新三第14讲乘除法巧算.docx
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新三第14讲乘除法巧算
乘除法巧算
一天,唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。
不久,三个徒弟摘完桃子高高兴兴回来。
唐僧问:
你们每人各摘回多少个桃子?
八戒说:
我们每人摘的一样多。
我筐里的桃子不到100个,如果3个3个地数。
数到最后还剩1个。
沙僧说:
我筐里的桃子,如果4个4个地数,数到最后还剩1个。
悟空说:
我筐里的桃子,如果5个5个地数,数到最后还剩1个。
你知道他们每人摘了多少个桃子吗?
同加减法速算一样,乘除法速算大部分也是通过“化零为整”的思想来实现的。
但更多地,乘除法速算是利用对数的拼、拆及改变运算顺序与符号等方法,使得某些数成为整十、整百、整千……的数。
为了更好地“凑整”,同学们要牢记这样几个性质:
乘法的性质:
1.乘法交换律:
两个或几个数相乘,任意改变乘数的位置,其积不变。
用字母表示为:
a×b×c=b×a×c=a×c×b=c×b×a。
2.乘法结合律:
三个数相乘,可以先把前两个数相乘后,再与后一个数相乘,或先把后两个数相乘后,再与前一个数相乘,积不变。
用字母表示为:
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
3.乘法分配律:
两个数之和(或差)与一数相乘,可用此数先分别乘和(或差)中的各数,然后再把这两个积相加(或减)。
用字母表示为:
(a+b)×c=a×c+b×c;(a–b)×c=a×c–b×c。
除法的性质:
1.商不变性质:
被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变。
用字母表示为:
a÷b=(a×c)÷(b×n)(n≠0);a÷b=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)。
2.两数之和(或差)除以一个数,可以用这两个数分别除以那个数,然后再求两个商的和(或差)。
用字母表示为:
(a±b)÷c=a÷c±b÷c。
注意,此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。
乘、除法混合运算的性质:
1.在乘、除法混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。
例如:
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
2.在乘、除法混合运算中,去括号时,当括号前是“×”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变,即a×(b×c)=a×b×c,a×(b÷c)=a×b÷c。
当括号前是“÷”时,去括号后,括号内的“×”变为“÷”,“÷”变为“×”,即a÷(b×c)=a÷b÷c,a÷(b÷c)=a÷b×c。
添加括号时,当括号前添“×”时,原符号不变;当括号前添“÷”时,原符号“×”变为“÷”,“÷”变为“×”,即“a×b×c=a×(b×c),a×b÷c=a×(b÷c);a÷b÷c=a÷(b×c),a÷b×c=a÷(b÷c)。
3.两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘,即(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c)。
此外,还有一些乘除算式有一些特殊的计算方法,这就需要同学们平时注意观察积累。
【例1】你有好办法计算下面各题吗?
(1)95×17×4
(2)8×18×125(3)25×8(4)16×125
分析
(1)因为25×4=100,所以我们要尽量把25与4放在一块计算,比较简便。
(2)因为8×125=1000,所以我们先把8与125放在一块计算,比较简便。
(3)因为8=4×2,所以我们可以把25×8转化为25×4×2,然后先算25×4=100。
(4)因为16=8×2,所以我们可以把16×125转化为2×(8×125),然后先算8×125=1000。
〖即学即练1〗你能用简便方法计算下面各题吗?
(1)50×25×2
(2)125×2×8×25×5×4
(3)125×5×32(4)25×16
【例2】用简便方法计算下面各题。
(1)23×49+23×51
(2)43×12+12×8–12
(3)39÷9+6÷9(4)38÷9+17÷9–7÷9–12÷9
分析
(1)根据乘法分配律,原式=23×(49+51)。
(2)根据乘法分配律,原式=12×(43+8–1)。
(3)因为几个数除以某一个数的商的和,等于这几个数的和除以这一个数的商。
所以原式=(39+6)÷9。
(4)同(3)一样,因为几个数除以某一个数的商的和(或差),等于这几个数的和(或差)除以这一个数的商,所以原式=(38+17–7–12)÷9。
〖即学即练2〗用简便方法计算下面各题。
(1)25×4+25×96
(2)20×36+61×36–36
【例3】用简便方法计算下面各题。
(1)17×88
(2)45×99
分析因为88=90–2,99=100–1。
所以可将它们看作(90–2)、(100–1),然后利用乘法分配律进行计算。
〖即学即练3〗用简便方法计算下面各题。
(1)71×99
(2)35×48(8)13×98
【例4】想一想,怎样计算更加简便。
(11800÷25
(2)768÷12÷8(3)56×9÷8(4)(72–39+45)÷3
分析
(1)利用除法的基本性质,将被除数、除数同时扩大4倍。
800÷25=(800×4)÷(25×4)。
(2)因为768除以8可以直接口算,所以利用乘除同级运算中,乘数和除数可以连同运算符号一同“搬家”的性质,有768÷12÷8=768÷8÷12。
(3)56除以8可以直接口算,且可以使计算数据变小,所以把8连同它前面的“÷”一同“搬家”,有56×9÷8=56÷8×9。
(4)因为几数之和(或差)除以一个数,可以用这几个数分别除以那个数,然后再求这几个商的和(或差),所以(72–39+45)÷3=72÷3–39÷3+45÷3。
〖即学即练4〗想一想,怎样计算更加简便。
(1)32000÷125
(2)357÷3÷7
(3)91×5÷7(4)(63+56–14)÷7
【例5】先观察,再动手计算。
(1)126÷(6÷8)
(2)32×36÷12(3)32×(4÷16)(4)1900÷25÷4
分析
(1)括号前面是“÷”,去掉括号后“×”变为“÷”,“÷”变为“×”。
(2)由于36是12的倍数,所以不妨添括号让36与12先算。
(3)在乘、除法混合运算中,去括号时,当括号前是“×”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变。
(4)25和4可以凑整,而连续除去几个数,等于除去这几个数的积。
〖即学即练5〗简便方法计算下面各题。
(1)160÷(10÷4)
(2)35×72÷9
(3)72×(108÷9)(4)3000÷8÷125
【例6】怎样简便就怎样计算。
(1)11×25
(2)85×11(3)56×54(4)64×44
分析
(1)一个数乘以11,口诀是“两头一拉,中间相加”,所以11×25=275。
(2)同
(1)一样,不过“中间相加”(即十位相加)要往前进一位,所以85×11=935。
(3)56与54十位数字相同,个位数字相加得10,具有这样特点的乘法算式可以借用规律:
十位数字与十位数字加1的积作积的百位,个位与个位数字的积作积的个位。
(4)与(3)相反,64与44个位数字相同,十位数字相加得10,这也有规律:
十位与十位数字的积加个位数字所得的和作积的百位,个位与个位数字的积作积的个位。
〖即学即练6〗
(1)23×27
(2)43×63(3)123×11(4)87×11
能力检测
1.计算:
(1)23×4×25
(2)125×56
2.计算:
(1)125×(11×8)
(2)7×24×125
3.计算:
(1)340÷5
(2)2100÷50(3)1340÷5
(4)1340÷5(5)3200÷25(6)5600÷25
(7)24000÷125(8)38000÷125(9)1200÷50
4.用简便方法计算。
(1)123×47+177×47
(2)(72+63+18)÷9
5.先观察,再计算。
(1)2100÷4÷25
(2)320÷(8÷9)
6.用你学过的方法简算。
(1)121×99
(2)25×398
(3)363×11(4)11×47
7.怎样简便就怎样计算。
(1)62×68
(2)45×45
(3)38×8(4)56×56
8.下面的题直接计算比较麻烦,你能想出好办法吗?
(1)89+88+87×98
(2)51×20–51×12+(20–8)×51
9.观察规律,并填空。
如果9×8=729×9=81
99×98=970299×99=9801
999×998=997002999×999=998001
…………
那么9999×9999=()9999×9998=()
9999×9997=()9999×9996=()
10.判断正误,对的打“√”,错的打“×”。
(1)(54×12)÷(9×6)=54×12÷9×6()
(2)999×1001=999×1000+1()
(3)75×11=725()
(4)3600÷24÷3=3600÷(24÷3)()
11.数2929×28与数2828×29相差____________________。
12.从1~9这九个自然数中选出八个填入下式的八个圆圈内,使算式的结果尽可能大。
○÷○×(○+○)–○×○+○–○
○÷○×(○+○)–○×○+○–○ (备用)
○÷○×(○+○)–○×○+○–○ (备用)
○÷○×(○+○)–○×○+○–○ (备用)
13.计算:
6×10÷(3×5)333×1002
2007+28+793+2880×16×25×125
12÷9+15÷92÷3÷(4÷6)
14.计算:
(12×4+17×4+31×4)÷4
15.计算:
2011×1000–2011=_____________×999
16.1234÷9+3214÷9+5100÷9+451÷9
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- 新三第 14 除法