高三数学二轮复习123不等式线性规划课时巩固过关练理新人教版.docx
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高三数学二轮复习123不等式线性规划课时巩固过关练理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习1.2.3不等式线性规划课时巩固过关练理新人教版
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(xx·邯郸二模)已知a
A.a2 【解析】选C.因为ab2, >1,>,a+b<1. 因此A,B,D不正确,C正确. 2.(xx·北京高考)若x,y满足 则2x+y的最大值为 ( ) A.0B.3C.4D.5 【解析】选C.作出可行域如图所示,平移2x+y=0过点(1,2)时,2x+y取得最大值4. 【加固训练】(xx·蚌埠一模)已知x,y满足 时,z=x-y的最大值为 ( ) A.4B.-4C.0D.2 【解题导引】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解析】选A.由约束条件 作出可行域如图, 联立得A(6,2), 化目标函数z=x-y为y=x-z, 由图可知,当直线y=x-z过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为4. 3.(xx·武汉二模)设m>1,x,y满足约束条件 且目标函数z=x+my的最大值为2,则m的取值为 ( ) A.2B.1+ C.3D.2+ 【解题导引】根据m>1,可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间上,由此判断出满足约束条件 的平面区域的形状,再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此可得关于m的方程,从而求得m值. 【解析】选B.因为m>1,由约束条件 作出可行域如图, 直线y=mx与直线x+y=1交于,目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直, 且在处取得最大值, 由题意可知=2, 又因为m>1,解得m=1+. 4.(xx·宿州一模)已知x,y满足 时,z=+(a≥b>0)的最大值为2,则a+b的最小值为( ) A.4+2B.4-2 C.9D.8 【解题导引】由约束条件作出可行域,结合z=+(a≥b>0)的最大值为2可得+=1,然后利用基本不等式求最值. 【解析】选A.由约束条件 作出可行域如图, 联立解得A(2,6), 化目标函数z=+为y=-x+bz, 由图可知,当直线y=-x+bz过A时, 直线在y轴上的截距最大,z有最大值为+=2, 即+=1. 所以a+b=(a+b)=4++ ≥4+2=4+2. 当且仅当 即a=+1,b=3+时取等号. 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.(xx·张掖一模)设不等式组 表示的平面区域为M,若直线l: y=k(x+2)上存在区域M内的点,则k的取值范围是________. 【解题导引】作出不等式组对应的平面区域,根据直线和区域的关系即可得到结论. 【解析】作出不等式组对应的平面区域, 直线y=k(x+2)过定点D(-2,0), 由图象可知当直线l经过点A时,直线斜率最大, 当经过点B时,直线斜率最小, 由解得 即A(1,3),此时k===1, 由解得 即B(1,1),此时k==, 故k的取值范围是. 答案: 【加固训练】已知不等式组 所表示的平面区域为D,直线l: y=3x+m不经过区域D,则实数m的取值范围是 ( ) A.[-3,1] B.[-3,3] C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 【解析】选D.由题意作平面区域如图, 当直线l过点A(1,0)时,m=-3; 当直线l过点B(-1,0)时,m=3; 结合图象可知,实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞). 6.(xx·廊坊一模)已知正数a,b,c满足b+c≥a,则+的最小值为________. 【解题导引】先由题意变形可得+≥+=+-=+-,再由基本不等式可得到结果. 【解析】因为正数a,b,c满足b+c≥a, 所以+≥+=+-=+-≥-. 当且仅当=时取等号. 答案: - 三、解答题(7题12分,8题13分,共25分) 7.(xx·黄山二模)x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,求+的最小值. 【解题导引】作出可行域,得到目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最优解,从而得到3a+4b=7,利用基本不等式求解即可. 【解析】因为x,y满足约束条件 目标函数z=ax+by(a>0,b>0),作出可行域: 由图可得,可行域为△ABC区域,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)经过可行域内的点C时,取得最大值(最优解). 由解得即C(3,4), 因为目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7, 所以3a+4b=7(a>0,b>0), 所以+=(3a+4b)· = ≥ =×49=7(当且仅当a=b=1时取“=”). 所以,+的最小值为7. 【加固训练】(xx·汕头一模)当实数x,y满足 时,1≤ax+y≤4恒成立,求实数a的取值范围. 【解题导引】由约束条件作出可行域,再由1≤ax+y≤4恒成立,结合可行域内特殊点的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数a的取值范围. 【解析】由约束条件作可行域如图, 联立解得C. 联立解得B(2,1). 在x-y-1=0中取y=0得A(1,0). 要使1≤ax+y≤4恒成立, 则 解得1≤a≤. 所以实数a的取值范围是. 8.(xx·太原三模)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的利益分别为0.3万元和0.2万元.设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟. (1)用x,y列出满足条件的关系式,并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域. (2)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,最大收益是多少? 【解析】 (1)该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟, 则x,y满足的关系式为 即 作出二元一次不等式组所表示的平面区域: (2)设公司的收益为z元,则目标函数为: z=3000x+2000y, 所以y=-x+. 由图可知,当直线y=-x+经过可行域上的点A时,截距最大,即z最大. 解方程组得A(100,200), 所以zmax=3000×100+2000×200=700000. 答: 该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大,最大收益是70万元. (30分钟 55分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.下列不等式中,与不等式<2解集相同的是 ( ) A.(x+8)(x2+2x+3)<2 B.x+8<2(x2+2x+3) C.< D.> 【解析】选B.因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0, x+8可能是正数、负数或零, 所以由x+8<2(x2+2x+3)可得<2, 所以与不等式<2解集相同的是x+8<2(x2+2x+3). 2.已知a>0,x,y满足约束条件 若z=2x+y的最小值为1,则a= ( ) A.B.C.1D.2 【解题导引】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a. 【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域如图所示: 当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-2a), 所以2-2a=1,解得a=. 3.已知实数x,y满足约束条件 若y≥kx-3恒成立,则实数k的取值范围是 ( ) A. B. C.(-∞,0]∪ D.∪[0,+∞) 【解题导引】由题意作出可行域,把y≥kx-3恒成立转化为可行域内两个特殊点A,B的坐标满足不等式y≥kx-3成立,代入点的坐标后求解不等式组得答案. 【解析】选A.由约束条件 作可行域如图, 联立解得B(3,-3). 联立解得A. 由题意得解得-≤k≤0. 所以实数k的数值范围是. 4.若实数x,y满足则z=x+y的最大值是 ( ) A.B.C.D.1 【解题导引】画出满足条件的平面区域,求出特殊点的坐标,从而求出z的最大值即可. 【解析】选C.画出满足条件的平面区域,如图所示: 由z=x+y得y=-x+z,显然直线y=-x+z和圆相切时z最大,由点O向y=-x+z作垂线,垂足是B, 因为OB=1,∠BOx=,所以B, 将B代入z=x+y得z=. 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知a>0,b>0,ab=32,则当a的值为________时log2a·log2(2b)取得最大值. 【解析】log2a·log2(2b)≤ =(log2(2ab))2=(log264)2=9. 当a=2b时取等号,结合a>0,b>0,ab=32, 可得a=8,b=4. 答案: 8 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性. 【加固练习】不等式-x2-3x+4>0的解集为__________.(用区间表示) 【解析】由-x2-3x+4>0得-4 所以不等式-x2-3x+4>0的解集为(-4,1). 答案: (-4,1) 6.已知实数x,y满足约束条件 若目标函数z=2x+ay仅在点(3,4)处取得最小值,则a的取值范围是________. 【解析】不等式组表示的平面区域的交点坐标分别为A(1,0),B(0,1),C(3,4), 所以zA=2,zB=a,zC=6+4a. 所以解得a<-2. 答案: (-∞,-2) 三、解答题(7题12分,8题13分,共25分) 7.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示. 产品 木料(单位m3) 第一种 第二种 圆桌 0.18 0.08 衣柜 0.09 0.28 每生产一张圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多,利润最多为多少? 【解题导引】由题意,设生产圆桌x张,衣柜y个,获得利润为z元;从而可得 z=6x+10y,利用线性规划求解. 【解析】由题意,设生产圆桌x张,衣柜y个,获得利润为z元, 则 所以 z=6x+10y; 作其平面区域如下, 则由y=800-2x,x=700-3.5y得,x=350,y=100. zmax=6×350+10×100=3100. 所以应生产圆桌350张,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大,利润最多为3100元. 【加固训练】某企业生产甲乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,求该企业每天可获得的最大利润. 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,则利润z=3x+4y, 由题意可得 其表示如图阴影部分区域: 当直线3x+4y-z=0过点A(2,3)时,z取得最大值z=3×2+4×3=18. 所以当生产2吨甲产品,3吨乙产品时,该企业每天可获得最大利润,且最大利润为18万元. 8.已知实数x,y满足x2+y2≤1,求|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值. 【解析】由x2+y2≤1可得: 2x+y-4<0, 6-x-3y>0,则│2x+y-4│+│6-x-3y│ =-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10, 令z=-3x-4y+10, 得y=-x-+, 如图,要使z=-3x-4y+10最大,则直线y=-x-+在y轴上的截距最小,由z=-3x-4y+10,得3x+4y+z-10=0. 则z=10-3x-4y与圆相切时取得最大值, 故d==1,所以z=5(舍去)或15, 故该目标函数的最大值为15.
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