end
fprintf('最短路程是:
%1f',s);
得到猎狗的最小速度是:
16m/s
猎狗此时的路程是:
312.5m
四、模型的检验
4.1问题一的模型检验
使用matlab进行计算机模拟实验检验模型的可行性:
问题一的检验:
h=250;
a=8;
v=16;
dogxb=[];
dogyb=[];
rabbitxb=[];
rabbityb=[];
d=0.01;
dt=0.1;
t=0;
dogx=h;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
while((sqrt(dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d&&t<=19.3)
t=dt+t;
dogx=dogx-v*dt*dogx/sqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2);
dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)/sqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2);
dogxb=[dogxb,dogx];
dogyb=[dogyb,dogy];
rabbity=a*t;
rabbityb=[rabbityb,rabbity];
end
rabbitxb=zeros(length(rabbityb));
plot(dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'*')
4.2问题二的模型检验
n=250;
a=8;
v=16;
d=0.1;
dt=0.1;
t=0;
dx=n;
dy=0;
rx=0;
ry=0;
while(sqrt((dx-rx)^2+(dy-ry)^2)>d&&t<19.3)
plot(dx,dy,rx,ry,'y*')
pause(0.00001)
holdon
t=dt+t;
dx=dx-v*dt*dx/sqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);
dy=dy+v*dt*(a*t-dy)/sqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);
ry=a*t;
plot(dx,dy,rx,ry,'y*')
end
五、模型的评价
5.1模型的优缺点
模型的优点。
(1)模型的使用围比较广泛,可以类推到其他许多模型中。
(2)模型具有很高的使用价值。
(3)模型对题目中的问题解决合适,模型使用得当。
模型的缺点。
(4)题目中增加了一些理想化的假设,致使模型的波动比较大。
(5)不同兔子和猎狗的情况会有差异。
5.2模型的改进
可使用仿生学原理,建立我们更加准确的模型。
六、参考文献
[1]书来,MATLAB编程与最优化问题,:
电子工业,2013。
[2]邬学军,周凯,宋军全,数学建模竞赛辅导教程,,大学,2009。
[3]志林,欧宜贵,数学建模及其典型案例分析,,化学工业,2006.
[4]Matlab入门教程,wenku.baidu./view/daf8592fff00bed5b9f31d5d.htl
2014.06
附录1:
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