秋人教版七年级数学上思维特训及参考答案1315.docx
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秋人教版七年级数学上思维特训及参考答案1315
思维特训(十三) 图形与一元一次方程
方法点津·
利用几何图形的性质,如长方形的长和宽的数量关系、正方形的边长相等或图形的面积等,可建立一元一次方程来解有关几何图形的实际问题.
典题精练·
类型一 以图形为载体的常规问题
1.如图13-S-1所示,甲、乙两人在环形跑道上练习跑步,已知环形跑道一圈长400米,乙每秒跑6米,甲的速度是乙的
倍.
(1)如果甲、乙在跑道上相距8米处同时反向出发,那么经过多少秒两人首次相遇?
(2)如果甲在乙前面8米处,两人同时同向出发,那么经过多少秒两人首次相遇?
图13-S-1
2.小亮做了一个用于放试管的木架子,他在
厘米长的木条上钻了7个孔,每个孔的直径都为a厘米,如图13-S-2所示.
(1)如果两端的空间与任何相邻两孔之间的距离相同,当a=
时,请计算相邻两孔之间的距离是多少厘米.
(2)如果两端的空间都是
厘米,其他相邻两孔之间的距离相同都为
厘米,请计算每个孔的直径为多少厘米.
图13-S-2
类型二 剪拼问题
3.如图13-S-3,悦悦将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm的长方形纸条,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1cm的长方形纸条,如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍.求原正方形纸片的边长.
图13-S-3
4.如图13-S-4是某市民健身广场的平面示意图,它是由6个正方形拼成的长方形,已知中间最小的正方形A的边长是1米.
(1)若设图中最大正方形B的边长是x米,请用含x的式子分别表示出正方形F,E和C的边长;
(2)观察图形的特点可知,长方形相对的两边是相等的(如图中的MN和PQ).请根据这个等量关系,求出x的值;
(3)现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道,由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成.如果两队从同一点开始,沿相反的方向同时施工2天后,因甲队另有任务,余下的工程由乙队单独施工,试问还要多少天完成?
图13-S-4
类型三 与图形面积相关的问题
5.一家住房的地面结构如图13-S-5所示,请根据图中的数据,解答下列问题:
(1)用含x的式子表示地面总面积;
(2)已知客厅面积比卫生间面积多21m2,这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖,已知铺1m2地砖的平均费用为60元,求铺地砖的总费用为多少元.
图13-S-5
6.如图13-S-6所示,用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,其中GH=2cm,GK=2cm,设BF=xcm.
(1)求x的值;
(2)求长方形ABCD的面积.
图13-S-6
类型四 动点问题
7.如图13-S-7,在长方形ABCD中,AB=6,CB=8,点P与点Q分别是AB,CB边上的动点,点P与点Q同时出发,点P以每秒2个单位长度的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位长度的速度从点C向点B运动.当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.(设运动时间为t秒)
(1)如果存在某一时刻恰好使QB=2PB,求出此时t的值;
(2)在
(1)的条件下,求图中阴影部分的面积.
图13-S-7
类型五 图形堆放问题
8.八一体育馆设计一个由相同的正方体搭成的标志物(如图13-S-8所示),每个正方体的棱长为1米,其暴露在外面的面(不包括最底层的面)用五夹板钉制而成,然后刷漆.每张五夹板可做两个面,每平方米用漆500克.
(1)建材商店将一张五夹板按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每张仍获利4.8元(五夹板必须整张购买),每张五夹板的进价为多少元?
(2)油漆店开展“每满100元送20元,多买多送”的酬宾活动,所购油漆的售价为每千克34元.试问购买五夹板和油漆共需多少钱?
图13-S-8
详解详析
1.解:
(1)设经过x秒甲、乙两人首次相遇,
则6×
x+6x=400-8,解得x=28.
答:
经过28秒甲、乙两人首次相遇.
(2)设经过y秒甲、乙两人首次相遇,
则6×
y=6y+400-8,解得y=196.
答:
经过196秒甲、乙两人首次相遇.
2.解:
(1)设相邻两孔之间的距离是x厘米.根据题意,得
-7×
=8x,解得x=1.5.
答:
相邻两孔之间的距离是1.5厘米.
(2)设每个孔的直径为y厘米.
根据题意,可得
-2×
-6×
=7y,
解得y=1.
答:
每个孔的直径为1厘米.
3.解:
设原正方形纸片的边长为xcm.
根据题意,得2(x+3)=2×2(x-3+1),
解得x=7.
答:
原正方形纸片的边长为7cm.
4.解:
(1)若设图中最大正方形B的边长是x米,最小正方形A的边长是1米,
则正方形F的边长为(x-1)米,正方形E的边长为(x-2)米,正方形C的边长为(x-3)米(表示方法不唯一).
(2)因为MN=PQ,正方形D的边长为(x-3)米,
所以x-2+x-3+x-3=x+x-1,解得x=7.
(3)设余下的工程由乙队单独施工,还要y天完成.
根据题意,得(
+
)×2+
y=1,
解得y=10.
答:
余下的工程由乙队单独施工,还要10天完成.
5.解:
(1)地面总面积为9×1.5x+(9-4)×2+(3+2)×4+3x=(16.5x+30)m2.
答:
该住房的地面总面积为(16.5x+30)m2.
(2)由题意,得9×1.5x-3x=21,解得x=2.
所以铺地砖的总费用为[(9-4)×2+3×2]×60=960(元).
答:
铺地砖的总费用为960元.
6.解:
(1)CM=(x+2)cm,DM=MK=2(x+2)-2=(2x+2)cm.
AD=AE+DE=2x+2+2+2x+2=(4x+6)cm,
BC=x+x+x+x+2+x+2=(5x+4)cm,
因为AD=BC,所以4x+6=5x+4,解得x=2.
(2)AB=2x+2+2+x=10(cm),
BC=5x+4=14(cm).
所以长方形ABCD的面积为10×14=140(cm2).
7.解:
(1)由题意可知AP=2t,CQ=t,
所以PB=AB-AP=6-2t,QB=CB-CQ=8-t.
当QB=2PB时,有8-t=2(6-2t),解得t=
.
故当t=
时,QB=2PB.
(2)当t=
时,PB=6-2t=
,
QB=8-t=
,
所以S△QPB=
PB·QB=
×
×
=
.
因为S长方形ABCD=AB·CB=6×8=48,
所以S阴影=S长方形ABCD-S△QPB=
.
8.解:
(1)设每张五夹板的进价为x元.
根据题意,得(1+40%)×
x-x=4.8,
解得x=40.
答:
每张五夹板的进价为40元.
(2)因为每张五夹板的进价为40元,
所以每张五夹板的现价为40+4.8=44.8(元).
几何体暴露在外面的面有75个,需购买五夹板
=37.5≈38(张),即购买五夹板需付费44.8×38=1702.4(元).
几何体需要刷漆的面积为75×1×1=75(米2),
所以用漆总量为75×0.5=37.5(千克),
所以购买油漆应付费34×37.5=1275(元),
购买油漆实际付费1275-1200×
=1035(元),
因此购买五夹板和油漆共需费用为1702.4+1035=2737.4(元).
答:
购买五夹板和油漆共需2737.4元.
思维特训(十四) 月历中的一元一次方程
方法点津·
月历中日期的规律:
1.三个相邻日期
2.三个相邻日期
注:
横排三个相邻日期的和为3x,竖排三个相邻日期的和为3x,x为正整数,且满足具体情况.
典题精练·
类型一 月历与一元一次方程
1.如图14-S-1是2018年9月份的月历.
图14-S-1
(1)图中,带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么倍数关系?
(2)将带阴影的方块移动,任意框出9个数(每个格子都有数),
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由.
(3)在带阴影的方框的移动过程中,9个数的和可以是135吗?
若可以,求出方框正中心的数;若不可以,请说明理由.
2.在如图14-S-2所示的2018年6月份的月历表中,用一个3×2的长方形框围住相邻三列两行中的6个数,设其中第一行中间的数为x.
(1)用含x的式子表示长方形框中6个数的和为________;
(2)如果长方形框中的6个数的和是153,那么这6个数分别是什么?
(3)长方形框中的6个数的和能是117吗?
请说明理由.
图14-S-2
类型二 由月历推广的实际问题
3.将连续的正整数1,2,3,4,…排列成如图14-S-3所示的数表,用3×3的方框框出9个数.
(1)图中方框框出的9个数的和与方框正中间的数10有什么关系?
(2)将方框上下左右平移,但一定要框住数表中的9个数.若设正中间的数为a,用含a的式子表示方框框住的9个数,并计算这9个数的和.
(3)方框中框出的9个数之和能否等于270?
若能,请求出这9个数;若不能,请说明理由.
图14-S-3
4.把2008个正整数1,2,3,4,…,2008按图14-S-4所示的方式排列成一个数表.
(1)如图,用一正方形框在表中任意框住4个数,记左上角的一个数为x,则这4个数的和是________.(用含x的式子表示)
(2)当
(1)中被框住的4个数之和等于216时,x的值为多少?
(3)能否框住这样的4个数,使它们的和等于296?
若能,请求出x的值;若不能,请说明理由.
(4)从左到右,第1列至第7列各列的所有数之和分别记为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,则这7个数中,最大数与最小数之差等于________.
图14-S-4
5.将连续的奇数1,3,5,7,9,…排成如图14-S-5所示的数表.
(1)十字框中的五个数的和与15有什么关系?
(2)若将十字框上下左右平移,可框住另外的五个数,这五个数的和能等于2018吗?
若能,请求出这五个数;若不能,请说明理由.
图14-S-5
6.如图14-S-6所示的数阵由77个偶数排成.
图14-S-6
(1)图中平行四边形框内的4个数有什么关系?
(2)在数阵图中任意作一类似
(1)中的平行四边形框,设左上角的一个数为x,那么其他3个数怎样表示?
(3)小红说被框住的4个数的和是415,你能求出这4个数吗?
(4)小明说4个数的和是420,存在这样的4个数吗?
若存在,请求出这4个数;若不存在,请说明理由.
详解详析
1.解:
(1)因为(4+5+6+11+12+13+18+19+20)÷12=9,
所以方框中的9个数的和是方框正中心的数的9倍.
(2)成立.理由如下:
设最中间的数为x,则9个数如下表所示:
这9个数的和为(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x,所以方框中的9个数的和是方框正中心的数的9倍.
(3)不可以.理由如下:
设最中间的数为y,则9y=135,
解得y=15.
因为图中不存在以数字15为最中间的数的方框,所以9个数的和不可以是135.
2.解:
(1)设其中第一行中间的数为x,则第一行的三个数分别为x-1,x,x+1;第二行的三个数分别为x+6,x+7,x+8,
所以6个数之和为(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=6x+21.
(2)结合
(1)的结论可知:
6x+21=153,解得x=22.
故第一行的数为21,22,23,第二行的数为28,29,30.
(3)不能.理由:
假设能,则6x+21=117,
解得x=16.
结合图形可知17与16不在同一行,
故长方形框中6个数的和不能是117.
3.解:
(1)3+4+5+9+10+11+15+16+17=90,90=10×9,
则方框框出的9个数的和是方框正中间的数10的9倍.
(2)中间的数为a,则9个数如下表:
a-7
a-6
a-5
a-1
a
a+1
a+5
a+6
a+7
9个数之和为(a-7)+(a-1)+(a+5)+(a-6)+a+(a+6)+(a-5)+(a+1)+(a+7)=9a.
(3)不能.理由如下:
因为9个数的和为270,所以中间的数为30.
因为30在第5行、第6列,位于数表的右侧,
所以方框框出的9个数之和不能等于270.
4.解:
(1)已知左上角的一个数为x,则另3个数分别为x+1,x+7,x+8,则这4个数的和为4x+16.
(2)当4个数之和等于216时,则4x+16=216,解得x=50.
(3)不能.理由:
当4个数之和等于296时,
则4x+16=296,解得x=70,但左上角的x不能为7的倍数,故4个数之和不能为296.
(4)因为数2008在第287行第6列,所以可知a6最大,a7最小,a6-a7=2008-(
)×1=1722.
5.解:
(1)(5+13+15+17+25)÷15=75÷15=5.
答:
十字框中的五个数的和是15的5倍.
(2)不能.理由:
设十字框内中间的数为x,则另4个数分别为x-10,x-2,x+2,x+10,
则(x-10)+(x-2)+x+(x+2)+(x+10)=2018,5x=2018,解得x=403
.
因为x=403
不是整数,所以五个数的和不能等于2018.
6.解:
(1)略
(2)设左上角的一个数是x,
则其他三个数分别为x+2,x+16,x+18.
(3)由
(2)得x+x+2+x+16+x+18=415,
解得x=94.75,
故这4个数的和不可能为415,求不出这4个数.
(4)不存在.理由:
由题意,得x+x+2+x+16+x+18=420,
解得x=96,则这四个数分别为96,98,112,114.
但是它们不在同一平行四边形框内,所以不存在这样的4个数.
思维特训(十五) 以数轴为载体的方程问题
方法点津·
1.如图15-S-1,数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,则A,B两点之间的距离可以表示为AB=|a-b|,或用右边的数减去左边的数为AB=b-a.
图15-S-1
2.通常利用数轴上距离(路程)之间的数量关系,列出一元一次方程,解决相遇与追及问题.相遇问题的基本相等关系是“两点初始距离等于两点所走的路程和”;追及问题的基本相等关系是“两点的路程差等于两点的初始距离”.
典题精练·
类型一 相遇问题
1.如图15-S-2,已知数轴上有A,B,C三点,分别表示有理数-26,-10,10,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设点P移动的时间为t秒.
(1)用含t的式子表示点P对应的数:
________;用含t的式子表示点P和点C的距离:
PC=________.
(2)当点P运动到点B时,点Q从点A出发,以每秒3个单位的速度向点C运动,点Q到达点C后,再立即以同样的速度返回点A,探究点P,Q同时运动的过程中能否相遇,若相遇,请求出相遇时t的值.
图15-S-2
2.已知数轴上有A,B,C三点,分别表示-12,-5,5,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A,C两点同时出发,甲的速度是每秒2个单位,乙的速度是每秒3个单位.
(1)若甲、乙相向而行,则甲、乙在数轴上的哪个点相遇?
(2)若甲、乙相向而行,则多少秒后甲到A,B,C三点的距离之和为20个单位?
(3)在
(2)的条件下,当甲到A,B,C三点的距离之和为20个单位时,甲调头返回,则甲、乙还能在数轴上相遇吗?
若能,求出相遇点;若不能,请说明理由.
3.甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶,为了确定汽车的位置,我们用数轴表示这条公路,并规定向右为正方向,原点O为0km路标,并作如下约定:
位置为正,表示汽车位于0km右侧;位置为负,表示汽车位于0km左侧,位置为0,表示汽车位于0km处.
(1)根据题意,填写下列表格:
时间(h)
0
3
5
x
甲车位置(km)
150
-30
乙车位置(km)
70
150
(2)甲、乙两车能否相遇?
如能相遇,求出相遇时间及相遇时的位置;如不能相遇,请说明理由.
(3)甲、乙两车能否相距120km?
若能,求出两车相距120km时的时间;若不能,请说明理由.
4.数学问题:
如图15-S-3,在数轴上点A表示的数为-20,点B表示的数为40,动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动,动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动,动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动,到达原点后立即按原速返回,三点同时出发,当点N回到点B时,三点停止运动.
图15-S-3
(1)三个动点运动t(0<t<5)秒时,P,Q,N三点在数轴上所表示的数分别为________,________,________.
(2)当QN=10个单位时,求此时点P在数轴上所表示的数.
(3)尝试借助上面数学问题的解题经验,建立数轴完成下面的实际问题:
码头C位于A,B两码头之间,且知AC=20海里,AB=60海里,甲船从A码头顺流驶向B码头,乙船从C码头顺流驶向B码头,丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头.已知甲船在静水中的航速为5海里/时,乙船在静水中的航速为4海里/时,丙船在静水中的航速为8海里/时,水流速度为2海里/时,三船同时出发,每艘船都行驶到B码头停止.
在整个运动过程中,是否存在某一时刻,这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间,且与两船的距离相等?
若存在,请求出此时甲船离B码头的距离;若不存在,请说明理由.
类型二 追及问题
5.动点A从原点出发向数轴负方向运动,同时,动点B也从原点出发向数轴正方向运动,3秒后,两点相距15个单位.已知动点A,B的速度比是1∶4.(速度单位:
单位/秒)
(1)求出两个动点运动的速度,并在如图15-S-4所示的数轴上标出A,B两点从原点出发运动3秒时的位置;
(2)若A,B两点从
(1)中的位置同时向数轴负方向运动,则几秒后原点恰好处在两个动点正中间?
(3)在
(2)中A,B两点继续同时向数轴负方向运动时,另一动点C同时从B点位置出发向A点运动,当遇到A后,立即返回向B点运动,遇到B点后立即返回向A点运动,如此往返,直到B追上A时,点C立即停止运动.若点C一直以20单位/秒的速度匀速运动,则点C从开始到停止运动,运动的路程是多少单位?
图15-S-4
详解详析
1.解:
(1)-26+t 36-t
(2)①点Q返回前相遇:
3(t-16)=t,
解得t=24;
②点Q返回后相遇:
3(t-16)+t=36×2.
解得t=30.
综上所述,点P,Q同时运动的过程中能相遇,相遇时t的值是24或30.
2.解:
(1)设甲、乙行驶x秒时相遇.
根据题意,得2x+3x=17,解得x=3.4,2×3.4=6.8,
-12+6.8=-5.2.
答:
甲、乙在数轴上表示-5.2的点处相遇.
(2)设y秒后甲到A,B,C三点的距离之和为20个单位,
点B距A,C两点的距离之和为7+10=17<20,点A距B,C两点的距离之和为7+17=24>20,点C距A,B两点的距离之和为17+10=27>20,故甲应位于A,B或B,C之间.
①当甲位于A,B之间时,得2y+(7-2y)+(7-2y+10)=20,解得y=2;
②当甲位于B,C之间时,得2y+(2y-7)+(17-2y)=20,解得y=5.
答:
若甲、乙相向而行,2秒或5秒后甲到A,B,C三点的距离之和为20个单位.
(3)能.①甲从点A向右运动2秒时返回,设a秒后与乙相遇.此时甲、乙在数轴上对应同一点,所表示的数相同.
甲表示的数为-12+2×2-2a;乙表示的数为5-3×2-3a,
依据题意,得-12+2×2-2a=5-3×2-3a,
解得a=7,
相遇点表示的数为-12+2×2-2a=-22;
②甲从点A向右运动5秒时返回,设b秒后与乙相遇.
此时甲表示的数为-12+2×5-2b;乙表示的数为5-3×5-3b,
依据题意,得-12+2×5-2b=5-3×5-3b,
解得b=-8(不合题意,舍去).
即甲从点A向右运动2秒时返回,能在数轴上与乙相遇,相遇点表示的数为-22.
3.解:
(1)填表如下:
时间(h)
0
3
5
x
甲车位置(km)
150
-30
-150
150-60x
乙车位置(km)
-50
70
150
-50+40x
(2)能相遇.由题意,得150-60x=-50+40x,
解得x=2,150-60×2=30.
答:
相遇时间为2h,且位于0km路标右侧30km处.
(3)能.①150-60x+120=-50+40x,解得x=3.2;
②150-60x-120=-50+40x,解得x=0.8.
答:
两车相距120km时的时间为0.8h或3.2h.
4.解:
(1)-20+5t 4t 40-8t
(2)点Q,N相遇的时间为
秒,点Q到点B的时间为10秒,点N到点O的时间为5秒,点N从出发到返回到点B的时间为10秒.
点N到点O前,点P所表示的数为-20+5t;点Q所表示的数为4t;点N所表示的数为40-8t.
①点Q,N相遇前,如图(a):
40-8t-4t=10,解得t=2.5,
此时点P所表示的数为-20+5×2.5=-7.5;
②点Q,N相遇后,点N到达点O前,如图(b),4t-(40-8t)=10,解得t=
,
此时点P所表示的数为-20+5×
=
;
③点Q,N相遇后,点N到达点O后,如图(c),
点P所表示的数为-20+5t;点Q所表示的数为4t;点N所表示的数为8(t-5),
4t-8(t-5)=10,解得t=7.5,
此时点P所表示的数为-20+5×7.5=17.5.
(3)存在.由数学问题的解题经验可建立如图(d)所示的数轴,点A所表示的数为-20,点C所表示的数为0,点B所表示的数为40.甲从点A出发以每秒7个单位的速度向点B运动,乙从点C出发以每秒6个单位的速度向点B运动,丙从点B出发以每秒6个单位的速度向点C运动,到达点C后立即以每秒10个单位速度返回,甲、乙、丙同时出发,当甲、乙、丙都运动到点B时,运动停止.甲到C的时间为
秒,甲到B的时间为
秒,乙到B的时间为
秒,丙到C的时间为
秒,丙从出发到返回到B的时间为
秒,甲遇丙的时间为
秒,乙遇丙的时间为
秒,甲追上乙的时间为20秒(舍),丙追上甲的时间为
秒(舍).丙到达C前,甲所表示的数为-20+7t;乙所表示的数为6t;丙所表示的数为40-6t.
①乙、丙相遇前:
6t-(-20+7t)=40-6t-6t,解得t=
,所以甲船离B码头的距离为40-(-20+7×
)=
(海里);
②甲、丙相遇前:
40-6t-(-20+7t)=6t-(40-6t),解得t=4,所以甲船离B码头的距离为40-(-20+7×4)=32(海里);
③甲、丙相遇后,丙到达C前:
6t-(-20+7t)=-20+7t-(40-6t),解得t=
,所以甲船离B码头的距离为40-(-20+7×
)=20(海里);
④甲、丙相遇后,丙到达C后:
甲所表示的数为-20+7t;乙所表示的数为6t;丙所表示的数为1
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