4角平分线 省优 一等奖教案.docx
- 文档编号:28797633
- 上传时间:2023-07-19
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:137.85KB
4角平分线 省优 一等奖教案.docx
《4角平分线 省优 一等奖教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《4角平分线 省优 一等奖教案.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
4角平分线省优一等奖教案
1.4 角平分线
第1课时 角平分线
1.复习角平分线的相关知识,探究归纳角平分线的性质和判定定理;(重点)
2.能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题.(难点)
一、情境导入
问题:
在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两条路,一条到公路,一条到铁路.
问题1:
怎样修建道路最短?
问题2:
往哪条路走更近呢?
二、合作探究
探究点一:
角平分线的性质定理
【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:
(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
解析:
(1)根据角平分线的性质,可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离,即CD=DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD,得CF=EB;
(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC=AE,然后通过线段之间的相互转化进行证明.
证明:
(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中,∵
∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL).∴CF=EB;
(2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴CD=DE.在△ADC与△ADE中,∵
∴△ADC≌△ADE(HL),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
方法总结:
角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等.
【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( )
A.6B.5C.4D.3
解析:
过点D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE=2,∴S△ABC=
×4×2+
×AC×2=7,解得AC=3.故选D.
方法总结:
利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.
【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用
如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:
CE=CF.
解析:
由角平分线上的性质可得DE=DF,再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.
证明:
∵CD是∠ACG的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中,∵
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),∴CE=CF.
方法总结:
全等三角形的判定离不开边,而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据,可作为判定三角形全等的条件.
探究点二:
角平分线的判定定理
【类型一】角平分线的判定
如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:
AD是∠BAC的平分线.
解析:
先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等,得出DE=DF,再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线.
证明:
∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDF是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是∠BAC的平分线.
方法总结:
证明一条射线是角平分线的方法有两种:
一是利用三角形全等证明两角相等;二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
【类型二】角平分线的性质和判定的综合
如图所示,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F.下面给出四个结论,①AD平分∠EDF;②AE=AF;③AD上的点到B、C两点的距离相等;④到AE、AF距离相等的点,到DE、DF的距离也相等.其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
由AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC可得DE=DF,由此易得△ADE≌△ADF,故∠ADE=∠ADF,即①AD平分∠EDF正确;②AE=AF正确;中垂线上的点到两端点的距离相等,故③正确;∵④到AE、AF距离相等的点,在∠BAC的角平分线AD上,到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上,两者同一条直线上,所以到DE、DF的距离也相等正确,故④正确;①②③④都正确.故选D.
方法总结:
运用角平分线的性质或判定时,可以省去证明三角形全等的过程,可以直接得到线段或角相等.
【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题
如图,△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证:
AD是∠BAC的平分线.
解析:
分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC,垂足分别为E、F、G,然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE=DG,再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明.
证明:
分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC,垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,∴DE=DF.同理DG=DF,∴DE=DG,∴点D在∠BAC的平分线上,∴AD是∠BAC的平分线.
方法总结:
在遇到角平分线的问题时,往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段,利用角平分线的判定或性质解决问题.
【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用
如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段;
(2)OE,OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段,试说明它们的大小有什么关系.
解析:
(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段;
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD,可得AO平分∠DAC,根据角平分线的性质可得OE=OF.
解:
(1)∵AB、CD互相垂直平分,∴OC=OD,AO=OB,且AC=BC=AD=BD;
(2)OE=OF,理由如下:
在△AOC和△AOD中,∵
∴△AOC≌△AOD(SSS),∴∠CAO=∠DAO.又∵OE⊥AC,OF⊥AD,∴OE=OF.
方法总结:
本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合,掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键.
三、板书设计
1.角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角平分线的判定定理
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识
1.理解并掌握平移的定义及性质;(重点)
2.能够根据平移的性质进行简单的平移作图.
一、情境导入
观察下列图片,你能发现图中描绘的运动的共同点吗?
二、合作探究
探究点一:
平移的定义
下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
根据平移不改变图形的形状和大小,将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C,故选C.
方法总结:
本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.
探究点二:
平移的性质
【类型一】利用平移的性质进行计算
如图,将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=3
,△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2,则BB1等于( )
A.1B.
C.
D.2
解析:
设B1C=2x,根据等腰直角三角形和平移的性质可知,重叠部分为等腰直角三角形,则B1C边上的高为x,∴
×x×2x=2,解得x=2(舍去负值),∴B1C=2
,∴BB1=BC-B1C=
.故选B.
方法总结:
本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质.关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程,求重叠部分的长.
【类型二】平移性质的综合应用
如图,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离,就得到此图形,下列结论正确的有( )
①AC∥DF;②HE=5;③CF=5;④阴影部分面积为
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等,对应角相等,对应线段平行且相等,阴影部分和三角形面积之间的关系,结合图形与所给的结论即可得出答案.①对应线段平行可得AC∥DF,正确;②对应线段相等可得AB=DE=8,则HE=DE-DH=8-3=5,正确;③平移的距离CF=BE=5,正确;④S四边形HDFC=S梯形ABEH=
(AB+EH)·BE=
×(8+5)×5=
,错误.故选C.
方法总结:
本题考查平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.本题关键要找到平移的对应点.
探究点三:
简单的平移作图
将如图方格中的图形向右平移4格,再向上平移2格,在方格中画出平移后的图形.
解析:
按照题目要求:
向右平移4格,再向上平移2格,先作各个关键点的对应点,再连接即可.
解:
方法总结:
作平移图形时,找关键点的对应点是关键的一步.平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
三、板书设计
1.平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
3.简单的平移作图
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,学生经历将实际问题抽象成图形问题,培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力,使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.
第2课时 一元一次不等式的应用
1.会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解;
2.能够列一元一次不等式解决实际问题.(重点,难点)
一、情境导入
如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品,应该去哪家商店更优惠?
二、合作探究
探究点:
一元一次不等式的应用
【类型一】商品销售问题
某商品的进价是120元,标价为180元,但销量较小.为了促销,商场决定打折销售,为了保证利润率不低于20%,那么最多可以打几折出售此商品?
解析:
由题意可知,利润率为20%时,获得的利润为120×20%=24元;若打x折该商品获得的利润=该商品的标价×
-进价,即该商品获得的利润=180×
-120,列出不等式,解得x的值即可.
解:
设可以打x折出售此商品,由题意得:
180×
-120≥120×20%,
解得x≥8.
答:
最多可以打8折出售此商品.
方法总结:
商品销售问题的基本关系是:
售价-进价=利润.读懂题意列出不等式求解是解题关键.
【类型二】竞赛积分问题
某次知识竞赛共有25道题,答对一道得4分,答错或不答都扣2分.小明得分要超过80分,他至少要答对多少道题?
解析:
设小明答对x道题,则答错或不答的题目为(25-x)道,根据得分要超过80分,列出不等关系求解即可.
解:
设小明答对x道题,则他答错或不答的题目为(25-x)道.根据他的得分要超过80分,得:
4x-2(25-x)>80,
解得x>21
.
因为x应是整数而且不能超过25,所以小明至少要答对22道题.
答:
小明至少要答对22道题.
方法总结:
竞赛积分问题的基本关系是:
得分-扣分=最后得分.本题涉及到不等式的整数解,取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等.
【类型三】安全问题
采石场爆破时,点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域.导火线燃烧速度是每秒1厘米,工人转移的速度是每秒5米,导火线至少要多少米?
解析:
根据时间列不等式,导火线燃烧时间>工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间.
解:
设导火线的长度需要x米,1厘米/秒=0.01米/秒,由题意得
>
,解得x>0.8.
答:
导火线至少要0.8米.
【类型四】分段计费问题
小明家每月水费都不少于15元,自来水公司的收费标准如下:
若每户每月用水不超过5立方米,则每立方米收费1.8元;若每户每月用水超过5立方米,则超出部分每立方米收费2元,小明家每月用水量至少是多少?
解析:
当每月用水5立方米时,花费5×1.8=9元,则可知小明家每月用水超过5立方米.设每月用水x立方米,则超出(x-5)立方米,根据题意超出部分每立方米收费2元,列一元一次不等式求解即可.
解:
设小明家每月用水x立方米.
∵5×1.8=9<15,
∴小明家每月用水超过5立方米.
则超出(x-5)立方米,按每立方米2元收费,
列出不等式为5×1.8+(x-5)×2≥15,
解不等式得x≥8.
答:
小明家每月用水量至少是8立方米.
方法总结:
分段计费问题中的费用一般包括两个部分:
基本部分的费用和超出部分的费用.根据费用之间的关系建立不等式求解即可.
【类型五】调配问题
有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排多少人种甲种蔬菜?
解析:
设安排x人种甲种蔬菜,则种乙种蔬菜为(10-x)人.甲种蔬菜有3x亩,乙种蔬菜有2(10-x)亩.再列出不等式求解即可.
解:
设安排x人种甲种蔬菜,则种乙种蔬菜为(10-x)人.
根据题意得0.5×3x+0.8×2(10-x)≥15.6,
解得x≤4.
答:
最多只能安排4人种甲种蔬菜.
方法总结:
调配问题中,各项工作的人数之和等于总人数.
【类型六】方案决策问题
为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表.经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
1
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案.
解析:
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型为(10-x)台,列出不等式求解即可,x的值取整数;
(2)如图表列出不等式求解,再根据x的值选出最佳方案.
解:
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型为(10-x)台.
12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5,∵x取非负整数,∴x可取0,1,2,
有三种购买方案:
购A型0台,B型10台;A型1台,B型9台;A型2台,B型8台;
(2)240x+200(10-x)≥2040,解得x≥1,
∴x为1或2.
当x=1时,购买资金为12×1+10×9=102(万元);
当x=2时,购买资金为12×2+10×8=104(万元).
答:
为了节约资金,应选购A型1台,B型9台.
方法总结:
此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来,属于最优化问题,在确定最优方案时,应把几种情况进行比较.
三、板书设计
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:
―→
―→
本节课通过实例引入,激发学生的学习兴趣,让学生积极参与,讲练结合,引导学生找不等关系列不等式.在教学过程中,可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习,让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识
1.理解并掌握平移的定义及性质;(重点)
2.能够根据平移的性质进行简单的平移作图.
一、情境导入
观察下列图片,你能发现图中描绘的运动的共同点吗?
二、合作探究
探究点一:
平移的定义
下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
根据平移不改变图形的形状和大小,将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C,故选C.
方法总结:
本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.
探究点二:
平移的性质
【类型一】利用平移的性质进行计算
如图,将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=3
,△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2,则BB1等于( )
A.1B.
C.
D.2
解析:
设B1C=2x,根据等腰直角三角形和平移的性质可知,重叠部分为等腰直角三角形,则B1C边上的高为x,∴
×x×2x=2,解得x=2(舍去负值),∴B1C=2
,∴BB1=BC-B1C=
.故选B.
方法总结:
本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质.关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程,求重叠部分的长.
【类型二】平移性质的综合应用
如图,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离,就得到此图形,下列结论正确的有( )
①AC∥DF;②HE=5;③CF=5;④阴影部分面积为
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等,对应角相等,对应线段平行且相等,阴影部分和三角形面积之间的关系,结合图形与所给的结论即可得出答案.①对应线段平行可得AC∥DF,正确;②对应线段相等可得AB=DE=8,则HE=DE-DH=8-3=5,正确;③平移的距离CF=BE=5,正确;④S四边形HDFC=S梯形ABEH=
(AB+EH)·BE=
×(8+5)×5=
,错误.故选C.
方法总结:
本题考查平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.本题关键要找到平移的对应点.
探究点三:
简单的平移作图
将如图方格中的图形向右平移4格,再向上平移2格,在方格中画出平移后的图形.
解析:
按照题目要求:
向右平移4格,再向上平移2格,先作各个关键点的对应点,再连接即可.
解:
方法总结:
作平移图形时,找关键点的对应点是关键的一步.平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
三、板书设计
1.平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
3.简单的平移作图
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,学生经历将实际问题抽象成图形问题,培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力,使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 角平分线 省优 一等奖教案 平分线 一等奖 教案