直线方程计算有详解.docx
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直线方程计算有详解.docx
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直线方程计算有详解
直线方程训练
一.解答题(共30小题)
1.(2014•模拟)过点P(2,3)且与直线2x+y﹣1=0垂直的直线方程是 _________ .
2.(1977•)求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过(1,1)点的直线方程.
3.(1977•)一条直线过点(1,﹣3),并且与直线2x+y﹣5=0平行,求这条直线的方程.
4.△ABC中,已知点A(3,﹣1)和点B(10,5),∠B的平分线所在直线方程为x﹣4y+10=0,求BC边所在直线的方程.
5.设过点P(2,1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,O为坐标原点,且△AOB的面积>,求直线l的斜率k的取值围.
6.已知直线l的倾斜角为120°,并且直线l过点(﹣3,﹣2),求直线l的方程.
7.求过点P(0,1)的直线l,使它包含在两已知直线l1:
2x+y﹣8=0和l2:
x﹣3y+10=0间的线段被点P平分.
8.已知直线l的斜率为2,且直线过(﹣1,3)点,求直线l与坐标轴的交点坐标.
9.求过点A(﹣1,﹣1)、点B(3﹣,1﹣)的直线方程.
10.一条直线经过点A(2,﹣3),并且它的斜率等于直线y=x的斜率的2倍,求这条直线的方程.
11.已知点m是直线l:
x﹣y+3=0与x轴的交点,将直线l绕点m旋转30°,求所得到的直线l′的方程.
12.如图,在△ABC中,已知A(5,﹣2)、B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,求这个三角形三边所在直线的方程.
13.已知A(3,3),B(﹣4,2),C(0,﹣2).
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动,求直线AD的斜率的变化围.
14.一条直线过点A(3,﹣2),且横截距与纵截距绝对值相等,求该直线的方程.
15.求经过点(4,﹣3)且在坐标轴上截距相等的直线方程.
16.是否存在过点(﹣5,﹣4)的直线l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5,并说明理由.
17.一直线与两坐标围成的三角形的面积为4,且斜率为2,求该直线方程.
18.已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为﹣9和9.
(1)写出直线l的方程;
(2)在l上求一点P,使P到点F1(﹣3,0)、F2(3,0)的距离之和最小,并求这最小值.
19.求与直线4x﹣3y+5=0垂直,且与坐标轴围成三角形的面积为24的直线方程.
20.已知直线l过点P(﹣6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍,求直线l的方程.
21.已知点A(3,4),求满足下列条件的直线方程l,经过点A且在两坐标轴上截距相等.
22.已知直线l方程为y=2x﹣2.
(1)求直线l分别与x轴、y轴的交点A、B的坐标;
(2)若点C(﹣2,2),求△ABC的面积.
23.已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A﹣3B+3C=0,求此直线的一般式方程.
24.已知直线l:
5ax﹣5y﹣a+3=0.
(1)证明:
不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)若直线l不经过第二象限,求a的围.
25.已知x,y满足直线l:
x+2y=6.
(1)求原点O关于直线l的对称点P的坐标;
(2)当x∈(1,3]时,求k=的取值围.
26.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:
(1)斜率为,并且经过点A(5,3);
(2)过点B(﹣3,0),且垂直于x轴.
27.如果直线l经过点(3,4)且点(﹣3,2)到直线l的距离最大,求这条直线的方程.
28.已知两直线l1:
ax﹣by+4=0,l2:
2x+y+2=0,求满足直线l1与l2平行且直线l2过点(1,1)时a、b的值.
29.当k为何值时,直线3x﹣(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k﹣3)y+2=0:
(1)相交;
(2)垂直;
(3)平行;
(4)重合.
30.已知直线l1:
(m+1)x﹣(m﹣a)y+2=0,直线l2:
3x+my﹣1=0,且l1⊥l2,数m的值.
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2014•模拟)过点P(2,3)且与直线2x+y﹣1=0垂直的直线方程是 x﹣2y+4=0 .
考点:
直线的一般式方程与直线的垂直关系.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
与直线l:
2x+y﹣1=0垂直的直线的斜率k=,由此能求出过点P(2,3)且与直线l:
2x+y﹣1=0垂直的直线方程.
解答:
解:
∵与直线l:
2x+y﹣1=0垂直的直线的斜率k=,
∴过点P(2,3)与直线l:
2x+y﹣1=0垂直的直线方程为:
y﹣3=(x﹣2),整理,得x﹣2y+4=0.
故答案为:
x﹣2y+4=0.
点评:
本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
2.(1977•)求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过(1,1)点的直线方程.
考点:
直线的一般式方程.菁优网所有
专题:
计算题.
分析:
求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标,两点式写出直线方程,将它化为一般式.
解答:
解:
由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得:
x=2,y=5.
∵直线过点(2,5)和(1,1)
∴所求的直线方程为,
即:
4x﹣y﹣3=0.
点评:
本题考查用两点式求直线方程.
3.(1977•)一条直线过点(1,﹣3),并且与直线2x+y﹣5=0平行,求这条直线的方程.
考点:
直线的一般式方程与直线的平行关系.菁优网所有
专题:
计算题.
分析:
先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率,再根据其过点(1,﹣3),用点斜式求直线方程.
解答:
解:
∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2,
∴所求直线斜率k′=﹣2.
故过点(1,﹣3)且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2(x﹣1),
即2x+y+1=0.
点评:
本题考查直线的平行关系,直线的点斜式方程,是基础题.
4.△ABC中,已知点A(3,﹣1)和点B(10,5),∠B的平分线所在直线方程为x﹣4y+10=0,求BC边所在直线的方程.
考点:
直线的点斜式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
由题意可得关于直线x﹣4y+10=0的对称点A′(x,y)在直线BC上,求A′的坐标可得直线BC的斜率,可得点斜式方程,化为一般式即可.
解答:
解:
设A关于直线x﹣4y+10=0的对称点A′(x,y)
则可得﹣4×+10=0,且•=﹣1,
解得x=1,y=7,即A′(1,7)
由对称性知A′在BC边所在直线上,
∴直线BC的斜率k==﹣
故直线BC的点斜式方程为:
y﹣5=﹣(x﹣10)
化为一般式可得:
2x+9y﹣65=0
点评:
本题考查直线的方程的求解,涉及对称点的求解,属基础题.
5.设过点P(2,1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,O为坐标原点,且△AOB的面积>,求直线l的斜率k的取值围.
考点:
直线的点斜式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
先设直线的斜率为k,得到直线方程,分别求出OA,OB的长,再表示出面积,得到关于k的不等式,解得即可.
解答:
解:
设直线的斜率为k,因为直线与x轴y轴正半轴分别相交,所以k<0,
因为经过点P(2,1),则直线I的方程为y﹣1=k(x﹣2)整理得:
kx﹣y+1﹣2k=0,
当x=0时,y=|OB|=1﹣2k>0,当y=0时,x=|OA|=2﹣>0,
所以S△AOB=|0B||0A|=(1﹣2k)(2﹣)
因为△AOB的面积大于,
所以(1﹣2k)(2﹣)>9,
∴4k2+14k+1>0,
解得k<,或<k<0,
故直线l的斜率k的取值围(﹣∞,)∪(,0),
点评:
本题主要考查了直线方程和,基本不等式的解法,属于基础题.
6.已知直线l的倾斜角为120°,并且直线l过点(﹣3,﹣2),求直线l的方程.
考点:
直线的点斜式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
由直线的倾斜角求出斜率,用点斜式写出直线方程即可.
解答:
解:
∵直线l的倾斜角为120°,
∴直线的斜率为k=tan120°=﹣,
又∵直线l过点(﹣3,﹣2),
∴直线l的方程为
y+2=﹣(x+3),
即x+y+2+3=0.
点评:
本题考查了求直线方程的问题,由直线的倾斜角可以得斜率,由斜率与一点可以写出直线方程,是基础题.
7.求过点P(0,1)的直线l,使它包含在两已知直线l1:
2x+y﹣8=0和l2:
x﹣3y+10=0间的线段被点P平分.
考点:
直线的点斜式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
根据题意,设出直线l1上的一点P1,求出P1关于点P的对称点P2;由P2在直线l2上,求出点P1,即得所求的直线方程.
解答:
解:
根据题意,直线l1:
2x+y﹣8=0可化为
y=﹣2x+8;
设直线l1上的一点P1(x1,﹣2x1+8),
则P1关于点P的对称点是P2(﹣x1,2﹣(﹣2x1+8));
P2在直线l2:
x﹣3y+10=0上,
即﹣x1﹣3(2x1﹣6)+10=0,
解得x1=4,
∴y1=0;
∴所求的直线方程是+y=1,即x+4y﹣4=0.
点评:
本题考查了求直线方程的问题,解题时应根据题意,挖掘解题条件,利用对称关系,求出所求直线上的另一点,是易错题.
8.已知直线l的斜率为2,且直线过(﹣1,3)点,求直线l与坐标轴的交点坐标.
考点:
直线的点斜式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
由于直线l的斜率为2,且直线过(﹣1,3)点,利用点斜式即可得到可得直线l的方程.分别令x=0,y=0,即可得到直线l与坐标轴的交点坐标.
解答:
解:
∵直线l的斜率为2,且直线过(﹣1,3)点,
∴直线l的方程为:
y﹣3=2(x+1),化为2x﹣y+5=0.
令x=0,得到y=5;令y=0,得到x=﹣.
因此直线l与坐标轴的交点坐标分别为(0,5),.
点评:
本题考查了直线的点斜式方程及直线与坐标轴的交点坐标,属于基础题.
9.求过点A(﹣1,﹣1)、点B(3﹣,1﹣)的直线方程.
考点:
直线的两点式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
求出斜率,利用点斜式即可得出.
解答:
解:
kAB==﹣﹣1.
∴直线的方程为
,
化为+y﹣﹣1=0.
点评:
本题考查了直线的点斜式方程,属于基础题.
10.一条直线经过点A(2,﹣3),并且它的斜率等于直线y=x的斜率的2倍,求这条直线的方程.
考点:
直线的点斜式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
由题意易得直线的斜率,进而可得点斜式方程,化为一般式即可.
解答:
解:
∵直线y=x的斜率为,
∴所求直线的斜率为,
∴直线的点斜式方程为y+3=(x﹣2),
化为一般式可得2x﹣y﹣4﹣3=0
点评:
本题考查直线的点斜式方程,属基础题.
11.已知点m是直线l:
x﹣y+3=0与x轴的交点,将直线l绕点m旋转30°,求所得到的直线l′的方程.
考点:
直线的点斜式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
求出直线l与x轴的交点M的坐标,然后分l顺时针和逆时针旋转求出直线l的倾斜角,再进一步分析斜率的情况,斜率不存在时直接写出直线方程,斜率存在时由直线方程的点斜式求得直线方程.
解答:
解:
在方程x﹣y+3=0中,取y=0,得x=﹣.
∴M(),
直线x﹣y+3=0的斜率为,则其倾斜角为60°,
直线l绕点M旋转30°,若是逆时针,则直线l′的倾斜角为90°,
∴直线l′的方程为x=﹣;
若是顺时针,则直线l′的倾斜角为30°,
∴直线l′的斜率为,
∴直线l′的方程为y﹣0=(x+),即x﹣.
点评:
本题考查了直线方程的点斜式,考查了直线的倾斜角与斜率的关系,是基础题.
12.如图,在△ABC中,已知A(5,﹣2)、B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,求这个三角形三边所在直线的方程.
考点:
直线的两点式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
设出M,N,C的坐标,由中点坐标公式求得C点坐标,然后直接利用直线方程的两点式求得三角形ABC三边所在直线的方程.
解答:
解:
设:
M(0,a),N(b,0),C(m,n),
∵A(5,﹣2)、B(7,3),
又M是AC的中点,
∴5+m=0,m=5,
N是BC的中点,
∴3+n=0,n=﹣3.
∴C点坐标为(﹣5,﹣3),
由直线方程的两点式得AB边所在直线方程为:
,
整理得:
5x﹣2y﹣29=0;
AC边所在直线方程为:
,
整理得:
x﹣10y﹣25=0;
BC边所在直线方程为:
,
整理得:
x﹣2y﹣1=0.
点评:
本题考查直线方程的两点式,考查中点坐标公式的应用,是基础题.
13.已知A(3,3),B(﹣4,2),C(0,﹣2).
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动,求直线AD的斜率的变化围.
考点:
直线的两点式方程;直线的斜率.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
(1)根据两点坐标求出直线l的斜率即可;
(2)画出图形,根据图形得出直线CD的斜率k满足kAB≤k≤kAC;求出kCA,kCB即可.
解答:
解:
直线AB的斜率为:
,
直线AC的斜率为:
;
(2)∵点D在线段BC上(包括端点)移动,
又
,,
∴.
点评:
此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率,直线的斜率的问题,解题时应画出图形,结合图形,得出结论,从而解答问题.
14.一条直线过点A(3,﹣2),且横截距与纵截距绝对值相等,求该直线的方程.
考点:
直线的截距式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
分类讨论:
当直线l过原点时满足条件,即可得直线l的方程.当直线l的截距不为0时,可设直线l的方程为.再利用已知可得解得即可.
解答:
解:
①当直线l过原点时满足条件,k=,此时可得直线l的方程为:
.
②当直线l的截距不为0时,可设直线l的方程为.
把点A(3,﹣2)代入可得:
.
又|a|=|b|,联立解得或.
可知直线l的方程分别为:
x+y=1,x﹣y=5.
综上可知:
直线l的方程为:
,x+y=1,x﹣y=5.
点评:
本题考查了直线的截距式方程、分类讨论思想方法,属于基础题.
15.求经过点(4,﹣3)且在坐标轴上截距相等的直线方程.
考点:
直线的截距式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
分直线过原点和不过原点设出直线方程,然后把点(4,﹣3)代入直线方程,求出斜率后直线方程可求.
解答:
解:
当直线过原点时,设方程为y=kx,因为直线过点(4,﹣3),
则﹣3=4k,所以k=,则直线方程为y=x,即3x+4y=0;
当直线l不过原点时,设直线方程为x+y=a,
则4﹣3=a,所以a=1.直线方程为x+y﹣1=0.
故答案为:
3x+4y=0或x+y﹣1=0.
点评:
本题考查了直线的截距式方程,考查了分类讨论的数学思想方法,是基础题.
16.是否存在过点(﹣5,﹣4)的直线l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5,并说明理由.
考点:
直线的截距式方程;三角形的面积公式.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
假设存在过点(﹣5,﹣4)的直线l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5,设直线l的方程为:
,则.由于=5,化为|ab|=10.联立解得即可.
解答:
解:
假设存在过点(﹣5,﹣4)的直线l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5,
设直线l的方程为:
,则.即.
=5,化为|ab|=10.
联立,或.
∴直线l的方程为:
或.
点评:
本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式,属于基础题.
17.一直线与两坐标围成的三角形的面积为4,且斜率为2,求该直线方程.
考点:
直线的截距式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
设直线方程为y=2x+b,分别求出与坐标轴的交点,利用三角形的面积即可求出b.
解答:
解:
∵直线的斜率为2,
∴设直线方程为y=2x+b,(b≠0)
当x=0时,y=b,当y=0时,x=
则三角形的面积S=,
即b2=16,
∴b=±4,
即该直线方程为y=2x±4.
点评:
本题主要考查直线方程的求解,利用待定系数法是解决本题的关键,比较基础.
18.已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为﹣9和9.
(1)写出直线l的方程;
(2)在l上求一点P,使P到点F1(﹣3,0)、F2(3,0)的距离之和最小,并求这最小值.
考点:
直线的截距式方程.菁优网所有
专题:
计算题;作图题;直线与圆.
分析:
(1)由截距式方程写出直线方程化简即可;
(2)设(a,b)是点F1(﹣3,0)关于直线x﹣y+9=0的对称点,则|F2|即是使P到点F1(﹣3,0)、F2(3,0)的距离之和最小时的最小值.求解即可.
解答:
解:
(1)由截距式方程可得,
+=1,
则直线l的方程为:
x﹣y+9=0;
(2)作图如右图,
设(a,b)是点F1(﹣3,0)关于直线x﹣y+9=0的对称点,
则,
解得,a=﹣9,b=6;
直线F2的方程为x+2y﹣3=0,
则由解得,
P(﹣5,4),
即此时P到点F1(﹣3,0)、F2(3,0)的距离之和最小,
最小值为|F2|==6.
点评:
本题考查了直线的方程的求法及距离的问题,属于基础题.
19.求与直线4x﹣3y+5=0垂直,且与坐标轴围成三角形的面积为24的直线方程.
考点:
直线的截距式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
设与直线4x﹣3y+5=0垂直的直线为3x+4y+m=0,求出与两个坐标轴的交点分别为(0,),.再利用三角形的面积计算公式即可得出.
解答:
解:
设与直线4x﹣3y+5=0垂直的直线为3x+4y+m=0,
与两个坐标轴的交点分别为(0,),.
∴=24,解得m=±24.
∴要求的直线为:
3x+4y±24=0.
点评:
本题考查了相互垂直的两条直线斜率之间的关系、三角形的面积计算公式,属于基础题.
20.已知直线l过点P(﹣6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍,求直线l的方程.
考点:
直线的截距式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
根据直线截距关系,利用待定系数法即可得到结论.
解答:
解:
若直线经过原点,则设直线方程为y=kx,
∵直线l过点P(﹣6,3),∴3k=﹣6,解得k=﹣2,此时方程为y=﹣2x,
若直线不经过原点,则设方程为,
将点P(﹣6,3)代入,得,
此时直线方程为,即x+3y﹣3=0,
故求得直线方程是y=﹣2x或x+3y﹣3=0.
点评:
本题考查直线的截距式方程,涉及分类讨论的思想,属基础题.
21.已知点A(3,4),求满足下列条件的直线方程l,经过点A且在两坐标轴上截距相等.
考点:
直线的截距式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
①当过O(0,0)时,②+=1,x+y=a,运用点(3,4)求解即可.
解答:
解:
①当过O(0,0)时,
两坐标轴上截距为0,k=,
直线方程l:
y=x,
②+=1,x+y=a,
∵过点A(3,4),
∴3+4=a,a=7,
∴直线方程l:
x+y=7,
综上:
直线方程l:
x+y=7或y=x
点评:
本题考查了直线的方程的形式,注意截距式的限制条件,属于容易题.
22.已知直线l方程为y=2x﹣2.
(1)求直线l分别与x轴、y轴的交点A、B的坐标;
(2)若点C(﹣2,2),求△ABC的面积.
考点:
直线的截距式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
(1)直线l方程为y=2x﹣2⇒直线l与x轴的交点A的坐标为(1,0),与y轴的交点B的坐标为(0,﹣2);
(2)设点C(﹣2,2)到直线l:
y=2x﹣2的距离为d,利用两点间的距离公式与点到直线间的距离公式可求得|AB|与d,从而可得△ABC的面积.
解答:
解:
(1)∵直线l方程为y=2x﹣2,
∴当y=0时,x=1,即直线l与x轴的交点A的坐标为(1,0);
当x=0时,y=﹣2,直线l与y轴的交点B的坐标为(0,﹣2);
(2)设点C(﹣2,2)到直线l:
y=2x﹣2的距离为d,则d==,
又|AB|==,
∴S△ABC=|AB|d=××=4.
点评:
本题考查直线的截距式方程,考查两点间的距离公式与点到直线间的距离公式、三角形面积公式的综合应用,属于中档题.
23.已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A﹣3B+3C=0,求此直线的一般式方程.
考点:
直线的一般式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
由已知中直线Ax+By+C=0的斜率为5,可得A=﹣5B,不仿令B=﹣3,进而结合A﹣3B+3C=0,求出A,C的值,可得直线的一般式方程.
解答:
解:
∵直线Ax+By+C=0的斜率﹣=5,
∴A=﹣5B,
令B=﹣3,则A=15,
又∵A﹣3B+3C=0,
解得:
C=﹣8,
故直线的一般式方程为15x﹣3y﹣8=0
点评:
本题考查的知识点是直线的一般式方程,其中正确理解直线一般式的斜率为﹣,是解答的关键.
24.已知直线l:
5ax﹣5y﹣a+3=0.
(1)证明:
不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)若直线l不经过第二象限,求a的围.
考点:
直线的一般式方程.菁优网所有
专题:
数形结合;直线与圆.
分析:
(1)只需证明不论a为何值,直线l总过第一象限的点即可;
(2)根据题意,画出图形,结合图形,即可求出直线l不经过第二象限时a的取值围.
解答:
解:
(1)证明:
∵直线l为5ax﹣5y﹣a+3=0,
即a(5x﹣1)+(﹣5y+3)=0;
∴,
解得;
∴不论a为何值,直线l总过第一象限的点(,),
即直线l过第一象限;
(2)根据题意,画出图形,如图所示,
;
∵直线l不经过第二象限,∴﹣a+3≤0,即a≥3;
l的斜率a满足a≥3;
∴a的取值围是{a|a≥3}.
点评:
本题考查了直线方程的应用问题,解题时应用直线恒过定点的问题,数形结合思想求直线的斜率取值围等知识,是基础题.
25.已知x,y满足直线l:
x+2y=6.
(1)求原点O关于直线l的对称点P的坐标;
(2)当x∈(1,3]时,求k=的取值围.
考点:
直线的一般式方程.菁优网所有
专题:
直线与圆.
分析:
(1)根据点的对称即可求原点O关于直线l的对称点P的坐标;
(2)根据斜率的几何意义即可,求k=的取值围.
解答:
解:
(1)设原点O关于直线l的对称点P的
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