第7章ARCH模型和GARCH模型.docx
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第7章ARCH模型和GARCH模型
第7章、ARCH模型和GARCH模型
研究内容:
研究随时间而变化的风险。
(回忆:
Markowitz均值-方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险)
本章模型与以前所学的异方差的不同之处:
随机扰动项的无条件方差虽然是常数,但是条件方差是按规律变动的量。
波动率的聚类性(volatilityclustering):
一段时间内,随机扰动项的波动的幅度较大,而另外一定时间内,波动的幅度较小。
如图,
§1、ARCH模型
1、条件方差
多元线性回归模型:
条件方差或者波动率(Conditionvariance,volatility)定义为
其中
是信息集。
2、ARCH模型的定义
Engle(1982)提出ARCH模型(autoregressiveconditionalheteroskedasticity,自回归条件异方差)。
ARCH(q)模型:
(1)
的无条件方差是常数,但是其条件分布为
(2)
其中
是信息集。
方程
(1)是均值方程(meanequation)
✓
:
条件方差,含义是基于过去信息的一期预测方差
方程
(2)是条件方差方程(conditionalvarianceequation),由二项组成
✓常数
✓ARCH项
:
滞后的残差平方
习题:
方程
(2)给出了
的条件方差,请计算
的无条件方差。
证明:
利用方差分解公式:
Var(X)=VarY[E(X|Y)]+EY[Var(X|Y)]
由于
,所以条件均值为0,条件方差为
。
那么,
推出
,说明
3、ARCH模型的平稳性条件
在ARCH
(1)模型中,观察参数
的含义:
当
时,
当
时,退化为传统情形,
ARCH模型的平稳性条件:
(这样才得到有限的方差)
4、ARCH效应检验
ARCHLMTest:
拉格朗日乘数检验
建立辅助回归方程
此处
是回归残差。
原假设:
H0:
序列不存在ARCH效应
即
H0:
可以证明:
若H0为真,则
此处,m为辅助回归方程的样本个数。
R2为辅助回归方程的确定系数。
Eviews操作:
①先实施多元线性回归
②view/residual/Tests/ARCHLMTest
§2、GARCH模型的实证分析
从收盘价,得到收益率数据序列。
seriesr=log(p)-log(p(-1))
点击序列p,然后view/linegraph
1、检验是否有ARCH现象。
首先回归。
取2000到2254的样本。
输入lsrc,得到
DependentVariable:
R
Method:
LeastSquares
Date:
10/21/04Time:
21:
26
Sample:
20002254
Includedobservations:
255
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
C
0.000432
0.001087
0.397130
0.6916
R-squared
0.000000
Meandependentvar
0.000432
AdjustedR-squared
0.000000
S.D.dependentvar
0.017364
S.E.ofregression
0.017364
Akaikeinfocriterion
-5.264978
Sumsquaredresid
0.076579
Schwarzcriterion
-5.251091
Loglikelihood
672.2847
Durbin-Watsonstat
2.049819
问题:
这样进行回归的含义是什么?
其次,view/residualtests/ARCHLMtest,得到
ARCHTest:
F-statistic
5.220573
Probability
0.000001
Obs*R-squared
44.68954
Probability
0.000002
TestEquation:
DependentVariable:
RESID^2
Method:
LeastSquares
Date:
10/21/04Time:
21:
27
Sample(adjusted):
20102254
Includedobservations:
245afteradjustingendpoints
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
C
0.000110
5.34E-05
2.060138
0.0405
RESID^2(-1)
0.141549
0.065237
2.169776
0.0310
RESID^2(-2)
0.055013
0.065823
0.835766
0.4041
RESID^2(-3)
0.337788
0.065568
5.151697
0.0000
RESID^2(-4)
0.026143
0.069180
0.377893
0.7059
RESID^2(-5)
-0.041104
0.069052
-0.595260
0.5522
RESID^2(-6)
-0.069388
0.069053
-1.004854
0.3160
RESID^2(-7)
0.005617
0.069178
0.081193
0.9354
RESID^2(-8)
0.102238
0.065545
1.559806
0.1202
RESID^2(-9)
0.011224
0.065785
0.170619
0.8647
RESID^2(-10)
0.064415
0.065157
0.988613
0.3239
R-squared
0.182406
Meandependentvar
0.000305
AdjustedR-squared
0.147466
S.D.dependentvar
0.000679
S.E.ofregression
0.000627
Akaikeinfocriterion
-11.86836
Sumsquaredresid
9.19E-05
Schwarzcriterion
-11.71116
Loglikelihood
1464.875
F-statistic
5.220573
Durbin-Watsonstat
2.004802
Prob(F-statistic)
0.000001
得到什么结论?
2、模型定阶:
如何确定q
实施ARCHLMtest时,取较大的q,观察滞后残差平方的t统计量的p-value即可。
此处选取q=3。
因此,可以对残差建立ARCH(3)模型。
3、ARCH模型的参数估计
参数估计采用最大似然估计。
具体方法在GARCH一节中讲解。
如何实施ARCH过程:
由于存在ARCH效应,所以点击estimate,在method中选取ARCH
得到如下结果
DependentVariable:
R
Method:
ML-ARCH
Date:
10/21/04Time:
21:
48
Sample:
20002254
Includedobservations:
255
Convergenceachievedafter13iterations
Coefficient
Std.Error
z-Statistic
Prob.
C
-0.000640
0.000750
-0.852888
0.3937
VarianceEquation
C
9.24E-05
1.66E-05
5.569337
0.0000
ARCH
(1)
0.244793
0.082640
2.962142
0.0031
ARCH
(2)
0.081425
0.077428
1.051624
0.2930
ARCH(3)
0.457883
0.109698
4.174043
0.0000
R-squared
-0.003823
Meandependentvar
0.000432
AdjustedR-squared
-0.019884
S.D.dependentvar
0.017364
S.E.ofregression
0.017535
Akaikeinfocriterion
-5.495982
Sumsquaredresid
0.076872
Schwarzcriterion
-5.426545
Loglikelihood
705.7377
Durbin-Watsonstat
2.042013
为了比较,观察将q放大对系数估计的影响
DependentVariable:
R
Method:
ML-ARCH
Date:
10/21/04Time:
21:
54
Sample:
20002254
Includedobservations:
255
Convergenceachievedafter16iterations
Coefficient
Std.Error
z-Statistic
Prob.
C
-0.000601
0.000751
-0.799909
0.4238
VarianceEquation
C
9.38E-05
1.60E-05
5.880741
0.0000
ARCH
(1)
0.262009
0.090256
2.902959
0.0037
ARCH
(2)
0.041930
0.070518
0.594596
0.5521
ARCH(3)
0.452187
0.108488
4.168076
0.0000
ARCH(4)
-0.021920
0.050982
-0.429956
0.6672
ARCH(5)
0.037620
0.044394
0.847408
0.3968
R-squared
-0.003550
Meandependentvar
0.000432
AdjustedR-squared
-0.027830
S.D.dependentvar
0.017364
S.E.ofregression
0.017603
Akaikeinfocriterion
-5.483292
Sumsquaredresid
0.076851
Schwarzcriterion
-5.386081
Loglikelihood
706.1198
Durbin-Watsonstat
2.042568
观察:
说明q选取为3确实比较恰当。
4、ARCH模型是对的吗?
如果ARCH模型选取正确,即回归残差的条件方差是按规律变化的,那么标准化残差就会服从标准正态分布,即不会有ARCH效应
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