初中数学辅助线的添加方法及压轴题答题技巧.docx
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初中数学辅助线的添加方法及压轴题答题技巧
初中数学辅助线的添加方法及压轴题答题技巧
1
三角形中常见辅助线的添加
1.与角平分线有关的
(1)可向两边作垂线。
(2)可作平行线,构造等腰三角形
(3)在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形
2.与线段长度相关的
(1)截长:
证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
(2)补短:
证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得延长的部分等于另外一条较短的线段,再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
(3)倍长中线:
题目中如果出现了三角形的中线,方法是将中线延长一倍,再将端点连结,便可得到全等三角形。
(4)遇到中点,考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3.与等腰等边三角形相关的
(1)考虑三线合一
(2)旋转一定的度数,构造全都三角形,等腰一般旋转顶角的度数,等边旋转60°
2
四边形中常见辅助线的添加
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。
在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。
下面介绍一些辅助线的添加方法。
1.和平行四边形有关的辅助线作法
平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。
(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形
(2)利用两组对边平行构造平行四边形
(3)利用对角线互相平分构造平行四边形
2.与矩形有辅助线作法
(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。
和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。
3.和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。
(1)作菱形的高
(2)连结菱形的对角线
4.与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多。
解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。
5.与梯形有关的辅助线的作法
和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:
(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形
(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形
(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形
(4)延长两腰构成三角形
(5)作两腰的平行线等
3
圆中常见辅助线的添加
1.遇到弦时(解决有关弦的问题时)
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。
作用:
①利用垂径定理
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量
2.遇到有直径时
常常添加(画)直径所对的圆周角
作用:
利用圆周角的性质得到直角或直角三角形
3.遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点
作用:
利用圆周角的性质,可得到直径
4.遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点
作用:
①可得等腰三角形
②据圆周角的性质可得相等的圆周角
5.遇到有切线时
常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)
作用:
利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形
常常添加连结圆上一点和切点
作用:
可构成弦切角,从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时
(1)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。
作用:
若OA=r,则l为切线
(2)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径)
作用:
只需证OA⊥l,则l为切线
(3)有遇到圆上或圆外一点作圆的切线
7.遇到两相交切线时(切线长)
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点
作用:
据切线长及其它性质,可得到
①角、线段的等量关系
②垂直关系
③全等、相似三角形
8.遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段
作用:
利用内心的性质,可得
①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线
②内心到三角形三条边的距离相等
9.遇到三角形的外接圆时
连结外心和各顶点
作用:
外心到三角形各顶点的距离相等
10.遇到两圆外离时
(解决有关两圆的外、内公切线的问题)常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线
作用:
①利用切线的性质;
②利用解直角三角形的有关知识
11.遇到两圆相交时
常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等
作用:
①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识
②利用圆内接四边形的性质
③利用两圆公共的圆周的性质
④垂径定理
12.遇到两圆相切时
常常作连心线、公切线
作用:
①利用连心线性质
②切线性质等
13.遇到三个圆两两外切时
常常作每两个圆的连心线
作用:
可利用连心线性质
14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时
常常添加辅助圆
作用:
以便利用圆的性质
初中数学压轴题答题技巧
01
分类讨论题
分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现,以下几点是需要大家注意分类讨论的:
1.熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊性质,找准讨论对象,逐一解决。
在探讨等腰或直角三角形存在时,一定要按照一定的原则,不要遗漏,最后要综合。
2.讨论点的位置一定要看清点所在的范围,是在直线上,还是在射线或者线段上。
3.图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题,对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。
4.代数式变形中如果有绝对值、平方时,里面的数开出来要注意正负号的取舍。
5.考查点的取值情况或范围。
这部分多是考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。
6.函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点,那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。
7.由动点问题引出的函数关系,当运动方式改变后(比如从一条线段移动到另一条线段)时,所写的函数应该进行分段讨论。
值得注意的是:
在列出所有需要讨论的可能性之后,要仔细审查是否每种可能性都会存在,是否有需要舍去的。
最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根,那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。
02
四个秘诀
切入点一:
做不出、找相似,有相似、用相似
压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高。
学生往往不知道该怎样入手,这时往往应根据题意去寻找相似三角形。
切入点二:
构造定理所需的图形或基本图形
在解决问题的过程中,有时添加辅助线是必不可少的,几乎都遵循这样一个原则:
构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。
切入点三:
紧扣不变量
在图形运动变化时,图形的位置、大小、方向可能都有所改变,但在此过程中,往往有某两条线段,或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。
切入点四:
在题目中寻找多解的信息
图形在运动变化,可能满足条件的情形不止一种,也就是通常所说的两解或多解,如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题,其实多解的信息在题目中就可以找到,这就需要我们深度的挖掘题干,实际上就是反复认真的审题。
03
答题技巧
定位准确防止“捡芝麻丢西瓜”
在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制,如果超过你设置的上限,必须要停止,回头认真检查前面的题,尽量要保证选择、填空万无一失,前面的解答题尽可能的检查一遍。
解数学压轴题做一问是一问
第一问对绝大多数同学来说,不是问题;如果第一小问不会解,切忌不可轻易放弃第二小问。
过程会多少写多少,因为数学解答题是按步骤给分的,字迹要工整,布局要合理;尽量多用几何知识,少用代数计算,尽量用三角函数,少在直角三角形中使用相似三角形的性质。
04
压轴题技巧
纵观全国各地的中考数学试卷,数学综合题关键是第22题和23题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题
是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有:
①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;
②反比例函数,它所对应的图像是双曲线;
③二次函数,它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。
几何型综合题
先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:
在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。
一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。
在解数学综合题时我们要做到:
数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。
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