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1231直线与平面垂直
技能演练
基础强化
1.若平面α外一条直线l与α内两条直线垂直,则l与α的位置关系是( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l与α相交D.无法确定
解析 若α内的两条直线是相交直线,则l⊥α;若α内的两条直线平行,则l∥α或l与α相交或l⊥α.
答案 D
2.已知直线l⊥平面α,直线m⊂α,则( )
A.l⊥mB.l可能和m平行
C.l与m相交D.无法确定
解析 直线l⊥平面α,则l垂直于平面α内任意一条直线,∵m⊂α,故l⊥m.
答案 A
3.(2011·广西百所重点中学高三阶段性检测)已知空间两个不同的直线m、n和两个不同的平面α、β,则下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,n⊂α,则m∥n
B.若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α
C.若m∥α,n∥α,则m∥n
D.若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则m∥n
解析 A选项中m与n可能异面;B选项中n与α可能平行或在α内;C选项中m与n的位置关系不确定,故A、B、C均错误,D是线面平行的性质定理,D成立.
答案 D
4.(2011·浙江省温州十校联合体高三联考)若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的个数( )
①若m∥α,n⊥α,则m⊥n;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;
③若m∥β,α∥β,则m∥α;④若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α.
A.1B.2
C.3D.4
解析 ①②正确,故选B.
答案 B
5.如下图,PA⊥平面ABC,△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形有( )
A.4个B.3个
C.2个D.1个
解析 ∵PA⊥面ABC,
∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.
∵BC⊥AC,AC∩PA=A,
∴BC⊥面PAC,∴BC⊥PC,
∴△PAC、△PAB、△ABC、△PBC均是直角三角形.
答案 A
6.(2011·石家庄高三质检一)在三棱锥S—ABC中,SA⊥底面ABC,SA=4,AB=3,D为AB中点,且∠ABC=90°,则点D到平面SBC的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析
如图,过A作AE⊥SB交SB于E,
∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC.
∵AB⊥BC,SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE.
∵SB∩BC=B,∴AE⊥平面SBC.
∵D是AB中点,
∴D到平面SBC的距离为
AE.
在Rt△SAB中,SA=4,AB=3,
∴AE=
,
∴D到平面SBC的距离为
.
答案 C
能力提升
7.(2011·浙江省诸暨市高三上学期期末试)如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,点M是棱PC的中点,PA⊥平面ABCD,AC、BD交于点O.若PA=
,求证:
AM⊥平面PBD.
证明 由M为PC中点,O为AC中点,知AM、PO交点G是△PAC的重心,
AG=
AM=
×
PC=
,OG=
PO=
,
AG2+OG2=1=AO2,AG⊥PO.
又BD⊥AO,BD⊥PA,
∴BD⊥平面PAC,AG⊥BD,
∴AM⊥平面PBD.
8.(2010·山东济南市高三模拟)如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.
(1)求证:
BE∥平面PDA;
(2)若N为线段PB的中点,求证:
EN⊥平面PDB.
证明
(1)∵EC∥PD,
PD⊂平面PAD,EC⊄平面PDA,
∴EC∥平面PDA,同理可得BC∥平面PDA.
∵EC⊂平面EBC,BC⊂平面EBC且EC∩BC=C,
∴平面EBC∥平面PDA.
又∵BE⊂平面EBC,∴BE∥平面PDA.
(2)取BD中点M,连接MC,MN,
∵N是PB中点,∴MN∥PD,且MN=
PD.
∵EC∥PD且PD=2EC,∴EC∥MN且EC=MN.
∴四边形MNEC是平行四边形,
∴NE∥MC.
∵M是BD中点,且四边形ABCD是正方形,
∴CM⊥BD.
∵PD⊥平面ABCD,且MC⊂平面ABCD,
∴PD⊥MC.
∵BD∩PD=D,∴MC⊥平面PDB,
∴NE⊥平面PDB.
9.(2011·北京东城区示范校高三联考)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:
PA∥平面EDB;
(2)证明:
PB⊥平面EFD.
证明
(1)连接AC交BD与O,连接EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴点O是AC的中点.
又∵E是PC的中点,
∴在△PAC中,EO为中位线,
∴PA∥EO.
而EO⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,
∴PA∥平面EDB.
(2)由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,
∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.
∵DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.①
∵PD=DC,E是PC的中点,
∴△PDC是等腰三角形,DE⊥PC.②
由①和②得DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC,
∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.
10.(2011·陕西省西安市高三五大名校模拟)三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分别是AB,A1C的中点.
(1)求证:
MN∥平面BCC1B1;
(2)求证:
MN⊥平面A1B1C;
(3)求三棱锥M—A1B1C的体积.
解析
(1)证明:
连接BC1,AC1,
∵M,N是AB,A1C的中点,
∴MN∥BC1.
又∵MN⊄平面BCC1B1,
∴MN∥平面BCC1B1.
(2)证明:
∵三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,
∴四边形BCC1B1是正方形,
∴BC1⊥B1C,
∴MN⊥B1C.
∵∠ABC=90°,
∴∠A1B1C1=90°,即A1B1⊥B1C1.
∵该棱柱中侧棱与底面垂直,
∴A1B1⊥面BCC1B1,由
(1)可知,MN∥面BCC1B1,
∴A1B1⊥MN.
∵A1B1∩B1C=B1,
∴MN⊥平面A1B1C.
(3)由
(2)知MN是三棱锥M—A1B1C的高.
在直角△MNC中,MC=
,A1C=2
,
∴MN=
.
又S△A1B1C=2
.
VM—A1B1C=
MN·S△A1B1C=
.
品味高考
11.(2010·重庆)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,点E是棱PB的中点.
求证:
AE⊥平面PBC.
证明 ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
∵ABCD是矩形,∴BC⊥AB.
∵PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.
∵AE⊂平面PAB,∴BC⊥AE.
∵PA=AB,E是PB中点,∴AE⊥PB.
∵PB∩BC=B,∴AE⊥平面PBC.
12.(2010·天津)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2
,∠BAD=∠CDA=45°,求证:
CD⊥平面ABF.
证明 过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.
由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,
从而CD⊥AB,
又FA⊥平面ABCD,所以CD⊥FA,FA∩AB=A,
所以CD⊥平面ABF.
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