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初中数学函数知识点整理[资料]
初中数学函数知识点整理
21.定义:
一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.xa,0)y,ax,bx,c(a,b,cy
22.二次函数的性质y,ax
2
(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴.y,axy
2
(2)函数的图像与的符号关系.ay,ax
a,0?
当时抛物线开口向上顶点为其最低点;,,
a,0?
当时抛物线开口向下顶点为其最高点.,,
2(a,0)(3)顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y,axy
23.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.y,ax,bx,cy
224.二次函数用配方法可化成:
的形式,其中y,ax,bx,c,,y,ax,h,k
2b4acb,hk,,,,.2a4a
225.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
?
;?
;?
y,axy,ax,k
222;?
;?
.y,ax,bx,c,,,,y,ax,hy,ax,h,k
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
a,0a,0a?
的符号决定抛物线的开口方向:
当时,开口向上;当时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
x,hx,0?
平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.yy
a7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
22b4acb,,,28.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:
,yaxbxcax,,,,,,,,2a4a,,
2,b4acbb?
顶点是,对称轴是直线.(,,)x,,2a2a4a
2
(2)配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点,,y,ax,h,k
hkx,h为(,),对称轴是直线.
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂
直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
29.抛物线中,的作用a,b,cy,ax,bx,c
2
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.aay,ax
2b
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线ay,ax,bx,c
bbbb,0,0x,,,故:
?
时,对称轴为轴;?
(即、同号)时,对称轴在aya2a
bb,0轴左侧;?
(即、异号)时,对称轴在轴右侧.ayya
2(3)c的大小决定抛物线与轴交点的位置.y,ax,bx,cy
2x,0当时,,?
抛物线与轴有且只有一个交点(0,c):
y,ax,bx,cy,cy
c,0c,0c,0?
,抛物线经过原点;?
与轴交于正半轴;?
与轴交于负半轴.yy
b,0以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.ya
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
2(0,0)x,0(轴)yy,ax
2k)(0,x,0(轴)yy,ax,k
2hx,h(,0),,y,ax,h
a,0当时
2hkx,h(,),,y,ax,h,k开口向上
ba,0当时22x,,y,ax,bx,cb4acb,()2a,,2a4a开口向下
11.用待定系数法求二次函数的解析式
2
(1)一般式:
.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.xy,ax,bx,cy
2
(2)顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.,,y,ax,h,k
(3)交点式:
已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:
.x,,,,xy,ax,xx,xx1122
12.直线与抛物线的交点
2
(1)轴与抛物线得交点为(0,).cy,ax,bx,cy
2x,h
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点y,ax,bx,cy
2hah,bh,c(,).
(3)抛物线与轴的交点x
2二次函数x的图像与x轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次y,ax,bx,cx12
2ax,bx,c,0方程的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方
程的根的判别式判定:
,0x?
有两个交点抛物线与轴相交;,,
,0xx?
有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;,,
,0x?
没有交点抛物线与轴相离.,,
x(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相
2k等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.ax,bx,c,k
2Gl(5)一次函数的图像与二次函数的图像的,,y,kx,nk,0,,y,ax,bx,ca,0
y,kx,n交点,由方程组的解的数目来确定:
?
方程组有两组不同的解时2y,ax,bx,c
GGll与有两个交点;?
方程组只有一组解时与只有一个交点;?
方程组无解,,
Gl时与没有交点.,
2(6)抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与轴两交点为xxy,ax,bx,c
2,由于、是方程的两个根,故ax,bx,c,0,,,,xAx,0,Bx,0x1122
bcx,x,,x,x,,1212aa
22b4cb,4ac,,,22AB,x,x,x,x,x,x,4xx,,,,,,,,,,,12121212aaaa,,
一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系(3分)
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵
a,b坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征(3分)
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限,x,0,y,0
点P(x,y)在第二象限,x,0,y,0
点P(x,y)在第三象限,x,0,y,0
点P(x,y)在第四象限,x,0,y,0
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上,x为任意实数,y,0
x,0点P(x,y)在y轴上,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0),
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等,
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数,
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数,
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数,
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数,
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
y
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
x
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
22x,y(3)点P(x,y)到原点的距离等于考点三、函数及其相关概念(3~8分)
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的
值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点四、正比例函数和一次函数(3~10分)
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。
y,kx,b,
中的b为0时,(k为常数,k0)。
这时,y叫做特别地,当一次函数y,kx,by,kx,x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经过点(0,b)y,kx,b的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。
y,kx
k的符号b的符号函数图像图像特征
y
图像经过一、二、三象限,y随x的b>00x增大而增大。
k>0
y
图像经过一、三、四象限,y随x的b<00x增大而增大。
y
图像经过一、二、四象限,y随x的b>0增大而减小0x
K<0
y
图像经过二、三、四象限,y随x的b<0增大而减小。
0x
注:
当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数有下列性质:
y,kx
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质,,一般地,一次函数有下列性质:
y,kx,b
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。
确定一y,kx,个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。
解这类问题的一y,kx,b,
般方法是待定系数法。
考点五、反比例函数(3~10分)
1、反比例函数的概念
ky,一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写,x
1成的形式。
自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实y,kx,
数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x0,函数y0,所以,它的图像与x,,
轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例ky,(k,0)函数x
k的符号k>0k<0
yy
图像OxOx
?
x的取值范围是x0,?
x的取值范围是x0,,,
y的取值范围是y0;y的取值范围是y0;,,性质?
当k>0时,函数图像的两个分支分别?
当k<0时,函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。
在每个象限内,y在第二、四象限。
在每个
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