高中数学第二册上点与圆直线与圆以及圆与圆的位置关系.docx
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高中数学第二册上点与圆直线与圆以及圆与圆的位置关系
2019-2020年高中数学第二册(上)点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系;过圆上一点的圆的切线方程,判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法;两圆位置关系的几何特征和代数特征.
(二)能力训练点
通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学,培养学生综合运用圆有关方面知识的能力.
(三)学科渗透点
点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析,现在是用代数方法来分析几何问题,是平面几何问题的深化.
二、教材分析
1.重点:
(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题);
(2)圆系方程应用.
(解决办法:
(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征,过圆上一点的圆的代线方程,弦长计算问题;
(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程.)
2.难点:
圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程的证明.
(解决办法:
仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)切线方程的证明.)
三、活动设计
归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习.
四、教学过程
(一)知识准备
我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”,为了更好地讲解这个课题,我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识.
1.点与圆的位置关系
设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)到圆心的距离为d,则有:
(1)d>r点M在圆外;
(2)d=r点M在圆上;
(3)d<r点M在圆内.
2.直线与圆的位置关系
设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2,直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,
判别式为△,则有:
(1)d<r直线与圆相交;
(2)d=r直线与圆相切;
(3)d<r直线与圆相离,即几何特征;
或
(1)△>0直线与圆相交;
(2)△=0直线与圆相切;
(3)△<0直线与圆相离,即代数特征,
3.圆与圆的位置关系
设圆C1:
(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2:
(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r),且设两圆圆心距为d,则有:
(1)d=k+r两圆外切;
(2)d=k-r两圆内切;
(3)d>k+r两圆外离;
(4)d<k+r两圆内含;
(5)k-r<d<k+r两圆相交.
4.其他
(1)过圆上一点的切线方程:
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).
(2)相交两圆的公共弦所在直线方程:
设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(3)圆系方程:
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交,则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程).
②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l:
Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).
(二)应用举例
和切点坐标.
分析:
求已知圆的切线问题,基本思路一般有两个方面:
(1)从代数特征分析;
(2)从几何特征分析.一般来说,从几何特征分析计算量要小些.该例题由学生演板完成.
∵圆心O(0,0)到切线的距离为4,
把这两个切线方程写成
注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0,y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2,
例2 已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0,求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q,并求弦PQ的长.
分析:
证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△>0,又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径,由教师完成.
证:
设圆心O(0,0)到直线Ax+By+C=0的距离为d,则d=
∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q.
例3 求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:
x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.
解法一:
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.
∵所求圆以AB为直径,
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.
解法二:
设所求圆的方程为:
x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上,
∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.
小结:
解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法;解法二采取了圆系方程求待定系数,解法比较简练.
(三)巩固练习
1.已知圆的方程是x2+y2=1,求:
(1)斜率为1的切线方程;
2.
(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是
(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是______.(内切)
由学生口答.
3.未经过原点,且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程.
分析:
若要先求出直线和圆的交点,根据圆的一般方程,由三点可求得圆的方程;若没过交点的圆系方程,由此圆系过原点可确定参数λ,从而求得圆的方程.由两个同学演板给出两种解法:
解法一:
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵(0,0),(-2,3),(-4,1)三点在圆上,
解法二:
设过交点的圆系方程为:
x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0.
五、布置作业
2.求证:
两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切.
3.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
4.由圆外一点Q(a,b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、B两点,向圆x2+y2=r2作切线QC、QD,求:
(1)切线长;
(2)AB中点P的轨迹方程.
作业答案:
2.证明两圆连心线的长等于两圆半径之和
3.x2+y2-x+7y-32=0
六、板书设计
2019-2020年高中数学第二册(上)点到直线的距离
一、教材与学情分析
1.教材分析
⑴教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书(必修·人民教育出版社)第二册(上),“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课,主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用.
⑵地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识,是从初中平面几何的定性作图,过渡到了解析几何的定量计算,其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识.对“点到直线的距离”的研究,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础,具有承前启后的重要作用.
2.学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识,具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力.我班学生基础知识较扎实、思维较活跃,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高.
二、教学目标
依据新课程标准的理念和学生情况,制定如下教学目标:
1.知识技能
⑴理解点到直线的距离公式的推导过程;
⑵掌握点到直线的距离公式;
⑶掌握点到直线的距离公式的应用.
2.数学思考
⑴通过点到直线的距离公式的探索和推导过程,渗透算法的思想;
⑵通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程,培养学生的数学阅读能力;
⑶通过灵活应用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.
3.解决问题
⑴通过问题获得数学知识,经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程;
⑵由探索点到直线的距离,推广到探索点到直线的距离的过程,使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法.
4.情感态度
结合现实模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学生的学习兴趣.
5.教学重点
⑴点到直线的距离公式的推导思路分析;
⑵点到直线的距离公式的应用.
6.教学难点
点到直线的距离公式的推导思路和算法分析.
三、教学媒体
使用多媒体教学.
四、设计思路
1.依据现代几何教育理念,本课的设计思路:
直观感知(图片欣赏)→操作确认(学生作图)→推理论证(三种方法推导公式)→度量计算(例题练习);
2.根据高二年级学生的学习状况和认知特点,本课在设计采用了由特殊到一般、从具体到抽象的方法,利用类比归纳的思想,整理出证明点到直线的距离公式的三种不同算法思路,从而突破教学难点;
3.由于平面向量是一种重要的运算工具,根据我校学生思维能力较强的特点,在教材提供的两种证明方法的基础上,补充了利用向量数量积的方法证明点到直线的距离公式;
4.教学中设计的思维框图反映了算法思想,有利于将问题进行条理化处理,让学生形成识别模式.
五、教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
活动
说明
新课引入
创设情境:
以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例:
当火车在高速行驶时,如果旅客离铁轨中心的距离小于时,就可能被吸入车轮下发生危险.让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”,引发学习好奇心和研究兴趣.
现实模型:
①地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离
(图片欣赏)
②生活实例
(flash动画演示)
模型
直观
探索思考
探索思考
探索思考
回顾旧知:
在初中,“点到直线的距离”的定义是什么?
1.点到直线的距离公式的推导过程
(由特殊推广到一般、从具体推广到抽象)
问题1如何求点到直线的距离?
教师:
请同学们作出图象后,思考有哪些计算方法,结果是什么?
方法① 利用三角函数
解:
过点作的垂线,垂足为
教师:
由于点和直线的位置比较特殊,直角三角形较为明显,并且出现了特殊角,所以可以利用三角函数来解决问题.但如果直线位置不具特殊性,三角运算将较为繁杂,故此法具有一定的局限性.
方法② 利用定义
解:
过点作的垂线,设垂足为
方法③ 利用函数的思想
解:
设直线上的点,则
当时,取得等号,即点
教师:
我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离,再通过二次函数求最小值的方法解决本题.
强调:
⑴点在直线上,故满足直线方程;
⑵当等号成立时,指明此时点的坐标,并与方法②得到的点的坐标进行比较.
方法④ 利用直角三角形的面积公式
教师:
由于,所以我们还可以想到什么方法来计算呢?
教师:
应该如何构造三角形呢?
如何添作辅助线是学生的一个思维难点,教师要强调:
由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识,从而得到辅助线的添加方式.
解:
过点作的垂线,交点为点
问题2如何求点到直线的距离?
(类比问题1的四种解法,让学生独立思考问题2.课堂上,只要求学生说明解题思路,而不要求解题过程.)
探索思考
问题3如何求点到直线的距离()?
教师:
你能否类比问题1、2解决这个问题?
教师:
如果通过定义来计算,你的思路是什么?
教师:
对于的特殊情况,你又如何处理呢?
方法①利用定义的算法思路
方法②利用直角三角形的面积公式的算法思路
教师:
如果类比问题1、2,通过面积构造法来计算,你应该如何添作辅助线?
解题思路是什么?
探索思考
教师:
根据得到的算法思路,请同学们自学教材的推导方法.
方法③利用平面向量的算法思路
教师:
直线的斜率是什么?
教师:
若向量,你能表达的一个坐标吗?
教师:
设点是直线上任意一点,则的坐标是多少?
教师:
设的夹角为,则为多少?
教师:
的几何意义是什么?
教师:
结合图象,你能否表示出?
探索思考
问题解决
2.点到直线的距离公式
点到直线的距离(其中)
教师:
你能否利用点到直线的距离公式解决问题1和问题2?
并比较计算结果.
3.点到直线的距离公式的应用
例1求点到下列直线的距离:
⑴⑵
⑶⑷
知识运用
分析:
⑴
可能会有学生在代入公式计算时,忘掉绝对值符号.教师要给予纠正,强调距离是一个非负数.
也可能会有学生,先求出过点作直线的垂线,再求交点的坐标,最后求
教师说明:
实际上,这种方法是重新推导了公式,应该直接运用公式计算.
⑵
教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离,也可能会有学生是直接代入公式计算,教师指出对于或的特殊情况,一般结合图形直接得到结论.
⑶
部分学生可能会对代入公式后计算得0这一结果感到困惑,教师要引导学生思考此时点与直线的位置关系,指出当点落在直线上时公式仍然成立.
⑷
在补充的问题⑷中所给出的直线方程不是一般式,所以在代入公式计算前,学生必须将直线方程化为一般式,以便确定系数,从而达到强调公式运用前提的目的.
教师:
使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程,如果给出的直线方程不是一般式方程,应先将方程化成一般式,以便确定系数的值,这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要.
例2⑴已知点到直线的距离为,求的值;
⑵已知点到直线的距离为,求的值.
教师:
如何求实数的值?
解:
⑴
知识运用
⑵
教师:
这两问直线方程中参数的几何意义是什么?
教师:
两个小问的几何意义是什么?
(教师利用几何画板进行数学实验)
例3求平行线和
的距离.
教师:
这两条平行直线间的距离是否是固定的?
教师:
如何求这两条平行直线间的距离?
教师:
可以选择哪个点?
解:
在直线上任取一点,例如则到直线的距离就是两平行线间的距离.因此
教师:
是否可以在直线上取一般的点来求距离?
(引出教材的习题15,根据课堂剩余时间,此题作为机动练习.)
学生:
过点作的垂线,垂足为,垂线段的长度就是点到直线的距离.
点与直线上所有点的连线中,垂线段最短.
问题1
学生作图后,结合图象,分组讨论怎样计算.
方法①利用三角函数
学生:
由于点和直线的位置很特殊,可以利用三角函数来解决.
方法②利用定义
(由于前面复习了点到直线的距离的定义,所以学生容易想到利用定义解决问题)
学生:
利用定义解决问题.
方法③利用函数的思想
(在前面复习中强调了垂线段最短,所以可以引导学生,利用二次函数求最小值的方法解决问题.)
学生:
可以利用二次函数求最小值的方法解决问题.
学生的解答中,可能会忽略取得等号的条件,教师要引导学生思考,取得等号时点的坐标,并与前面两种方法所得答案进行对比.
方法④利用直角三角形的面积公式
学生:
三角形面积公式.
学生:
过点作的垂线,构造.
对于问题1的四种解法,学生可能回答不完全,教师要补充完整.
问题2
问题3
学生讨论:
前面四种推导方法的都可行,但利用三角函数和利用二次函数求最小值的方法,相对要复杂一些.
方法①利用定义的算法
学生分析解题思路,整理出算法框图.
学生的回答可能会忽略
这个条件限制,教师要给予纠正并强调直线的斜率是否存在,主要取决于分母是否为0,这也是对前面知识的巩固.
学生:
对于的特殊情况,可以结合图象直接得出结论.
方法②利用直角三角形的面积公式的算法
学生:
先添作辅助线,过点作轴、轴的垂线交于点,再利用直角三角形的面积公式进行计算.
·
方法③利用平面向量的算法
学生:
学生容易忽略的限制条件,教师给予纠正.
学生:
对于法向量的理解是一个难点,同时学生得到的答案可能不统一.教师引导学生,在复习教材的阅读材料的基础上,从向量共线的角度加以分析,从而帮助学生理解.
学生:
学生:
当时,以上公式仍然成立.
学生容易忽略距离是一个非负数,所以教师要强调应该加上绝对值符号.
师生共同总结:
对于点到直线的距离公式的理解.
⑴若直线方程中系数的特殊情况,距离公式仍然成立,但一般情况下可以结合图形直接得到距离;
⑵根据公式的形式特点,学生进行公式的记忆.
师生共同讨论
例1解:
⑴根据点到直线的距离公式,得
⑵解法①因直线平行于轴,所以
解法②根据点到直线的距离公式,得
⑶
另解:
根据点到直线的距离公式,得
⑷
根据点到直线的距离公式,
例2由学生分析解题思路,并按要求用数学语言表述过程.
学生:
⑴中表示直线的斜率;
⑵中表示直线在轴上的截距.
学生:
这两个小问的几何意义分别是
⑴点到两条直线的距离相等,所以点在两条直线所成角的角平分线上;
⑵所得的两条直线互相平行且距离为.
例3
学生:
两条平行直线间的距离处处相等.
学生:
将两平行直线之间的距离转化为一直线上一点到另一条直线的距离.
学生:
选择点.
学生:
可以选择一般的点.
解:
设直线上一点
在复习旧知的基础上引人新课.
由于教材上对于点到直线的距离公式的证明比较抽象,所以补充了两个由浅人深的具体问题,为后面推广到一般情况作好铺垫.
补充的问题1,由于点和直线的位置非常特殊,所以学生容易回答,教师要鼓励学生利用多种方法解决问题1.
方法③利用了类比化归的思想,为后面将两平行直线间的距离,转化为点到直线的距离奠定基础.
强调数形结合的思想
改变问题1中几何元素:
点、直线的位置,引出问题2.
在点到直线的距离公式的推导过程中,渗透算法的思想
对于方法①,教材上只说明了算法步骤,而省略了繁琐的证明过程,所以只要求学生理清算法思路、给出框图,不要求证明过程.
对于方法②,引导学生理清算法思路,再根据算法框图,指导学生自学教材的证明过程,培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力.
补充的方法③,建立在学生已有的平面向量知识的基础上.
课堂上只要求学生理清算法思路,而对于这种方法的具体解决过程,可作为课后思考作业.
补充的方法③为今后在立体几何中,利用这种算法思路得到点到平面的距离公式设下伏笔.
前后呼应,使学生体会运用公式计算的简便性.
为了强化学生对公式的记忆和应用,安排了三个典型例题.
例1中⑶、⑷两个问题是补充的内容,目的是强化点到直线的距离公式的应用前提条件.
例1主要是通过直接将已知点的坐标代人公式计算,强调公式的形式记忆和前提条件.在此基础上,由浅入深,补充的例2中直线方程含有参数,进一步提高思维难度.
在例2中,由于直线方程中的参数都具有明显的几何意义,所以在解出参数的值后,要引导学生思考其几何意义.
补充的例题2既考察了学生对公式的掌握情况,又为下节课研究对称问题和直线系问题设下伏笔.
由例2⑵的几何意义可以引出教材的例题3.
例3采用了类比化归的思想方法.
课堂小结
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容.
课后作业
1利用向量的方法证明点到直线的距离公式;
⑵教材13、14、16
(通过小结,使学生将本节课所学的知识系统化、条理化,使学生再次巩固知识,明确方法.)
学生归纳总结
本课主要学习了以下内容:
⑴点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路:
利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法;
⑵点到直线的距离公式:
点到直线(其中)的距离
说明:
对于的特殊情况时公式仍然适用.
⑶应用点到直线的距离公式的前提条件.
板书设计:
课题:
点到直线的距离
1.问题1如何求点到直线的距离?
方法①方法②方法③方法④
2.问题2如何求点到直线的距离?
3.问题3如何求点到直线
的距离()?
方法①利用定义的算法框图
方法②利用直角三角形的面积公式的算法框图
方法③利用平面向量的算法框图
4.典型例题
例1
例2
例3
例4
5.课堂练习
6.课堂小结
7.课后作业
六、教学反思
1.对于这一节内容,有两种不同的处理方式:
一种是让学生理解、记忆公式,直接应用而不讲公式的探寻过程,这样的处理不利于我校学生数学思维的培养;二是课本方式,通过强调对公式的探索过程,提高学生利用代数方法处理几何问题的能力;
2.点到直线的距离的证明过程,含有大量的字母运算而比较抽象.如果没有整体算法步骤的分析,学生的思路会缺乏连贯性,所以本课重点分析了三种算法思想:
利用定义的算法、利用直角三角形面积的算法、利用平面向量的算法.让学生在明了算法步骤的前提下,再进行有效的公式证明和自学阅读;
3.向量是一种重要的运算工具,根据我校学生的实际,我在本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法.实际上,在以后立体几何的学习中,还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式.又由于这种方法在思维上有一定的难度,所以,我根据学生的实际情况,提出了分层要求:
基本要求是能够理解教材所给的证明方法并能够应用公式,较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式;
4.现代数学认为“几何是可视逻辑”,所以我重视在补充的例题中,突出几何直观和数形结合的思想方法;
5.学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆,所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例、习题中给予了设置,以期达到强化训练的目的.
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- 高中数学 第二 册上点 直线 以及 位置 关系
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