几何经典模型半角模型.docx
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几何经典模型半角模型
半角模型
1
已知如图:
①/2=1/AOB:
②OA=OB.
2
B
连接FB,将△FOB绕点0旋转至△FOA的位置,可得△OEF◎△OEF'
模型分析
•/△OBF◎△OAF
•••/3=/4,OF=OF'.
1
•/2=丄/AOB,
2
•••/1+/3=/2
•••/1+/4=/2
又•••OE是公共边,
•△OEF◎△OEF'.
(1)半角模型的命名:
存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点;
(2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系;
(3)常见的半角模型是90°含45°,120。
含60°.
模型实例
例1已知,正方形ABCD中,/MAN=45,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.
(1)求证:
BM+DN=MN.
(2)作AH丄MN于点H,求证:
AH=AB.
证明:
(1)延长ND到E,使DE=BM,
•••四边形ABCD是正方形,•••AD=AB.
在△ADE和△ABM中,
Ad=ab
#ADE=ZB
DE=BM
•△ADE◎△ABM.
•AE=AM,/DAE=/BAM
•••/MAN=45,•/BAM+/NAD=45°
•/MAN=/EAN=45°.
在AAMN和△AEN中,
MA=EA
#MAN=NEAN
AN=AN
•△AMN◎△AEN.
•MN=EN.
•BM+DN=DE+DN=EN=MN
(2)由
(1)知,AAMN也厶AEN.
•Saamn=Saaen.
刚11
即一AHMNADEN.
22
又•••MN=EN,
•AH=AD.
即AH=AB.
liMC
例2在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且
/MDN=6°,/BDC=120,BD=DC.探究:
当M、N分别在线段AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系.
(1)如图①,当DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;
(2)如图②,当D佯DN时,猜想
(1)问的结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明.
图①图②
解答
(1)BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN
(2)猜想:
BM+NC=MN.
证明:
如图③,延长AC至E,使CE=BM,连接DE.
•/BD=CD,且/BDC=120°,
•••/DBC=/DCB=30°.
又•••△ABC是等边三角形,
•••/ABC=/ACB=60°.
•••/MBD=/NCD=90°.
在厶MBD与厶ECD中,
•/DB=DC,/DBM=/DCE=90°,BM=CE,
•△MBD◎△ECD(SAS).
•DM=DE,/BDM=/CDE.
•••/EDN=/BDC-/MDN=60.
在厶MDN和△EDN中,
•/MD=ED,/MDN=/EDN=60°,DN=DN,
•△MDN◎△EDN(SAS).
•MN=NE=NC+CE=NC+BM.
图③
例3如图,在四边形ABCD中,/B+/ADC=180,AB=AD,E、F分别是BC、CD延
长线上的点,且/EAF=-/BAD.求证:
EF=BE-FD.
2
证明:
在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
•••/B+/ADC=180°,/ADF+/ADC=180°,•••/B=/ADF.
在△ABG和△ADF中,
AB=AD
=ZADF
BG二DF
•••△ABG◎△ADF(SAS).
•••/BAG=/DAF,AG=AF.
•••/GAF=/BAD.
•••/EAF=-/BAD=丄/GAF.
22
•••/GAE=/EAF.
在△AEG和△AEF中,
AG=AF
」ZGAE=NFAE
AE=AE
•△AEG◎△AEF(SAS)
•EG=EF.
•/EG=BE-BG,
•EF=BE-FD.
练习:
MAN=45
1已知,正方形ABCD,M在CB延长线上,N在DC延长线上,求证:
MN=DN-BM.
【答案】
证明:
如图,在DN上截取DE=MB,连接AE,•••四边形ABCD是正方形,
•••AD=AB,/D=/ABC=90°.
在AABM和AADE中,
“D=AB
=NABM
BM=DE
•△ABMADE.
•AM=AE,/MAB=/EAD.
•••/MAN=45=/MAB+/BAN,
•••/DAE+/BAN=45°.
•••/EAN=90°-45=45°=/MAN.在AAMN和△AEN中,
AM=AE
AN二AN •△ABM◎△ADE. •MN=EN. •/DN-DE=EN. •DN-BM=MN. 2.已知,如图①在Rt△ABC中,/BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若/DAE=45°,探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系. 小明的思路是: 把AAEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE',连接E'D使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题: (1)猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式,并对你的猜想给予证明; (2) 当动点E在线段BC上,动点D运动到线段CB延长线上时,如图②,其他条件不变, (1)中探究的结论是否发生改变? 请说明你的猜想并给予证明. 图①图② 【答案】 解答: (1)猜想: DE2=BD2+EC2. 证明: 将AAEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,如图① •••△ACE◎△ABE'. •••BE'=ECAE'=AE/C=/ABE',/EAC=/E'AB在RtAABC中, •/AB=AC, •••/ABC=/ACB=45°. •••/ABC+/ABE'=90;即/E'BD=90° •E'B+bd2=e'D 又•••/DAE=45°, •••/BAD+/EAC=45°. •••/E'ABkBAD=45°,即/E'AD=45. •△AE'D^AAED. •DE=DE. 222 •DE=BD+EC. 图① (2)结论: 关系式DE2=BD2+EC2仍然成立. 证明: 作/FAD=/BAD,且截取AF=AB,连接DF,连接FE,如图② •••△AFD◎△ABD. •••FD=DB,/AFD=/ABD. 又•••AB=AC, •AF=AC. •••/FAE=/FAD+/DAE=/FAD+45。 /EAC=/BAC-/BAE=90°-(/DAE-/DAB)=90°(45°/DAB)=45°+/DAB,•••/FAE=/CAE. 又•••AE=AE, •△AFE◎△ACE. •FE=EC,/AFE=/ACE=45°. /AFD=/ABD=180°-ZABC=135°. •••/DFE=ZAFD-ZAFE=135°-45=90° 在RtADFE中,DF+FE=DE. 即DE=BD+EC. 图② 3.已知,在等边△ABC中,点0是边AC、BC的垂直平分线的交点,M、N分别在直线 AC、BC上,且ZMON=60. (1)如图①,当CM=CN时,M、N分别在边AC、BC上时,请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系; (2)如图②,当C昨CN时,M、N分别在边AC、BC上时, (1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请你加以证明;若不成立,请说明理由; (3)如图③,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系. (4) 图① (2)成立; 证明: 如图②,在AC上截取AE=CN,连接0E、OA、0C. •/0是边AC、BC垂直平分线的交点,且△ABC为等边三角形, •••OA=OC,/OAE=/OCN=30,/AOC=120. 又•••AE=CN, •△OAEOCN. •OE=ON,/AOE=/CON. •••/EON=/AOC=120. •••/MON=6°, •••/MOE=/MON=60. •△MOE◎△MON. •ME=MN. •AM=AE+ME=CN+MN. 图② (3)如图③,AM=MN-CN N 图③ 4.如图,在四边形ABCD中,/B+/D=180°AB=AD,E、F分别是线段BC、CD上的1 点,且BE+FD=EF.求证: /EAF=—/BAD. 2 【答案】 证明: 如图,把△ADF绕点A顺时针旋转/DAB的度数得到△ABG,AD旋转到AB,AF旋转到AG, •••AG=AF,BG=DF,/ABG=/D,/BAG=/DAF. •••/ABC+/D=180, •••/ABC+/ABG=180. •••点G、B、C共线. •/BE+FD=EF, •BE+BG=GE=EF. 在AAEG和△AEF中, AG=AF AE=AE EG=EF •△AEG◎△AEF. •••/EAG=/EAF. •••/EAB+/BAG=/EAF. 又•••/BAG=/DAF, •••/EAB+/DAF=/EAF. 1 •••/EAF=/BAD. 2 以上王志强录入 DF、BE之间有怎样的数量关系? 请写出结论并证明. (3)在 (2)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求厶CEF的周长(直接写出结论) 5.如图①,已知四边形ABCD,/EAF的两边分别与DC的延长线交于点F,与CB的延长线交于点E,连接EF. (1)若四边形ABCD为正方形,当/EAF=45°时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系? (只需直接写出结论) 1 (2)如图②,如果四边形ABCD中,AB=AD,/ABC与/ADC互补,当/EAF=/BAD时,EF与 2 图①图② 解答: (1)EF=DF-BE (2)EF=DF-BE 证明: 如图,在DF上截取DM=BE,连接AM, •••/D+ZABC=ZABE+ZABC=180° •/D=ABE •/AD=AB 在厶ADM和厶ABE中, DM=BE MD二ABE AD=AB •••△ADM^AABE •••AM=AE,ZDAM=ZBAE 1 vZEAF=ZBAE+ZBAF=—ZBAD, 2 1 •ZDAM+ZBAF=—ZBAD 2 1 •••/MAF=/BAD 2 •••/EAF=ZMAF 在厶EAF和厶MAF中 AE二AM I 匸EAF二/MAF AF=AF •△EAF^AMAF •EF=MF •/MF=DF-DM=DF-BE, •EF=DF-BE (3)tEF=DF-BE •△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15
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- 几何 经典 模型 半角