两辆铁路平板车的装货问题.docx
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两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题2014
摘要:
将七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上并要求浪费空间最小的问题,实质上就是整数线性规划问题。
建立整数线性规划模型,并用lingo软件求得目标函数最小值得给出一组最优解。
然而由于LINGO软件的缺陷性,我们发现仍然存在其他多组最优解。
通过对原始数据的分析论证,我们得到一个结论:
对任意一组最优解,两辆车的总包装箱种类和数量是确定的〔即浪费空间最小的情况下,装载包装箱的厚度和重量一定〕。
在此结论的根底上,通过穷举法,并利用Java高级计算机语言进展编程,大大减少了计算量,加快了运算速度,最终求解出24组等价最优解。
关键词:
装货问题整数线性规划穷举法LINGOJava语言
1、问题重述
有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的,但厚度〔t,以cm计〕及重量〔w,以kg计〕是不同的。
表一给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱〔像面包片那样〕,载重为40吨。
由于当地货运的限制,对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制:
这类箱子所占的空间〔厚度〕不能超过302.7cm。
试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
表一
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
TI(cm)
48.7
52.0
61.3
72.0
48.7
52.0
64.0
WE(kg)
2000
3000
1000
500
4000
2000
1000
件数
8
7
9
6
6
4
8
2、问题分析
优化问题,一般是指用“最好〞的方式,使用或分配有限的资源,即劳动力、原材料、机器、资金等,使得费用最小或者利润最低
。
在此问题中,要求浪费的空间最小,且存在车长10.2m、载重40t、货运限制C5,C6,C7类的包装箱的总数
302.7cm三个约束条件,并且自变量〔包装箱的数量〕取整数值才有意义,所以此问题可以通过建立整数线性规划来求解。
其一般形式为:
。
3、模型假设
〔1〕假设包装箱在平板车上只能排列一层,不能重叠摆放
。
〔2〕不考虑两辆平板车先后运载问题,也就是说,假设两辆平板车完全一样,不存在车次不同的问题。
〔3〕为提高对此问题研究的针对性,在此问题中,假设装货时货物与货物之间没有空隙,从而排除其他非主要矛盾的干扰。
〔4〕假设包装箱在运载过程中不会因相互挤压而产生形变,从而使厚度减小。
4、问题分析
—第
类包装箱的厚度;
—第
类包装箱的重量;
—第
类包装箱能装上第一辆车的数量;
—第
类包装箱能装上第二辆车的数量;
—第
类包装箱的总数量;
5、模型建立与求解
5.1整数线性规划模型
5.1.1模型建立及求解
根据空间浪费最小目标以及约束条件建立模型一如下:
这是一个纯整数规划问题,针对此模型,我们利用LINGO软件编写程序〔见附录1〕解得一组最优解如表二所示:
表二
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
FI
0
6
9
0
0
3
0
SE
8
1
0
6
3
0
0
最小浪费空间为0.6cm。
定理:
由TI
(1)=TI(5)=48.7、TI
(2)=TI(6)=52〔即C1+2C2
C5+2C6〕分析得出此情况最优解不止一组。
在两辆车上所装包装总长度最优解的条件下,求出装上车的各规格的包装箱的总数量,再将数量分配到两辆车上。
通过分析我们得出一个结论:
对任意一组最优解,两辆车的总包装箱种类和数量是确定的〔即浪费空间最小的情况下,装载包装箱的厚度和重量一定〕。
5.1.2定理及证明
证明:
通过计算得出,C1~C4包装箱厚度总长为1737.3cm,占用总空间最大为2040cm,C5~C7三种包装箱总厚度不能超过2040-1737.3=302.7cm,这也正好符合题目要求。
所以最优解必须使前四种包装箱全部用上〔即厚度到达最大〕,后三种包装箱的厚度在满足约束条件下到达最大,对于后三种包装箱占用空间到达最大,我们建立模型二:
s.t.
利用LINGO软件编写程序〔见附录2〕得到最优解:
Z=302.1cm,此时FI(5)+SE(5)=3,FI(6)+SE(6)=3,FI(7)+SE(7)=0。
再用反证法,假设C1~C4包装箱没有全用上,那么前四种包装箱的总厚度至多为1737.3-48.7=1688.6cm,而1688.6+302.7=1991.3cm,所以达不到最优解2039.4cm,所以C1~C4包装箱必须全用上。
证毕。
所以最优解为0.6时,各规格包装箱所装数量的总和如表三:
表三
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
FI+SE
8
7
9
6
3
3
0
5.2穷举法
由表三可知,各规格包装箱装载总数分配到两辆车上有9*8*10*7*4*4*1=80640种情况,在最小空间为0.6cm的情况下,仍满足车长10.2m、载重40t两个约束条件且自变量为整数。
利用Java语言编写程序〔见附录3〕对上述情况进展筛选,得出24组解〔在实际运算中,由于考虑车次问题,所以解的数量会翻倍为48组〕,如表四所示:
表四
序号
FI
(1)
FI
(2)
FI(3)
FI(4)
FI(5)
FI(6)
FI(7)
SE
(1)
SE
(2)
SE(3)
SE(4)
SE(5)
SE(6)
SE(7)
1
0
5
6
4
0
2
0
8
2
3
2
3
1
0
2
0
6
6
4
0
1
0
8
1
3
2
3
2
0
3
0
6
9
0
0
3
0
8
1
0
6
3
0
0
4
0
7
6
4
0
0
0
8
0
3
2
3
3
0
5
0
7
9
0
0
2
0
8
0
0
6
3
1
0
6
2
4
4
3
2
3
0
6
3
5
3
1
0
0
7
2
5
0
5
3
3
0
6
2
9
1
0
0
0
8
2
5
4
3
2
2
0
6
2
5
3
1
1
0
9
2
6
4
3
2
1
0
6
1
5
3
1
2
0
10
2
7
4
3
2
0
0
6
0
5
3
1
3
0
11
3
0
9
1
3
2
0
5
7
0
5
0
1
0
12
3
1
9
1
3
1
0
5
6
0
5
0
2
0
13
3
2
9
1
3
0
0
5
5
0
5
0
3
0
14
3
4
4
3
1
3
0
5
3
5
3
2
0
0
15
3
5
0
5
2
3
0
5
2
9
1
1
0
0
16
3
6
0
5
2
2
0
5
1
9
1
1
1
0
17
3
7
0
5
2
1
0
5
0
9
1
1
2
0
18
4
0
5
3
3
3
0
4
7
4
3
0
0
0
19
4
0
9
1
2
2
0
4
7
0
5
1
1
0
20
4
1
5
3
3
2
0
4
6
4
3
0
1
0
21
4
1
9
1
2
1
0
4
6
0
5
1
2
0
22
4
2
5
3
3
1
0
4
5
4
3
0
2
0
23
4
2
9
1
2
0
0
4
5
0
5
1
3
0
24
4
3
5
3
3
0
0
4
4
4
3
0
3
0
25
4
4
4
3
0
3
0
4
3
5
3
3
0
0
26
4
5
0
5
1
3
0
4
2
9
1
2
0
0
27
4
5
4
3
0
2
0
4
2
5
3
3
1
0
28
4
6
0
5
1
2
0
4
1
9
1
2
1
0
29
4
6
4
3
0
1
0
4
1
5
3
3
2
0
30
4
7
0
5
1
1
0
4
0
9
1
2
2
0
31
4
7
4
3
0
0
0
4
0
5
3
3
3
0
32
5
0
9
1
1
2
0
3
7
0
5
2
1
0
33
5
1
9
1
1
1
0
3
6
0
5
2
2
0
34
5
2
9
1
1
0
0
3
5
0
5
2
3
0
35
5
3
5
3
2
0
0
3
4
4
3
1
3
0
36
5
5
0
5
0
3
0
3
2
9
1
3
0
0
37
5
6
0
5
0
2
0
3
1
9
1
3
1
0
38
5
7
0
5
0
1
0
3
0
9
1
3
2
0
39
6
0
5
3
1
3
0
2
7
4
3
2
0
0
40
6
1
5
3
1
2
0
2
6
4
3
2
1
0
41
6
2
5
3
1
1
0
2
5
4
3
2
2
0
42
6
2
9
1
0
0
0
2
5
0
5
3
3
0
43
6
3
5
3
1
0
0
2
4
4
3
2
3
0
44
8
0
0
6
3
1
0
0
7
9
0
0
2
0
45
8
0
3
2
3
3
0
0
7
6
4
0
0
0
46
8
1
0
6
3
0
0
0
6
9
0
0
3
0
47
8
1
3
2
3
2
0
0
6
6
4
0
1
0
48
8
2
3
2
3
1
0
0
5
6
4
0
2
0
6、模型分析
优点:
利用整数线性规划模型解出其中一组最优解,从这一组解出发,证明其存在多组最优解,再通过穷举算法,利用Java语言编程,求出所有最优解。
此方法可将所有最优方案呈现出来,从理论角度来说,方法合理,理论严谨。
缺点:
结果共有48组最优解〔不考虑车次因素为24组最优解〕,在实际生产生活中,如想得到最优运载方案,那么还需通过货物重量这个限制条件进展进一步比拟筛选,从而使运载本钱降到最低。
7、模型推广
在实际生产生活中,文中的理论和方法不仅可用于其他货物装载问题中,在其他最优解问题的解决过程中也具有可观的
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