校本课程常用的巧算和速算方法.docx

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校本课程常用的巧算和速算方法

校本课程常用的巧算和速算方法

校本课程数学计算方法

第一讲生活中几十乘以几十巧算方法.........................................................................2第二讲常用巧算速算中的思维与方法,1,................................................................4

第三讲常用巧算速算中的思维与方法,2,................................................................7

第四讲常用巧算速算中的思维与方法,3,..............................................................10

第五讲常用巧算速算中的思维与方法,4,..............................................................12

第六讲常用巧算速算中的思维与方法,5,..............................................................16

第七讲常用巧算速算中的思维与方法,6,..............................................................19

第八讲小数的速算与巧算1——凑整.......................................................................21第九讲乘法速算1...................................................................................................22第十讲乘法速算2...................................................................................................24第十一讲乘法速算3...................................................................................................26第十二讲乘法速算4...................................................................................................27第十三讲乘法速算5...................................................................................................28第十四讲乘法速算6...................................................................................................29第十五讲乘法速算7...................................................................................................32第十六讲乘法速算8...................................................................................................34

注:

《速算技巧》...................................................................................................39

校本课程数学计算方法

第一讲生活中几十乘以几十巧算方法

1.十几乘十几,

口诀,头乘头,尾加尾,尾乘尾。

例,12×14=,

解:

1×1=1

，,,,

×,,,

12×14=168

注,个位相乘,不够两位数要用0占位。

.头相同,尾互补（尾相加等于10）,口诀,一个头加,后,头乘头,尾乘尾。

例,23×27=,

解,,，,,,

×,,,

×,,21

23×27=621

注,个位相乘,不够两位数要用0占位。

.第一个乘数互补,另一个乘数数字相同,口诀,一个头加,后,头乘头,尾乘尾。

例,37×44=,

解,3+1=4

4×4=16

7×4=28

37×44=1628

注,个位相乘,不够两位数要用0占位。

.几十一乘几十一,

口诀,头乘头,头加头,尾乘尾。

例,21×41=,

解,2×4=8

2+4=6

1×1=1

21×41=861

.11乘任意数,

口诀,首尾不动下落,中间之和下拉。

例,11×23125=,

解,2+3=5

3+1=4

1+2=3

2+5=7

2和5分别在首尾

11×23125=254375注,和满十要进一。

.十几乘任意数,

口诀,第二乘数首位不动向下落,第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字,

加下一位数,再向下落。

例,13×326=,

解,13个位是3

3×3+2=11

3×2+6=12

3×6=18

13×326=4238

注,和满十要进一。

第二讲常用巧算速算中的思维与方法,1,

【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。

例如著名的大数学家高斯,德国,小时候就做过的“百数求和”题,可以计算为1+2+……+99+100

所以,1，2，3，4，……，99，100

=101×100?

2

=5050

“3+5+7+………，97+99=,

3+5，7，……，97+99=,99，3,×49?

2=2499。

这种算法的思路,见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。

张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题,

“今有女子不善织,日减功,迟。

初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。

问织几何,”

题目的意思是:

有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。

她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。

问她一共织了多少布,

张丘建在《算经》上给出的解法是:

“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。

”“答曰:

二匹一丈”。

这一解法，用现代的算式表达，就是

1匹=4丈,1丈=10尺,

90尺=9丈=2匹1丈。

张丘建这一解法的思路,据推测为,如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来,算式就是,5，…………，1

在这一算式中,每一个往后加的加数,都会比它前一个紧挨着它的加数,要递减一个相同的数,而这一递减的数不会是个整数。

若把这个式子反过来,则算式便是,1+………………，5

此时,每一个往后的加数,就都会比它前一个紧挨着它的加数,要递增一个相同的数。

同样,这一递增的相同的数,也不是一个整数。

假若把上面这两个式子相加,并在相加时,利用“对应的数相加和会相等”这一特点,那么,就会出现下面的式子,

所以,加得的结果是6×30=180,尺,

但这妇女用30天织的布没有180尺,而只有180尺布的一半。

所以,这妇女30天织的布是

180?

2=90,尺,

可见,这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。

第三讲常用巧算速算中的思维与方法,2,

方法一,分组计算

一些看似很难计算的题目,采用“分组计算”的方法,往往可以使它很快地解答出来。

例如,

求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。

这道题是求“10亿个自然数的数字之和”,而不是“10亿个自然数之和”。

什么是“数字之和”,例如,求1到12这12个自然数的数字之和,算式是1，2，3，4，5+6+7，8+9+1，0+1+1+1+1，2=5l。

显然,10亿个自然数的数字之和,如果一个一个地相加,那是极麻烦,也极费时间,很多年都难于算出结果,的。

怎么办呢,我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”,改变数字的个数,但不会改变计算的结果。

然后,将它们分组,

0和999,999,999,1和999,999,998,

2和999,999,997,3和999,999,996,

4和999,999,995,5和999,999,994,

………………

依次类推,可知除最后一个数,1,000,000,000以外,其他的自然数与添上的0共10亿个数,共可以分为5亿组,各组数字之和都是81,如0+9+9+9+9，9，9，9，9，9=81

1+9+9，9，9，9+9+9+9，8=81

………………

最后的一个数1,000,000,000不成对,它的数字之和是1。

所以,此题的计算结果是

81×500,000,000,，1

=40,500,000,000，1

=40,500,000,001

方法二,由小推大

计算复杂时,我们可以从数目较小的特殊情况入手,研究题目特点,找出一般规律,再推出题目的结果。

例如,

1,计算下面方阵中所有的数的和。

这是个“100×100”的大方阵,数目很多,关系较为复杂。

不妨先化大为小,再由小推大。

先观察“5×5”的方阵,如下图,图4.1,所示。

容易看到,对角线上五个“5”之和为25。

这时,如果将对角线下面的部分,右下部分,用剪刀剪开,如图4.2那样拼接,那么将会发现,这五个斜行,每行数之和都是25。

所以,“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125,即53=125。

于是,很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1,000,000。

2,把自然数中的偶数,像图4.3那样排成五列。

最左边的叫第一列,按从左到右的顺序,其他叫第二、第三……第五列。

那么2002出现在哪一列,因为从2到2002,共有偶数2002?

2=1001,个,。

从前到后,是每8个偶数为一组,每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列,后四个偶数分别在第四、三、二、一列,偶数都是按由小到大的顺序,。

所以,由1001?

8=125…………1,可知这1001个偶数可以分为125组,还余1个。

故2002应排在第二列。

方法三,凑整巧算

用“凑整方法”巧算,常常能使计算变得比较简便、快速。

例如

1,99.9+11.1=,90，10,+,9+1,，,0.9+0.1,=111

2,9，97，998，6=,9+1,，,97，3,，,998，2,

=10，100，1000

=1110

3,125，125，125，125，120，125，125，125

=155，125，125，125，,120+5,，125，125+125-5=125×8-5

=1000-5

=995

第四讲常用巧算速算中的思维与方法,3,

方法一,巧妙试商

除数是两位数的除法,可以采用一些巧妙试商方法,提高计算速度。

1,用“商五法”试商。

当除数,两位数,的10倍的一半,与被除数相等,或相近,时,可以直接试商“5”。

如70?

14=5,125?

25=5。

当除数一次不能除尽被除数的时候,有些可以用“无除半商五”。

“无除”指被除数前两位不够除,“半商五”指若被除数的前两位恰好等于,或接近,除数的一半时,则可直接商“5”。

例如1248?

24=52,2385?

45=53

2,同头无除商八、九。

“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。

“无除”仍指被除数前两位不够除。

这时,商定在被除数高位数起的第三位上面,再直接商8或商9。

5742?

58=99,4176?

48=87。

3,用“商九法”试商。

当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数,且前三位数字临时组成的数与除数之和,大于或等于除数的10倍时,可以一次定商为“9”。

一般地说,假如被除数为m,除数为n,只有当9n?

m,10n时,n除m的商才是9。

同样地,10n?

m，n,11n。

这就是我们上述做法的根据。

例如4508?

49=92,6480?

72=90。

4,用差数试商。

当除数是11、12、13…………18和19,被除数前两位又不够除的时候,可以用“差数试商法”,即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。

若差数是1或2,则初商为9,差数是3或4,则初商为8,差数是5或6,则初商为7,差数是7或8,则初商是6,差数是9时,则初商为5。

若不准确,只要调小1就行了。

例如

1476?

18=82,18与14差4,初商为8,经试除,商8正确,,1278?

17=75,17与12的差为5,初商为7,经试除,商7正确,。

为了便于记忆,我们可将它编成下面的口诀,

差一差二商个九,差三差四八当头,

差五差六初商七,差七差八先商六,

差数是九五上阵,试商快速无忧愁。

方法二,恒等变形

恒等变形是一种重要的思想和方法,也是一种重要的解题技巧。

它利用我们学过的知识,去进行有目的的数学变形,常常能使题目很快地获得解答。

例如

1,1832，68=,1832-32,，,68+32,

=1800，100

=1900

2,359.7-9.9=,359.7+0.1,-,9.9+O.1,

=359.8-10

=349.8

第五讲常用巧算速算中的思维与方法,4,方法一,拆数加减

在分数加减法运算中,把一个分数拆成两个分数相减或相加,使隐含的数量关系

明朗化,并抵消其中的一些分数,往往可大大地简化运算。

1,拆成两个分数相减。

例如

又如

2,拆成两个分数相加。

例如

又如

方法二,同分子分数加减

同分子分数的加减法,有以下的计算规律,

分子相同,分母互质的两个分数相加,减,时,它们的结果是用原分母的积作分母,用原分母的和,或差,乘以这相同的分子所得的积作分子。

分子相同,分母不是互质数的两个分数相加减,也可按上述规律计算,只是最后需要注意把得数约简为既约,最简,分数。

例如

注意,分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。

由上面的规律还可以推出,当分子都是1,分母是连续的两个自然数时,这两个分数的差就是这两个分数的积,

根据这一关系,我们也可以简化运算过程。

例如

方法三,先借后还

“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。

例如

做这道题,按先通分后相加的一般办法,势必影响解题速度。

现在从“凑整”着眼,采用“先借后还”的办法,很快就将题目解答出来了。

第六讲常用巧算速算中的思维与方法,5,

方法一,个数折半

下面的几种情况下,可以运用“个数折半”的方法,巧妙地计算出题目的得数。

1,分母相同的所有真分数相加。

求分母相同的所有真分数的和,可采用“个数折半法”,即用这些分数的个数除以2,就能得出结果。

这一方法,也可以叙述为分母相同的所有真分数相加,只要用最后一个分数的分

子除以2,就能得出结果。

2,分母为偶数,分子为奇数的所有同分母的真分数相加,也可用“个数折半法”求得数。

比方

3,分母相同的所有既约真分数,最简真分数,相加,同样可用“个数折半法”求得数。

比方

方法二,带分数减法

带分数减法的巧算,可用下面的两个方法。

1,减数凑整。

例如

2,交换位置。

例如

在这两种方法中,第,1,种“凑整”法,也可以运用到带分数的加法中去。

例如

第七讲常用巧算速算中的思维与方法,6,

方法一,带分数乘法

有些特殊的带分数相乘,可以采用一些特殊的巧算方法。

1,相乘的两个带分数整数部分相同,分数部分的和是1,则乘积也是个带分数,它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数,分数部分是两个因数的分数部分的乘积。

例如

2,相乘的两个带分数整数部分相差1,分数部分和为1,则积也是个带分数,它用较大数的整数部分的平方,减去分数部分的平方,所得的差就是这两个带分数的乘积。

例如

注,这是根据“,a，b,,a-b,=a2-b2”推出来的。

3,相乘的两个带分数,整数部分都是1,分子也都是1,分母相差1,则乘积

也是个带分数。

这个带分数的整数部分是1,分子是2,分母与较大因数的分母相同。

例如

读者自己去试一试,此处略,。

方法二,两分数相除

有些分数相除,可以采用以下的巧算方法,

1,分子、分母分别相除。

在个别情况下,分数除法可沿用整数除法的做法,用分子相除的商作分子,用分母相除的商作分母。

不过,这只有在被除数的分子、分母,分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下,计算才比较简便。

例如

2,分母相除,一次得商。

在两个带分数相除的算式中,当被除数和除数的整数与分母调换了位置,而它们的分子又相同时,根据分数除法法则,只要用原除数的分母除以被除数的分母,所得的数就是它们的商。

例如

注,用除法法则可以推出这种方法,此处略。

第八讲小数的速算与巧算

【知识精要】

凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。

用的时候主要看末位。

但是小数计算中“小数点”一定要对齐。

【例题精讲】

<一>凑整法

例1、计算5.6+2.38+4.4+0.62。

【分析】5.6与4.4刚好凑成10,2.38与0.62刚好凑成3,这样先凑整运算起来会更加简便。

【解答】原式=,5.6+4.4,+,2.38+0.62,

=10+3

=13

【评注】凑整,特别是“凑十”、“凑百”等,是加减法速算的重要方法。

例2、计算,1.999+19.99+199.9+1999。

【分析】因为小数计算起来容易出错。

刚好1999接近整千数2000,其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。

再把多加的那部分减去。

【解答】1.999+19.99+199.9+1999=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111

=2220.889

【评注】所谓的凑整,就是两个或三个数结合相加,刚好凑成整十整百,我们也可以引申为读整法,譬如此题。

“1.999”刚好与“2”相差0.001,因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。

但是,一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。

“多减的”要“加上”，第九讲乘法速算1

一,前数相同的,

1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=（10+B+D）×10+A×B

方法,百位为二,个位相乘,得数为后积,满十前一。

例,13×17

13+7=2--,“-”在不熟练的时候作为助记符,熟练后就可以不使用了,

3×7=21

-----------------------

221

即13×17=221

1.2.十位是1,个位不互补,即A=C=1,B+D?

10,S=（10+B+D）×10+A×B

方法,乘数的个位与被乘数相加,得数为前积,两数的个位相乘,得数为后积,满十前一。

例,15×17

15+7=22-,“-”在不熟练的时候作为助记符,熟练后就可以不使用了,

5×7=35

-----------------------

255

即15×17=255

1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×（A+1）×10+A×B

方法:

十位数加1,得出的和与十位数相乘,得数为前积,个位数相乘,得数为后积

例,56×54

（5+1）×5=30--

6×4=24

----------------------

3024

1.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D?

10,S=A×（A+1）×10+A×B

方法:

先头加一再乘头两,得数为前积,尾乘尾,的数为后积,乘数相加,看比十大几或小几,大几就加几个乘数的头乘十,反之亦然

例,67×64

6+1,×6=42

7×4=28

7+4=11

11-10=1

4228+60=4288

----------------------

4288

方法2,两首位相乘,即求首位的平方,,得数作为前积,两尾数的和与首

位相乘,得数作为中积,满十进一,两尾数相乘,得数作为后积。

例,67×64

6×6=36--

4+7,×6=66-

4×7=28

----------------------

4288

第十讲乘法速算2

二、后数相同的,

2.1.个位是1,十位互补即B=D=1,A+C=10S=10A×10C+101

方法,十位与十位相乘,得数为前积,加上101.。

--8×2=16--

101

-----------------------

1701

2.2.<不是很简便>个位是1,十位不互补即B=D=1,A+C?

10S=10A×

10C+10C+10A+1

方法,十位数乘积,加上十位数之和为前积,个位为1.。

例,71×91

70×90=63--

70+90=16-

1

----------------------

6461

2.3个位是5,十位互补即B=D=5,A+C=10S=10A×10C+25

方法,十位数乘积,加上十位数之和为前积,加上25。

例,35×75

3×7+5=26--

25

----------------------

2625

2.4<不是很简便>个位是5,十位不互补即B=D=5,A+C?

10S=10A×10C+525

方法,两首位相乘,即求首位的平方,,得数作为前积,两十位数的和与个位相乘,得数作为中积,满十进一,两尾数相乘,得数作为后积。

例:

75×95

7×9=63--

7+9,×5=80-

25

----------------------------

7125

2.5.个位相同,十位互补即B=D,A+C=10S=10A×10C+B100+B2

方法,十位与十位相乘加上个位,得数为前积,加上个位平方。

例,86×26

8×2+6=22--

36

-----------------------

2236

2.6.个位相同,十位非互补

方法,十位与十位相乘加上个位,得数为前积,加上个位平方,再看看十位

相加比10大几或小几,大几就加几个个位乘十,小几反之亦然

例,73×43

7×4+3=31

9

7+4=11

3109+30=