利用导数求函数单调性题型全归纳可编辑修改word版.docx
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利用导数求函数单调性题型全归纳可编辑修改word版
利用导数求函数单调性题型全归纳
一.求单调区间
二.函数单调性的判定与逆用三.利用单调性求字母取值范围四.比较大小
五.证明不等式六.求极值
七.求最值八.解不等式
九.函数零点个数(方程根的个数)十.探究函数图像
一.求单调区间
例1.已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1),求函数f(x)的单调区间
解:
f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.
则令g(x)=f'(x),因为当a>0,a≠1,所以g'(x)=2+axln2a>0
所以f'(x)在R上是增函数,又f'(0)=0,所以不等式f'(x)>0的解集为(0,+∞),
故函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)减区间为:
(-∞,0)
变式:
已知f(x)=ex-ax,求f(x)的单调区间
解:
f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)单调递增
当a>0时,由f'(x)=ex-a>0得:
x>lna,f(x)在(lna,+∞)单调递增
由f'(x)=ex-a<0得:
x 综上所述: 当a≤0时,f(x)的单调递增区间为: (-∞,+∞),无单调递减区间 当a>0时,f(x)的单调递增区间为: (lna,+∞),递减区间为: (-∞,lna) 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数f(x)=x3+ax2-2x+5在11 上既不是单调递增函数,也不是单调递减 函数,求正整数a的取值集合 (,) 32 解: f'(x)=3x2+2ax-2 因为函数f(x)=x3+ax2-2x+5在11上既不是单调递增函数,也不是单调递减函数 (,) 32 所以f'(x)=3x2+2ax-2=0在11 上有解 所以'1'1 (,) 32 *55 f()f 3 ()<0 2 又a∈N , ,解得: 4 所以正整数a的取值集合{2} , 三.利用单调性求字母取值范围 x 例3.已知函数f(x)=- lnx ax,若函数y= f(x)在1且+¥ 且上是减函数,求实数a的 最小值. x 解: 因为f(x)=- lnx ax在1且+¥ 且上是减函数 所以f'(x)= lnx-1- a£0在1且+¥ 且上恒成立,即a³ lnx- 1 在1且+¥ 且上恒成立 (lnx)2(lnx)2 令t=lnx,(x>1),则t> 0,h(t)= t-1 t2 (t> 0)则a³ , h(t)max 因为h(t)=t- 1=-12 11- 1)2+1 所以h(t)=h (2)=1 所以a³1 () t2t +=-( tt 24, max4,4 变式: 若函数f(x)=1x3-1ax2+(a- 1)x+1在区间1,4且 上为减函数,在区间(6,+¥) 32 上为增函数,试求实数a的取值范围. 解: f'(x)=x2- ax+a-1 因为函数y= f(x)在区间1,4且 上为减函数,在区间(6,+¥ )上为增函数 ìf'(x)£0且 "xÎ (1,4) ìx2- ax+a- 1£0且 "xÎ (1,4) 所以í ï f'(x)³ 0,"xÎ (6,+¥ 恒成立,即í )ïx2- ax+a-1³ 0,"xÎ (6,+¥) ìx2-1 ïa³= x+1,"xÎ (1,4) ìa³ 4+1 í 所以ï ïa£ x-1 x2-1 = x+1,"xÎ (6,+¥) 所以í ï 所以5£ a£6+1, a£7 ïx-1, 四.比较大小 例4.设a为实数,当a> ln2-1且 x>0时,比较ex与x2- 2ax+1的大小关系. 解: 令f(x)=ex- x2+2ax- 1(x> 0),则f'(x)=ex- 2x+2a 令g(x)= f'(x) 则g'(x)=ex- 2,令g'(x)=0得: x=ln2 当x> ln2时,g'(x)> 0;当x< ln2时,g'(x)<0 所以g(x)min= g(x)且且且 =g(ln2)=eln2- 2ln2+2a=2a- 2ln2+2,因为 a>ln2- 1,所以g(x)= f'(x)> 0,所以f(x)在 0且+¥ 且上单调递增 所以f(x)> f(0)=0,即ex- x2+2ax- 1>0,所以ex> x2- 2ax+1 变式: 对于R上的可导函数y= f(x),若满足(x- 3)f'(x)> 0,比较f (1)+ f(11)与 2f(3)的大小关系. 解: 因为(x- 3)f'(x)>0 所以当x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(11)> f(3) 当x<3时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f (1)> f(3) 所以f (1)+ f(11)> 2f(3) 五.证明不等式 例5.已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=k(x-1)(k∈R). 证明: 当k<1时,存在x0>1,使得对任意的x∈(1,x0),恒有f(x)>g(x). 证明: 令G(x)=|lnx|-k(x-1)=lnx-k(x-1),x∈(1,+∞) - 则有G(x)=-k= xx x∈(1,+∞) 当k≤0或k≥1时,G'(x)>0,故 G(x) 在(1,+∞)上单调递增,G(x)>G (1)=0.故任 意实数 x∈(1,+∞) 均满足题意. 当0 时,令G'(x)=0,得x=1>1. k 当x∈(1,1)时,G'(x)>0,故 k G(x) 1 在(1,) k 上单调递增 当x∈(1,+∞)时,G'(x)<0,故 k G(x) 在(,+∞)上单调递减 k 取x=1,对任意x∈(1,x),有G'(x)>0,故G(x)在(1,x)上单调递增 0k00 所以G(x)>G (1)=0 即f(x)>g(x),综上所述: 当k<1时,存在x0>1,使得对任意的x∈(1,x0),恒有f(x)>g(x). 12 变式: 已知关于x的方程(1-x)ex-ax2=a有两个不同的实数根x、x .求证: x1+x2<0 证明: 因为(1-x)ex - ax2 =a,所以a= (1-x)ex x2+1 令f(x)= , (1-x)ex x2+1 则f'(x)= -x(x2-2x+3)ex (x2+1)2 =-x[(x-1)2+2]ex (x2+1)2 当x>0时f'(x)<0,f(x)单调递减,当x<0时f'(x)>0,f(x)单调递增 12 因为关于x的方程(1-x)ex-ax2=a有两个不同的实数根x、x ,, 所以不妨设x1∈(-∞,0),x2∈(0,+∞)要证: x1+x2<0只需证: x2<-x1 因为x2-x1∈(0,+∞),且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减 所以只需证: f(x2)> f(-x1),又因为f(x2)=f(x1)所以只需证: f(x1)> f(-x1) , (1-x)ex1(1+x)e-x1 即证: 1>1 x2+1x2+1 11 即证: (1-x)ex-(1+x)e-x>0对x∈(-∞,0)恒成立 令g(x)=(1-x)ex-(1+x)e-x,x∈(-∞,0),则g'(x)=x(e-x-ex) 因为x∈(-∞,0),所以e-x-ex>0 所以g'(x)=x(e-x-ex)<0恒成立 所以g(x)=(1-x)ex-(1+x)e-x在(-∞,0)上单调递减,所以g(x)>g(0)=0 综上所述: x1+x2<0 六.求极值 例6.已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,是否存在实数a,使得函数f(x)的极大值为3? 若 存在,求出a的值,若不存在,请说明理由. 解: f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex 令f'(x)=0得: x=-a或x=-2 当a=2时,f'(x)≥0恒成立,无极值,舍去 当a<2时,-a>-2 由表可知: 极大值 f(x)=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3 解得: a=4-3e2<2 当a>2时,-a<-2 由表可知: 极大值 f(x)=f(-a)=(a2-a2+a)e-a=3,即ae-a=3,所以: a=3ea 令g(a)=3ea-a(a>2),则g'(a)=3ea-1>3e2-1>0 所以y=g(a)在(2,+∞)上单调递增,又g (2)=3e2-2>0 所以函数y=g(a)在(2,+∞)上无零点,即方程a=3ea无解 综上所述: 存在实数a,使得函数f(x)的极大值为3,此时a=4-3e2 七.求最值 例7.已知函数 f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1),若存在 x1,x2[1,1],使得 f(x1)-f(x2)≥e-1(其中e是自然对数的底数),求实数a的取值范围. 解: 因为存在x1,x2∈[-1,1],使得f(x1)-f(x2)≥e-1成立, 而当x∈[-1,1]时, f(x1)-f(x2)≤f(x)max-f(x)min, 所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可 又因为x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 减函数 极小值 增函数 minmax 所以f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)为f(-1)和f (1)中的最大值. 因为f (1)-f(-1)=(a+1-lna)-(1+1+lna)=a-1-2lna, aa 令g(a)=a-1-2lna(a>0),因为g'(a)=1+1 aa2 -2=(1-1)2>0, aa 所以g(a)=a-1-2lna在a∈(0,+∞)上是增函数. a 而g (1)=0,故当a>1时,g(a)>0,即f (1)>f(-1); 当0 (1) 所以,当a>1时,f (1)-f(0)≥e-1,即a-lna≥e-1,函数y=a-lna在a∈(1,+∞)上是增 函数,解得a≥e; 当0 aa
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