第十一章图形的证明一全章节教案表格式.docx
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第十一章图形的证明一全章节教案表格式
课题
课型
新授
课时
1
执教
周永红
总课时
11.1你的判断对吗?
教学目标
1.经历一些观察、操作活动,并对获得的数学猜想进行试验验证,体验直观判断有时不一定正确,从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明.
2.在交流中,感受数学思考的合理性和严密性.
3.渗透辨证唯物注意思想。
教学重点
体会证明的必要性
教学难点
如何通过计算与推理来说明结论的正确性
教学方法
探索、合作、交流
教学内容
教师导学过程
学生活动过程
创设情境,
导入新课
观察、思考和实验是人类发明、创造的发端,我们曾通过观察、操作、实验等探索活动,发现了许多正确的结论。
所有探索活动获得的结论都正确吗?
1、如图,从一只透明的空玻璃杯的侧面能看到杯子下面放了一枚硬币.
⑴如果向杯中注水,猜一猜这时从杯子的侧面还能看到这枚硬币吗?
⑵试一试,你看到了硬币吗?
2、装有半杯水的透明玻璃杯中,插入一根笔直的筷子,这时我们会看到什么结论呢?
答:
进入水里的部分被弯折了并且变大了.
小结:
生活中有时会产生错觉,数学中有时也有类似的现象。
了解观察、思考和实验是人类发明、创造的发端,我们曾通过观察、操作、实验等探索活动,发现了许多正确的结论。
学生观察,操作、实验发现观察、操作、实验等探索活动并不是总可靠的,有时甚至是错误的。
新课教学
数学活动
活动一:
1、如图,两条线段AB与CD那一条长一些?
先猜一猜,再量一量.
2、如图,两个大小相同的大圆,其中一个大圆内有10个小圆,另一个大圆内有2个小圆,你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些?
请你猜一猜,并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.
活动二:
1、如图是一张8㎝×8㎝的正方形纸片,把它剪成4块,按图⑵所示重新拼合.这4块纸片恰好能拼成一个长为13,宽为5的长方形吗?
试试看,并与全班同学交流。
2、一位老农有一块地,形状是平行四边形,地里有一口水井,他将水井与地的4角分别相连,把地分成4块,然后对他的儿子说:
“地分给你们了,每人各取相对的两块;水井不分,两家共用。
”精明的弟弟要求先选,在看到土地后果断地选择了①③两地,同学们,老实的哥哥吃亏了吗?
.
学生先行猜想,再师生共同计算验证,形成很大的反差,学生越发感觉观察、操作、实验等探索活动有时是不可靠的,为体会证明的必要性,埋下伏笔。
学生先进行猜想然后再操作,由于误差,可能还有的学生认为可以的,请学生计算两个图形的面积是不是一样,为什么?
有没有别的方法来说明是不能拼成的。
学生仍然进行猜想,然后再进行探索,从理论上说明两部分面积是相等的。
课堂小结
通过刚才的实验、观察、操作活动,我们感受到……
实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段,但仅凭实验、观察、操作是不够的,所以正确地认识事物,不能单凭直觉,还要学会说理!
各抒己见
作业
假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大(把地球看成球形)?
能放进一粒草莓吗?
能放进一个拳头吗
课题
课型
新授
课时
2
执教
周永红
总课时
11.2说理
(1)
教学目标
1.经历探索一些问题时,由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”,但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程,初步感受说理的必要性.
2.尝试用说理的方法解决问题,体验说理必须步步有据,培养学生严密分析问题的能力.
3.通过实验、操作、探索,培养学生辨证分析问题的能力和逆向思维的能力;懂得任何事物都是正反两方面的对立统一体
教学重点
通过一些问题,可以确定一个数学结论的正确性的过程,初步感受说理的必要性.
教学难点
说理必须步步有据,分析问题的能力和逆向思维的能力
教学方法
探索、合作、交流
教学内容
教师导学过程
学生活动过程
创设情境,
导入新课
把长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图11-6
(2)处处1m宽的“曲径”.
问题1两条小道占用草坪的面积相同吗?
说说你的理由.
问题2你认为应该如何计算小道占草坪的面积?
操作1用一张透明纸覆盖在图11-6
(2)上,描出小道左边草坪的边框.
操作2把透明纸向右平移,使左、右两边的草坪拼合.你发现了什么?
问题3进一步思考,判断一个问题的正确性,必须靠什么?
结论:
“说理”是确定一个数学结论正确性的有力工具
学生观察,操作、实验发现观察、操作、实验等探索活动并不是总可靠的,有时甚至是错误的。
学生可能猜想曲的大于直的,但学生经过操作进而进行计算可以发现两者相等,感受:
“说理”是确定一个数学结论正确性的有力工具
新课教学
数学活动
活动一:
七年级某班的学生通过多次计算代数式
的值,得到了以下的一些结论:
问题1当x=-5、
、0、2、3时,计算代数式的值,与同学交流.
问题2换几个数再试试,你发现了什么?
你能说明理由吗?
问题3你认为以下结论正确吗?
你能说明理由吗?
(1)无论x取什么数,代数式的值总是偶数;
(2)无论x取什么数,代数式的值总是正数;
(3)无论x取什么数,代数式的值总是负数;
(4)无论x取什么数,代数式的值大于1.
活动二
画∠AOB=90°,并画∠AOB的平分线OC,
(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上,使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F,并比较PE、PF的长度.
(2)把三角尺绕点P旋转,比较PE、PF的长度,你能得到什么结论?
你的结论一定成立吗?
与同学交流.
引导:
如何说明两条线段相等,可通过构造全等三角形的方法来解决。
学生初步感受利用反例可以说明一个命题是错误的,要让学生学会这一点.
学生在各自通过一些计算代数式的值后,既有强力的确认结论真、假性的欲望,又有不可能无穷地计算代数式的值的无奈.营造这样的教学氛围,以利于引导学生借助已有的知识和方法来说理,从而再一次感受“说理”的必要性以及“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具.
通过观察、度量、猜想所得到的结论有时不一定可靠的体验,以及初步感受到“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具,因此学生对探索到的结论就有如何“说理”的需求,虽然学生暂时不能解决,但这个悬念促使学生向往、追求着“说理”.
课堂小结
通过本节课的学习,你能否感受到说理是确定一个结论正确性的有力工具了吗?
你会说理吗?
如果是正确的结论,我们可以利用已学习过的知识来正面说明,如果是一个错误的结论,可通过举反例来推翻它!
各抒己见
作业
省补充习题部分题。
书后练习3
课题
课型
新授
课时
3
执教
周永红
总课时
11.2说理
(2)
教学目标
1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的条件和结论.
2.在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力.
教学重点
命题的组成,能说出一个命题的条件和结论.
教学难点
命题的组成、真假命题的判断
教学方法
探索、合作、交流
教学内容
教师导学过程
学生活动过程
创设情境,
导入新课
【笑话】一对父子的对话:
爸爸,什么叫法律?
法律就是法国的律师
那么什么是法盲?
法盲就是法国的盲人
例举生活中类似的例子。
小结:
日常生活中,人们为了交流思想,常常用到一些名称和术语,经常要判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等.只有对这些名称和术语有了共识,才可以正常交流.在数学中要进行说理,必须对涉及的概念有共识,也就是需要对概念下定义.
通过读笑话,从生活中了解定义概念,更为直观。
明白为什么要给一件事物下定义。
新课教学
1.对名称和术语的含义进行描述、做出规定,就是给出它们的定义
如:
商店以比原来标价低的价格出售商品叫做打折;在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
“符号不同、绝对值相等的两个数”是“相反数”的定义;
“能够完全重合的图形”是“全等形”的定义
2.如何给概念下定义?
定义的规则:
(1)应相等,即定义概念和定义概念的外延相等;
(2)不应循环;(3)一般不应是否定判断;(4)应清楚确切.
3.问题:
(1)“等角的余角相等”与“等角的余角相等吗?
”这两句话一样吗?
如果不一样,它们有什么不同?
(2)“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“经过一点画已知直线的垂直”有什么不同?
(3)“四边形不是多边形”与“四边形不一定是多边形”有什么不同?
给出命题的定义,并能判定一个句子是不是命题.
4.举出一些命题的例子.
5.观察下列命题,你能发现它们有什么特征吗?
命题
(1)如果a>0,b<0,那么|a|=|b|;
命题
(2)如果两个三角形的三条边相等,那么这两个三角形全等;
命题(3)如果一个三角形有2个角相等,那么这2个角所对的边也相等.
6.总结:
命题都是有条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
例:
指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式:
7.真命题与假命题:
一个命题,如果条件成立时,那么结论也成立,这样的命题叫真命题;
一个命题,如果条件成立时,不能保证结论总是正确的,即结论不成立,这样的命题叫假命题.
判断以上几个命题的真假.
例题:
下列命题的条件是什么?
结论是什么?
并指出真假命题.
(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等;
(2)如果一个四边形的对角线相等,那么这个四边形是矩形;(3)两条直线相交,只有一个交点;(4)相等的角是对顶角;(5)直角三角形的两个锐角互余;
(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.
学生通过实例,初步了解什么是定义。
并尝试着下定义。
了解定义的规则。
通过实例,了解什么是命题,如何区分命题
通过例题知道命题是由两部分组成的。
尝试如何把一个命题改成如果,那么的形式。
了解真命题与假命题的概念,并尝试着判断。
学生尝试解题,师生共同评价,深入探索说明命题是真命题与假命题的方法。
课堂小结
什么叫命题?
它由哪几部分组成?
怎样判断真假?
各抒己见
作业
课题
课型
新授
课时
4
执教
周永红
总课时
11.3证明
(1)
教学目标
1.了解证明的基本步骤和书写格式.
2.能从“同位角相等,两直线平行”这个基本事实出发,证明平行线的判定定理,并能简单应用这些结论.
3.感受数学的严谨、结论的确定,初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯,发展初步的演绎推理能力.
教学重点
证明的基本步骤和书写格式,发展初步的演绎推理能力.
教学难点
如何正确严谨的写出解题步骤
教学方法
探索、合作、交流
教学内容
教师导学过程
学生活动过程
创设情境,
导入新课
阅读与思考:
2000年前,古希腊数学家欧几里得(Euclid)在他编纂的举世闻名的巨著《原本》里,他挑选了一些数学名词和他认为正确的命题,并以此作为出发点,用推理的方法证实了其他命题的正确性.《原本》是人类智慧的伟大成就之一,它对科学和人类文明的发展产生了深远的影响.让我们尝试从基本事实出发,证实我们曾探索,发现的有关图形的许多性质的正确性
学生阅读与思考:
感受数学文化的源远流长,提高学习本节课的自信心与积极性。
新课教学
数学问题探究:
问题一:
请同学们先说出一些学过的真命题?
然后从中找出一些真命题作为基本事实:
问题二:
如何用推理的方法证实“同角的补角相等”的正确性呢?
(1)这个命题的条件是什么?
结论是什么?
(2)你能根据命题的条件画出相应的图形吗?
(3)要证明图中的∠2与∠3相等,就需要知道它们有什么联系?
你能说说它们之间的联系吗?
解:
∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠2=180°-∠1(等式性质).
∵∠1与∠3互补(已知),
∴∠1+∠3=180°(互补的定义),
∴∠3=180°-∠1(等式性质),
∴∠2=∠3(等量代换).
归纳:
用推理的方法证实真命题的过程叫做证明(proof).经过证明的真命题称为定理(theorem).已经证明的定理也可作为以后推理依据.
例1、如何证明“对顶角相等”
已知:
如图直线AB、CD相交于点O.
求证:
∠1=∠2.
证明:
∵AB、CD相交于点O(已知),
∴∠1+∠BOD=180°,
∴∠1=180°-∠BOD,∠2+∠BOD=180°,
∠2=180°-∠BOD,
∴∠1=∠2(等量代换).
师生共同讨论交流:
证明与图形有关的命题,一般有哪几个步骤?
(1)根据命题,画出图形;
(2)根据命题,结合图形,写出已知、求证;
(3)写出证明过程.
例2证明:
内错角相等,两直线平行.
已知:
如图,直线a、b被直线C所截,∠1=∠2.
求证a∥b.
证明:
∵∠1=∠2(已知),
∠1=∠3(对顶角相等).
∴∠2=∠3(等量代换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
定理:
内错角相等,两直线平行.
尝试:
证明“同旁内角互补,两直线平行”
学生回忆:
同位角相等,两直线平行.
两直线平行,同位角相等.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
三边对应相等的两个三角形全等.
等式性质和不等式的性质.
学生思考:
如何用推理的方法证实“同角的补角相等”的正确性,教师与学生共同分析,探索证明的解题方法与步骤。
学生尝试证明“对顶角相等”,学生板演,师生共同评价。
师生共同讨论交流,如何证明与图形有关的命题,有哪些方法与步骤。
学生尝试解题,师生共同评价。
课堂小结
什么叫证明?
如何证明与图形有关的命题,有哪些步骤?
各抒己见
作业
课题
课型
新授
课时
5
执教
周永红
总课时
11.3证明
(2)
教学目标
1.回顾平行线的判定和性质,能主动地区别这些互逆命题;
2.回顾平行线判定定理的证明,引导学生不断感受几何演绎体系的思维方法,并通过新的思考和讨论,以利于学生主动参与本节课的教学活动.
3.能从“同位角相等,两直线平行”、“两直线平行,同位角相等”这两个基本事实出发,证明平行线的判定定理、平行线的性质定理,并能简单应用这些结论.
教学重点
利用基本事实证明有关平行线的定理
教学难点
证明的基本步骤和书写格式,推理的合理性.
教学方法
探索、合作、交流
教学内容
教师导学过程
学生活动过程
创设情境,
导入新课
(1)我们曾探索发现了有关平行线的哪些结论?
(2)我们是如何证明“同旁内角互补,两直线平行”的?
(3)从基本事实“两直线平行,同位角相等”可以证明哪些结论?
学生回顾,回答,部分学生回答,说思路。
思考如何证明你得到的结论。
新课教学
活动一:
与同学合作,根据“两直线平行,内错角相等”画出相关的图形,并根据所画图形写出已知、求证:
已知:
如图,直线AB、CD被直线EF所截,AB∥CD.
求证:
∠1=∠2
问题二:
说说你的证明思路
两种证明方法:
分析法、综合法
证明1:
∵AB∥CD(已知)∴∠3=∠2(两进线平行,同位角相等)∵∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
证明2:
要证∠1=∠2需证∠1=∠3,∠2=∠3
由于∠1与∠3是对顶角所以∠1=∠3
要证∠2=∠3需有AB∥CD
【练习】证明“两直线平行,同旁内角互补”画出相关的图形,并根据所画图形写出已知、求证:
例2.已知:
如图a∥b,c∥d,∠1=50°
求证:
∠2=130°
分析:
思考方法一:
c∥d→∠3+∠5=180°
→∠1+∠2=180°→∠2=130°
思考方法二:
∠3+∠4=180°→∠1+∠2=180°
∠2=130°
拓展练习
1.如图1,下列推理正确的是()
A.∵MA∥NB,∴∠1=∠3
B.∵∠2=∠4,∴MC∥ND
C.∵∠1=∠3,∴MA∥NB
D.∵MC∥ND,∴∠1=∠3
2.已知:
如图2,AD∥BC,∠B=∠D.
求证:
AB∥CD.
学生尝试证明“两直线平行,内错角相等”,先说思路,师生共同分析,学生板演,师生共同评价。
在学生板演出一种方法后,问学生还有别的方法吗,给学生介绍分析法与综合法。
画出相关的图形,并根据所画图形写出已知、求证,并进行证明。
学生说思路,其余学生进行纠正,逐渐形成解题思路。
学生代表板书,还有什么其它方法吗?
学生根据题意,抢答。
学生根据题目分析,完成证明,代表板演。
其余学生上黑板批改。
课堂小结
如何证明与图形有关的命题,有哪些步骤?
与平行线相关的定理有哪些?
是如何证明的?
各抒己见
作业
课题
课型
新授
课时
6
执教
周永红
总课时
11.3证明(3)
教学目标
1、能从基本事实出发证实曾探索得到的三角形内角和定理及推论的结论的正确性,并能简单应用这些结论;感受数学的严谨、结论的确定,初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯,发展初步的演绎推理能力
2、培养学生热爱数学,对数学浓厚的学习兴趣,顽强的学习毅力,独立思考、勇于创新的学习精神,形成良好的个性品质
3、感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值
教学重点
利用基本事实与定理证明有关三角形方面的定理
教学难点
辅助线的的添加
教学方法
探索、合作、交流
教学内容
教师导学过程
学生活动过程
创设情境,
导入新课
一、有关平行线方面有什么基本事实与定理?
二、1.三角形三个内角的和等于多少度?
2.你是如何知道的?
3.这个结论正确吗?
学生回顾,回答,部分学生回答。
新课教学
二、探索归纳
1如何证明“三角形三个内角的和等于180°”这个结论?
2.根据命题画出图形,写出已知、求证.
3.小明的证明思路是什么?
4.小丽的证明思路是什么?
你能写出证明过程吗?
写出来与同学交流.
”画出相关的图形,并根据所画图形写出已知、求证:
5.你还有其它证明方法吗?
三角形的内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
关于辅助线:
1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线
(辅助线通常画成虚线)
2.它的作用是把分散的条件集中,把隐含的条件显现出来,起到牵线搭桥的作用.
3.添加辅助线,可构造新图形,形成新关系,找到联系已知与未知的桥梁,把问题转化,但辅助线的添法没有一定的规律,要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
【思考】三角形的外角与三角形内角的大小关系
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形内角和定理的推论:
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
四、巩固练习
1.证明:
直角三角形两个锐角互余
2.已知,∠α、∠β、∠γ是△ABC的3个外角;猜想△ABC的3个外角的和是多少?
证明你的猜想
3.四边形的内角和等于多少度?
证明你的结论.
学生尝试证明“三角形三个内角的和等于180°”,先说证明的步骤与思路,并尝试写出证明过程。
在学生说出一种方法后,问学生还有别的方法吗,给学生介绍其它方法,并进行概括证明本题的关键是什么?
添加平行线转移角。
学生记忆。
学生说根据题目深入理解辅助线的作用及意义。
学生先猜想三角形的外角与三角形内角的大小关系,根据题目写出已知,求证,分析证明,完成证明,代表板演。
学生上黑板批改。
学生画图,写已知,求证,并进行证明,其余学生进行纠正。
课堂小结
有关三角形方面有哪些定理?
有哪些推论?
你会用几何符号来表示吗?
各抒己见
作业
课题
课型
新授
课时
7
执教
周永红
总课时
11.4互逆命题
(1)
教学目标
1.了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
2.通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是假命题。
教学重点
能熟练说出一个命题的逆命题。
教学难点
举反例说明一个命题是假命题。
教学方法
探索、合作、交流
教学内容
教师导学过程
学生活动过程
创设情境,
导入新课
1.两直线平行,同位角相等.条件是___结论是:
同位角相等,两直线平行.条件是_结论是:
2.对顶角相等.条件是___结论是:
__
相等的角是对顶角.条件是__结论是:
__
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形
条件是______结论是:
______
平行四边形的对角线互相平分.
条件是______结论是:
_____
通过观察,你发现了什么?
学生回顾,回答。
1、两直线平行,同位角相等;同位角相等,两直线平行2、两个角是对顶角,它们相等;相等的角,它们是对顶角3、一个四边形的对角线互相平分,它是平行四边形;平行四边形的对角线,互相平分.
学生思考回答,自己的观察。
新课教学
探索活动:
活动一:
关于逆命题的定义
两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的_______,而第一个命题的结论又是第二个命题的_____,那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做另一个命题的__________.
问题:
每一个命题都有逆命题吗?
为什么?
活动二:
说出下列命题的逆命题,并与同学交流。
(1)两直线平行,内错角相等;
逆命题是:
__________________
(2)如果a2=b2,那么a=b;
逆命题是:
______________
(3)直角三角形的两个锐角互余;
逆命题是:
______________
(4)轴对称图形是等腰三角形;
逆命题是:
_____________
(5)正方形的4个角都是直角。
逆命题是:
___________
活动三:
举出两组互逆命题
1.原命题:
________________;
逆命题:
_________________。
2.原命题:
_________________;
逆命题:
__________________。
例题分析:
例举反例说明下列命题是假命题。
1.轴对称图形是等腰三角形。
2.如果a2=b2,那么a=b。
3.3个角对应相等的两个三角形全等。
练习:
写出下列命题的逆命题,并指出其真假
1..若ab=0,则a=0
2.角平分线上的点到这个角的两边相等
3..等腰三角形两底角相等
4.四边相等的四边形是菱形
学生对照上面的例子与自己的发现来回答互逆命题的概念
学生思考,讨论。
学生尝试解题,其余学生回答评价,看谁回答的正确。
学生尝试回答问题,各抒己见,看谁想的多。
学生生回忆如何说明一个命题是否是假命题,怎样正确举例,看谁举的最准确。
课堂小结
1.原命题是真命题,逆命题也一定是真命题吗?
举例说明。
2.原命题是
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