北交大激光原理第4章高斯光束部分.docx
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北交大激光原理第4章高斯光束部分
第四章高斯光束理论
一、学习要求与重点难点
学习要求
1.掌握高斯光束的描述参数以及传输特性:
2.理解q参数的引入,掌握q参数的ABCD定律;
3.掌握薄透镜对高斯光束的变换;
4.了解高斯光束的自再现变换,及其对球面腔稳定条件的推导;
5.理解高斯光束的聚焦和准直条件:
6.了解谐振腔的模式匹配方法。
重点
1.高斯光束的传输特性;
2.q参数的引入;
3.q参数的ABCD定律;
4.薄透镜对高斯光束的变换;
5.高斯光束的聚焦和准直条件;
6.谐振腔的模式匹配方法。
难点
1.q参数,及其ABCD定律;
2.薄透镜对高斯光束的变换;
3.谐振腔的模式匹配。
-V知识虑总结
振幅分布:
按高斯函数从中心向外平滑降落。
光斑半径叽二戸%
爲斯光束基木性质
等相位面:
以R为半径的球面.R(z)=z
远场发散加基臥斯光束强度町点的远场发散角.“些浮
高斯光束特征参数
%(戒0及束腰位置
光斑半氏(z)和等相位面曲率半径R(z)T
…机寫)]
z=R(z)1+
g)
Q参数.
1_1
<7(JK(z)1^h:
(c)
■
“
(二)=/+二=伽+二"2^+二
T将两个型数和&Z)统一在一个表达式中.便于研处高斯光束通过光学系统的传输规律
T遊从相同的变换规律AMD公式
傍轴光线?
的变换规律字二
&2C呂+D
傍轴球血波的曲率半径皿勺变换規律尺=竺兰•CR严D高斯光束g参数的变换規律q严耆斗
高斯光束的聚依:
只讨论单透镜高斯光柬的准宜:
一般为双透镜
高斯光束於数的变换规律旨
——实质™"分两眾财总蠶驚霍駕;讪选择
1高斯光束的自再现变换和稳定球面腔
高斯光束的自再现变换T化:
%”(/*)=
W->
透饥F=1+
球而恤恥円1+|爭
三、典型问题的分析思路
高斯光束的q参数在自由空间中的传输规律q(z)=i--^+Z=qQ+ZA
基模高斯光束强度的l/e2点的远场发散角0Q=lim出㈡=2—=1.128.4此类问题的宀Z巧VJ
实质是,通过任意光学系统追踪高斯光束的q参数值。
首先要计算傍轴光线通过该系统的变
[AB~\
换矩阵CDT求出某位置处的q(Z)T光束的曲率半径R(z)和光斑大小w(z)o
1)高斯光束通过单个透镜的变换。
已知入射高斯光束的腰斑半径和位置,求出射高斯光束的腰斑半径和位置。
求解这类问题的
入射高斯光束的q参数仆=旷+/,求出经过此光学系统变换后的q参数,然后得到出射高斯光束的腰斑半径和位置。
高斯光束通过双透镜的变换。
高斯光束通过第一个透镜后,出射高斯光束的腰斑半径和位置,然后将第一个透镜的出射光束看成是第二个透镜的入射光束,再重复利用公式
3)高斯光束的聚焦
(1)透镜焦距足够小无论1为何值,均可使W:
V%若F>f要使w; F2<(F-l)2+f2^l>F+y]F2-f2^l F-y^F2-/2<1 (2).尸一定时/=F=>w;=2尸/龙叫/*=F I>FaITtw;I/=conw;—>or—F 良好的聚焦效果: 使用短焦距透镜;光腰远离透镜;双透镜聚焦 4)高斯光束的准直 a.单透镜对高斯光束发散角的影响物高斯光束的发散角为%=2丄 像高斯光束的发散角为^=2— 当/=尸时,W。 达到极大值Wo=—F兀W° 2 龙讥 在/=尸时,F越人,叫越小,像高斯光束的方向性越好。 b・利用塑远镜将高斯光束准直方法: 先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦,获得极小的腰斑,然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性,可得到很好的准直效果。 72 散角&"=二可以看出所以要使W: 增大当r=F2时,w: =^FJ/rw;最大。 所以第二个透镜的焦距代要尽可能的人,而且叫要尽可能的小,这就要求/>>林,这时光腰几乎落在焦平面上,SqF'+F? 组成一倒装望远镜。 准直倍率(发散角压缩比)W=£=G•凹=21+(厶]>— e耳%利[f)耳 5)高斯光束的模式匹配 模式匹配是使一个谐振腔的振荡模式经透镜变换后能在另一个谐振腔激发出相同的模式。 问题实质是透镜变换。 ! '■ 分两种情况: 一种是已知叫,,确定透镜焦距(F)及透镜的距离I,r(即两腔的相对位置)。 根据物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透镜的距离所满足的公式 fQ=—当F>f.并确定时,可求得//第二种情况是两腔相对位置固定(即两光腰A 之间的距离)/0=/+/'及叫,确定,为了实现模匹配,尸如何选择。 将上面两式相加,根据/0=/+/*,得到 (4—4‘)尸—4/。 尸+(/: +A7oZ)=°根据此式可求的焦距F。 、思考题 1.高斯光束最多需要几个独立参数来描写? 2.认为描述激光束最重要的一个参数是什么,为什么? 3.何使单透镜对激光束的聚焦效果最好? 4.对激光束聚焦的单透镜应如何选取? 5.如何才能使激光束准直效果最好? 6.聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题,如何取得最佳工作条件? 7.如何加入第二束共线共焦UV激光? (30分) 8•试说明发散角和球面光波束张角的区别。 五、练习题 1波长为几的高斯光束入射到位于z=l(图3.1)处的透镜上,为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上(样品表面距透镜L),透镜的焦距/应为多少? 画出解的简图。 2.二氧化碳激光器,采用平凹腔,凹面镜的曲率半径R=2m,腔长L=\m.求出它所产生的高斯光束的光腰人小和位置,共焦参数0及发散角0。 3.某高斯光束光腰大小为q=1.14〃〃",波长2=10.6“〃? 。 求与腰相距30cm,10/n, 1km处光斑的人小及波前曲率半径。 4.求出上题所给出的个高斯光束的发散角用计算来回答卞述问题: 在什么条件卞可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波? 即在什么条件下可以用公式Rd)=z和公式w(z)=q/•R⑵来计算高斯光束的光斑人小的波前曲率半径? 5.某高斯光束的5=1.2〃? 〃? ,2=10.6///? ? 。 另用f=2cm的凸透镜来聚焦。 当光腰与透镜距离分别为10〃? 、1加、0时,出射高斯光束的光腰人小和位置各为多少? 分析所得的结果。 6.已知高斯光束的d? 0=03mm,兄=0.6328〃〃? 。 试求: (1)光腰处; (2)与光腰相距30c加处;(3)无穷远处的复参数q值。 7.两支氨氛激光器的结构及相对位置如图3.3所示,求在什么位置插入一焦距为多人的透镜才能实现两个腔之间的模匹配? 图3.3 8.从腔长为1加,反射镜曲率半径为2加的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5CH1,曲率半径为lQcm的干涉仪中去,两腔长相距50c加,为得到模匹配,应把焦距为多大的透镜放置在何处? 9.某高斯光束的w°=1.2加加,2=10.6////? 今用一望远镜将其准直,如图3.4所示,主 镜用镀金全反射镜: R=lm,11径为10cm;副镜为一错透镜: 人=2.5c加,11径为1.5伽, 高斯光束的束腰与副镜相距I=1〃? 求以卜两种情况塑远镜系统对高斯光束的准直倍率: (1)两镜的焦点重合; (2)从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。 图3.4 10.月球距地球表面3.8x10讣加,使用波长2=0.5145“加的激光束照射月球表面。 当 (1)光束发散角为1.0x10-'“方; (2)光束发散角为1.0x10-6柯〃时,月球表面被照亮的面积为多少? 两种情况卞,光腰半径各为多少? 11.一高斯光束的光腰半径w0=2cm,波长2=1“〃7,从距离透镜为d的地方垂直入射到焦距为F=4cm的透镜上。 求: (1)d=0, (2)d=Im时,出射光束的光腰位置和光束发散角。 12一染料激光器输出激光器的波长2=0.63////? 光腰半径为60“〃“使用焦距为5c〃? 的凸透镜对其聚焦,入射光腰到透镜的距离为0.50/n。 问: 离透镜4.8cm处的出射光斑为多大? 13.一高斯光束的光腰半径为血°,腰斑与焦距为/的薄透镜相距为/,经透镜变换后传输距离I。 ,又经一折射率为〃,长为厶的透明介质后输出,如图3.5所示。 求: (1)高斯光束在介质岀射面处的q参数和光斑半径。 (2)若介质移到薄透镜处,即厶=0(不考虑可能存在的间隙),求输出高斯光束的远场发散角8。 反射镜a=0.44/77处放置长为b=0Am的放玻璃棒,其折射率为〃=1.7。 棒的一端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。 (1)进行腔的稳定性判别; (2)求输出光斑的人小;(3)若输出端刚好位于f=0.1m的透镜的焦平面上,求透镜聚焦后的光腰人小和位置。 13、某二氧化碳激光器,采用平-凹腔,凹面镜的R二2m,腔长L=lmo试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径的人小和位置、该高斯光束的/及九的人小。 14、某高斯光束束腰斑大小为®二1.14mm,2=10.6/Zliio求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径血及波前曲率半径 15、若已知某高斯光束之二0.3mm,2=632.8imio求束腰处的q参数值,与束腰相距30cm处的q参数值,以及在与束腰相距无穷远处q的值。 16、某高斯光束©二1.2mm,2=10.6/ziiio今用F二2cm的铐透镜聚焦,,当束腰与透 镜的距离为/=10加、1〃八10cm、0时,求焦斑大小和位置,并分析所得结果。 17、二氧化碳激光器输出光2=10.6/zlii,用一F=2cm的凸透镜来聚 焦,求欲得到co.=20//m及2.5/aii时透镜应放在什么位置。 18、如图2.2光学系统,入射光2=10.6/7111,求及/3。 19、某高斯光束©,二1.2mm,2=10.6/Aiio今用一望远镜将其准直。 主镜用镀金反射 镜R=lcm,「I径为20cm;副镜为一错透镜,耳=2.5cm,口径为1.5cm;高斯光束束腰 20、激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成,它出射波长为几的基模高斯光束,今给定功率计,卷尺以及半径为a的小孔光阑,试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。 21、已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜组成,R1=lm,R2=2in,L=0.5m° 如何选择高斯束腰斑©的人小和位置才能使它成为该谐振腔中的自在现光束? 22、 (1)用焦距为F的薄透镜对波长为几、束腰半径为©,的高斯光束进行变换,并使 变换后的高斯光束的束腰半径(此称为高斯光束的聚焦),在F>/和/=种情况下,如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离/? (2)在聚焦过程中,如呆薄透镜到高斯光束束腰的距离/不能改变,如何选择透镜的焦距F? 23、试由自在现变换的定义式(2.12.2)用q参数法来推导出自在现变换条件式(2.12.3)o 24、试证明在一般稳定腔(R-R2,L)中,其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各该镜面的曲率半径。 25、试从式(2.14.12)导出式(2.14.13),并证明对双凸腔B2-4C>0o 26、试计算R]=lm,L=0.25m,a1=2.5cm,a2=lcm的虚共焦腔的鼻程和g往返。 若想保持J不变并从凹面镜端单端输出,应如何选择aj? 反之,若想保持a? 不变并从凸面镜M: 端单端输出,应如何选择知? 在这两种单端输出的条件卞,$单程和§往返各为多大? 题中%为镜M]的横截面半径,R]为其曲率半径,a2.R? 的意义类似。 六、部分答案 1.高斯光束最多需要几个独立参数来描写? 解答: 两个。 2.认为描述激光束最重要的一个参数是什么,为什么? 解答: 激光束最重要的一个参数是q参数,因为它主要决定了高斯光束的场分布和传输特点。 3.何使单透镜对激光束的聚焦效果最好? 解答: (1)F (2).若F〉f要使w: V叫要求FV(F-/)'+厂即/>尸+J尸-厂或I 尸一定时/=F=>w;=AF/ttWq/'=F />F=>/T->W;I丨=S=>W;T0rTF 4.对激光束聚焦的单透镜应如何选取? 解答: 使用短焦距透镜;光腰远离透镜。 5.如何才能使激光束准直效果最好? 解答: 先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦,获得极小的腰斑,然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性,经过短透镜的出射光束聚在长焦距透镜的焦点上。 这样可获得很好的准直效果。 6.聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题,如何取得最佳工作条件? 解答: 7.如何加入第二束共线共焦UV激光? (30分) 解答: 8•试说明发散角和球面光波束张角的区别。 9.波长为几的高斯光束入射到位于z=l(图3.1)处的透镜上,为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上(样品表面距透镜L),透镜的焦距/应为多少? 画出解的简图。 解答: 如图 图3・1 由]]]得: —=一Q=qf~q'=qf-z"Qfclff (1-¥)q+(+‘-手)q'=—■-— -纟+(1」) ff 将g=i警,7»警代入上式得: AA ・■・-竽+(1•評=(1•洒)+(+'・予) 让实部和虚部对应相等得到: 进而得到: (1-|) 1- (1-芳+譽f久丁- 将Z=l,Z=L.代入上式可求出/ 2.二氧化碳激光器,采用平凹腔,凹面镜的曲率半径R=2/77,腔长厶=1加。 求出它所产生的高斯光束的光腰人小和位置,共焦参数S及发散角0。 解: 厂 由R(Z)|冲=-Z(l+£)IE=2,可得/=1/77込 由/=竺,可得 A q=1.8/w/w 八几10.6…> 0===1.S7mrad tto)q3.14x1.8 3.某高斯光束光腰人小为=1.14/«/77,波长2=10.6pmo求与腰相距3Qcm,10/? /, 1km处光斑的人小及波前曲率半径。 解答: R(Z)=Z(1+©) 当z=30cm时,Q(Z)L=3o=2.09mm,7? (z)|.=3O=0.79/n 当z=10m时,=2.97c/? ? R(Z)L=io=1O.O15//7 当2=1000m时,qQ)|goo。 =2.96m,R(Z)|尸1000-1000/n 4.求出上题所给出的个高斯光束的发散角彳,。 用计算来回答下述问题: 在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波? 即在什么条件下可以用公式 R⑵=z和公式w(z)=0t,•R⑵来计算高斯光束的光斑人小的波前曲率半径? 解答: 0=兄= 叭 =10-6x10_\=2.96x10-W ^xl.l4xW3 =0.38/77 pCi)=Z+—=Z Z 族Z)=1+(—)2=&R(7) Zo 5.某高斯光束的a)Q=l.2mm9几=10・6“〃7。 另用f=2cm的凸透镜来聚焦。 当光腰与透镜距离分别为10〃? 、1加、0时,出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少? 分析所得的结果。 解答: 根据 当Z=1Oill时,力0=2・4“加、Z1=2cm 当乙=lm时,力0=2・12〃加、=2.03cm 当z=0m时,co=2.64////? z=202c//? 6.己知高斯光束的a)Q=0.3mm,兄=0・6328〃加。 试求: (1)光腰处: (2)与光腰相距 30c/n处;(3)无穷远处的复参数q值。 解答: 由公式f=警,q⑵=Wf,代入数值得A (1)Z=O«寸 (2)z=30c〃? 时 (3)2="时 q=44.66/ 9=30+44.66/ 6/=44.66/+co 7. 两支氫氛激光器的结构及相对位置如图3・3所示,求在什么位置插入一焦距为多人的透镜才能实现两个腔之间的模匹配? R=50cmR,=s 1_~_ A_ L=25c〃7 图3.3 解答: 根据等相位面曲率半径为 /? =-z(i+4) 当Z=-0.3/n时,等相位面曲率半径尽=1,由上式得 K=-z(l+g)=l=f*问 Z=-03m 利用f=,2=0・6328“加得到叫a3.24xW4w A 同理,心3.17x107加 根据高斯光束得模匹配公式有 Z4-2=O.75,/o=^^-O.51A 解得 F=0.87/r? z=0.31w,z=0.44m 8.从腔长为1加,反射镜曲率半径为2加的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5C加,曲率半径为lQcm的干涉仪中去,两腔长相距50c加,为得到模匹配,应把焦距为多大的透镜放置在何处? 解答: 牛0.5〃7 A二&+2=4.69%% f严沁52 02 /0=0.5+0.5+0.05=1.05 =>/=0.25/77,/=0.76m 9.某高斯光束的w°=l・2加加,兄=10・6〃〃八今用一望远镜将其准直,如图3.4所示,主 镜用镀金全反射镜: R=Im,11径为10c加;副镜为一铐透镜: £=2・5c加,丨|径为1.5cm, 高斯光束的束腰与副镜相距/=1〃? 求以卜两种情况塑远镜系统对高斯光束的准直倍率: (1)两镜的焦点重合; (2)从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。 图3.4 解答: (l)z=2.5cm Mi凹=M1+(刍 %v叫 M=厶 J\ =>M'=M/l+(^-)2=20 V叫 (2)1'=/+一(厶7",=2.506伽 (厶-疔-(竿尸 A=50t7? 7,主镜上的光斑尺寸超过镜面尺寸,考虑衍射,M=22 10.月球距地球表面3.8xl(r如? ,使用波长2=0.5145“加的激光束照射月球表面。 当 (1) 光束发散角为LOxlO-Jad: (2)光束发散角为1.0xW6rar/时,月球表面被照亮的面积为多少? 两种情况下,光腰半径各为多少? 解答: 根据光斑尺寸为 w"z)=w; 光束发散角为 2 得到忙亦将其代入光斑尺寸公式得 仝 于是有 (1)当0=lxKTJddM=0・5145〃〃7,z=3.8xlO5to时光腰半径为w0=—=3.3xIOS? On 月球表面被照亮的面积为S=刊,⑵=1.13x10叹沪 (2)当0=1x10^rad,A=0.5145//w^=3.8xlO5/: w时光腰半径为w0=—=0.33w/ 07t 月球表面被照亮的面积为S=/n沪(z)=0.113b沪11・一高斯光束的光腰半径w0=1cm,波长久=1“〃7,从距离透镜为d的地方垂直入射到焦距为F=4cm的透镜上。 求: (1)d=0, (2)d=Im时,出射光束的光腰位置和光束发散角。 解答: 出射高斯光束束腰处光斑半径为d=0,VV0T0、ZT4cw? 0=2>co d=lm,vv0t0,zt4cm QTOO12一染料激光器输出激光器的波长几=0・63〃〃7,光腰半径为60///Ho使用焦距为5c〃? 的 凸透镜对其聚焦,入射光腰到透镜的距离为0.50/«。 问: 离透镜A.Scm处的出射光斑为多 大? 解答: 出射高斯光束束腰处光斑半径和光腰距透镜的距离为 出射高斯光束距束腰距离为Z处的光斑尺寸为 计算得到 Z=7.5xl0-3 =>coo2(z)=1.546x10-9nr ⑵=39.32“〃? 13.一高斯光束的光腰半径为血°,腰斑与焦距为/的薄透镜相距为/,经透镜变换后传输距离I。 ,又经一折射率为〃,长为乙的透明介质后输出,如图3.5所示。 求: (1)高斯光束在介质出射面处的q参数和光斑半径。 (2)若介质移到薄透镜处,即厶=0(不考虑可能存在的间隙),求输出高斯光束的远场发散角8。 (1) — L l•-n ri 0] 1 1/0 1I n 1 = 0 01 1 01 1 一J J L」 高斯光束束腰所经历的光器件矩阵: 由ABCD定律得高斯光束在介质岀射面处的q参数: R虫+/+(ij仏 Aq°+B=/〃2/ Cq°+D15味计]/ ~1~"7 由ABCD定律得高斯光束在介质岀射面处的q参数: Aq°+B Cq°+D 新束腰处g参数: 绻in{0}=-(1- 新束腰: coQ= 护冲一鈴討 9y) 输出高斯光束的远场发散角: &二二叫 14•如图3.6所示,波长A=1.06///w的饮玻璃激光器的全反射镜的曲率半径R=1/7? ,距全 反射镜«=0.44/77处放置长为b=0Am的放玻璃棒,其折射率为〃=1・7。 棒的一端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。 (1)进行腔的稳定性判别; (2)求输出光斑的大小;(3)若输出端刚好位于f=0.1m的透镜的焦平面上,求透镜聚焦后的光腰人小和位置。 解: (1) Ri二lm,a二0・44m -RLC =>L=—=oOcm 2 ^os=^=0.41rjmi 1=a+b+f-I=0.14/w f=0.Im 1'=/+—#7〃、=10.08677? d2+ 13、某二氧化碳激光器,采用平-凹腔,凹面镜的R二2m,腔长L二lm。 试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径Q。 的人小和位置、该高斯光束的/及九的人小。 解: %=龙=JlxlO.6xl()Nx3]4用=1.30〃〃" R]=2m,R、=qo,则gL=1-—=0.5,=1-—=1 尽"R2 14、某高斯光束束腰斑大小为®二1・14mm,A=10.6/diio求与束腰相距30cm、10m、 1000m远处的光斑半径e及波前曲率半径 血分别为0=1.455/wn,2.963cm,0.296
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