高中数学第一章常用逻辑用语13简单的逻辑联结词131且and132或or学案新人教A版选修212.docx

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高中数学第一章常用逻辑用语13简单的逻辑联结词131且and132或or学案新人教A版选修212

1.3.1　且（and）1.3.2　或（or）

学习目标

　1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.

知识点一　“且”

思考　观察三个命题：

①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？

从集合的角度如何理解“且”的含义.

答案　命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.

梳理　

（1）定义：

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题.

我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：

p

q

p∧q

真

真

真

真

假

假

假

真

假

假

假

假

命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.

（2）“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.

（3）我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假.

知识点二　“或”

思考　观察三个命题：

①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？

从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.

答案　命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.

“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：

要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即两者中至少要有一个.

梳理　

（1）定义：

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.

（2）判断用“或”联结的命题的真假：

当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.

我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：

p

q

p∨q

真

真

真

真

假

真

假

真

真

假

假

假

命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.

（3）对“或”的理解：

我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.

（4）我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假.

类型一　含有“且”“或”命题的构成

命题角度1　简单命题与复合命题的区分

例1　指出下列命题的形式及构成它的命题.

（1）向量既有大小又有方向；

（2）矩形有外接圆或有内切圆；

（3）2≥2.

解　

（1）是p∧q形式命题.

其中p：

向量有大小，q：

向量有方向.

（2）是p∨q形式命题.

其中p：

矩形有外接圆，q：

矩形有内切圆.

（3）是p∨q形式命题.

其中p：

2>2，q：

2＝2.

反思与感悟　不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.

判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.

跟踪训练1　命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题.

答案　p∧q

命题角度2　用逻辑联结词构造新命题

例2　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.

（1）p：

梯形有一组对边平行，q：

梯形有一组对边相等；

（2）p：

－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：

－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.

解　

（1）p或q：

梯形有一组对边平行或有一组对边相等.

p且q：

梯形有一组对边平行且有一组对边相等.

（2）p或q：

－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.

p且q：

－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.

反思与感悟　用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.

跟踪训练2　指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.

（1）0≤2；

（2）30是5的倍数，也是6的倍数.

解　

（1）此命题为“p∨q”形式的命题，其中

p：

0<2；q：

0＝2.

（2）此命题为“p∧q”形式的命题，其中

p：

30是5的倍数；

q：

30是6的倍数.

类型二　“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断

例3　分别指出“p∨q”“p∧q”的真假.

（1）p：

函数y＝sinx是奇函数；q：

函数y＝sinx在R上单调递增；

（2）p：

直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：

直线x＝

与圆x2＋y2＝1相交.

解　

（1）∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假.

（2）∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真.

反思与感悟　形如p∨q，p∧q，命题的真假根据真值表判定.如：

p

q

p∧q

p∨q

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

假

真

假

假

假

假

跟踪训练3　分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.

（1）p：

是无理数，q：

π不是无理数；

（2）p：

集合A＝A，q：

A∪A＝A；

（3）p：

函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：

方程x2＋3x－4＝0没有实数根.

解　

（1）∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假.

（2）∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真.

（3）∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假.

类型三　已知复合命题的真假求参数范围

例4　设命题p：

函数f（x）＝lg（ax2－x＋

a）的定义域为R；命题q：

关于x的不等式3x－9x

（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；

（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.

解　

（1）若命题p为真命题，

则ax2－x＋

a>0对x∈R恒成立.

当a＝0时，－x>0，不合题意；

当a≠0时，可得

即

∴a>2.

（2）令y＝3x－9x＝－（3x－

）2＋

.

由x>0，得3x>1，∴y＝3x－9x的值域为（－∞，0）.

若命题q为真命题，则a≥0.

由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假.

当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤2.

∴满足条件的a的取值范围是{a|0≤a≤2}.

反思与感悟　解决此类问题的方法：

首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.

跟踪训练4　已知命题p：

方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：

只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.

解　对于命题p：

由a2x2＋ax－2＝0，

得（ax＋2）（ax－1）＝0，

显然a≠0，∴x＝－

或x＝

，

∵x∈[－1，1]，故|－

|≤1或|

|≤1，即|a|≥1.

∴p为假时得|a|<1.

对于命题q：

只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

由Δ＝4a2－8a＝0，得a＝0或a＝2.

∴q为假时得a≠0且a≠2.

又命题“p或q”为假，即p与q都为假命题，

∴a的取值范围是（－1，0）∪（0，1）.

1.已知命题p、q，若p为真命题，则（　　）

A.p∧q必为真B.p∧q必为假

C.p∨q必为真D.p∨q必为假

答案　C

解析　p∨q，见真则真，故必有p∨q为真.

2.命题“xy≠0”是指（　　）

A.x≠0且y≠0B.x≠0或y≠0

C.x、y至少有一个不为0D.不都是0

答案　A

解析　满足xy≠0，即x，y两个都不为0，故选A.

3.已知p：

函数y＝sinx的最小正周期为

，q：

函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，则p∧q是________命题.（填“真”或“假”）

答案　假

解析　据题命题p为假命题，命题q也是假命题，故p∧q是假命题.

4.已知命题p：

函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是减函数；命题q：

函数g（x）＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________.

答案　[－2，

）

解析　命题p：

由函数f（x）在R上为减函数得2a－1<0，解得a<

，

命题q：

由函数g（x）＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，

得－

≤1，解得a≥－2.

由p∧q为真得p、q都为真，故a的取值范围为（－∞，

）∩[－2，＋∞），即为[－2，

）.

5.已知命题p：

函数f（x）＝（x＋m）（x＋4）为偶函数；命题q：

方程x2＋（2m－1）x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围.

解　若命题p为真，则由f（x）＝x2＋（m＋4）x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.

设g（x）＝x2＋（2m－1）x＋4－2m，其图象开口向上，

若命题q为真，则g

（2）<0，即22＋（2m－1）×2＋4－2m<0，解得m<－3.

由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假.

若p假q真，则m<－3且m≠－4；

若p真q假，则m无解.

所以m的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，－3）.

1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：

弄清构成它的命题条件、结论.

2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假.

（1）“p∧q”形式的命题简记为：

同真则真，一假则假；

（2）“p∨q”形式的命题简记为：

同假则假，一真则真.

40分钟课时作业

一、选择题

1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　p∧q是真命题⇒p是真命题，且q是真命题⇒p∨q是真命题；p∨q是真命题⇏p∧q是真命题.

2.p：

方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：

函数f（x）＝（a2－a）x是增函数，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.a>0B.a≥0C.a>1D.a≥1

答案　B

解析　∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，

∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.

∵函数f（x）＝（a2－a）x是增函数，

∴a2－a>0，解得a<0或a>1.

∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，

∴p，q中一真一假.

①当p真q假时，得0≤a≤1；

②当p假q真时，得a>1.

由①②得，所求a的取值范围是a≥0.

3.命题p：

“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：

△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，则（　　）

A.p真q假B.p∧q为真

C.p∨q为假D.p假q真

答案　D

解析　命题p假，命题q真.

4.命题p：

点P在直线y＝2x－3上；q：

点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（　　）

A.（0，－3）B.（1，2）

C.（1，－1）D.（－1，1）

答案　C

解析　点（x，y）满足

解得P（1，－1）或P（－3，－9），故选C.

5.设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称.则下列判断正确的是（　　）

A.p为真B.q为真

C.p且q为假D.p或q为真

答案　C

解析　利用含逻辑联结词命题的真值表求解.

p是假命题，q是假命题，因此只有C正确.

6.给出下列命题：

①2>1或1>3；

②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；

③25是6或5的倍数；

④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.

其中真命题的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　D

解析　①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；

②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；

③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；

④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题.

二、填空题

7.命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题.（填“真”或“假”）

答案　假

解析　该命题是由命题p：

“相似三角形的面积相等”和命题q：

“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题.

因为p是假命题，q也是假命题，所以p∨q是假命题.

8.若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是________命题.（填“真”或“假”）

答案　假

解析　因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题，

故p∧q必为假命题.

9.已知p：

x2－2x－3<0；q：

<0，若p且q为真，则x的取值范围是________.

答案　（－1，2）

解析　当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1

当q为真命题时，x－2<0，则x<2.

当p且q为真命题时，p和q均为真命题，

从而－1

10.设p：

关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}，q：

函数y＝lg（ax2－x＋a）的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为______________.

答案　（0，

]∪[1，＋∞）

解析　若p真，则0

若p假，则a≥1或a≤0.

若q真，有

⇒a>

.

若q假，则a≤

，

又p和q有且仅有一个为真，

∴当p真q假时，0

，

当p假q真时，a≥1，

综上所述，a∈（0，

]∪[1，＋∞）.

三、解答题

11.判断下列复合命题的真假.

（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；

（2）不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.

解　

（1）这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：

等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：

等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题.

（2）这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：

不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：

不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题.

12.设p：

函数f（x）＝lg（ax2－4x＋a）的定义域为R；q：

设a＝（2x2＋x，－1），b＝（1，ax＋2），不等式a·b>0对任意x∈（－∞，－1）恒成立.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.

解　若p为真命题，则ax2－4x＋a>0对x∈R都成立，

则（－4）2－4a2<0且a>0，即

解得a>2.

若q为真命题，则由a·b>0对任意x∈（－∞，－1）恒成立，

知2x2＋x－（ax＋2）>0，即a>2x－

＋1对任意x∈（－∞，－1）恒成立，则a>（2x－

＋1）max.

令f（x）＝2x－

＋1，可知f（x）在（－∞，－1）上是增函数，当x＝－1时取得最大值，ymax＝1.

故a≥1.

又p∨q为真命题，p∧q为假命题，则等价于p，q中一个为真命题，另一个为假命题.

若p真q假，则

无解；

若p假q真，则

则1≤a≤2.

综上，实数a的取值范围为[1，2].

13.已知c>0，设命题p：

函数y＝cx为减函数.命题q：

当x∈

时，函数f（x）＝x＋

>

恒成立.如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围.

解　由命题p为真知，0

由命题q为真知，2≤x＋

≤

，

要使此式恒成立，需

<2，即c>

，

若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

则p、q中必有一真一假，

当p真q假时，c的取值范围是0

；

当p假q真时，c的取值范围是c≥1.

综上可知，c的取值范围是0

或c≥1.