初中数学复习总动员第44讲方案设计.docx
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初中数学复习总动员第44讲方案设计
2017年暑期初中数学复习总动员第44讲方案设计问题
【知识巩固】
方案设计型题是通过设置一个实际问题情景,给出若干信息,提出解决问题的要求,要求学生运用学过的技能和方法,进行设计和操作,寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计等.
【典例解析】
典例一、作图方案设计
(2016·江西·6分)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:
①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;
(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】
(1)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.
(2)根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分,即可解决问题.
【解答】解:
(1)如图所示,∠ABC=45°.(AB、AC是小长方形的对角线).
(2)线段AB的垂直平分线如图所示,
点M是长方形AFBE是对角线交点,点N是正方形ABCD的对角线的交点,直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线.
【变式训练】
(2015福建龙岩22,12分)下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得,该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.
(1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长;
(2)如图甲,把六边形ABCDEF沿EH,BG剪成①②③三部分,请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形,然后标出②③变动后的位置,并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换;
(3)在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线,并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形.
考点:
图形的剪拼.
分析:
(1)利用剪拼前后图形的面积相等,得出拼成的正方形的边长;
(2)利用平移拼出正方形;
(3)在六边形图形上剪拼成的正方形即可.
解答:
解:
(1)根据剪拼前后图形的面积相等,得出拼成的正方形的边长=
=4
,
(2)如图,②③都属于平移,
(3)如图乙:
点评:
本题主要考查了图形的剪拼,解题的关键是理解旋转、平移和轴对称的图形变换.
典例二、调配方案设计
(2016·湖北荆门·12分)A城有某种农机30台,B城有该农机40台,现要将这些农机全部运往C,D两乡,调运任务承包给某运输公司.已知C乡需要农机34台,D乡需要农机36天,从A城往C,D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台,从B城往C,D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台.
(1)设A城运往C乡该农机x台,运送全部农机的总费用为W元,求W关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元,则有多少种不同的调运方案?
将这些方案设计出来;
(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机,从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠,其它费用不变,如何调运,使总费用最少?
【考点】一次函数的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】
(1)A城运往C乡的化肥为x吨,则可得A城运往D乡的化肥为30﹣x吨,B城运往C乡的化肥为34﹣x吨,B城运往D乡的化肥为40﹣(34﹣x)吨,从而可得出W与x大的函数关系.
(2)根据题意得140x+12540≥16460求得28≤x≤30,于是得到有3种不同的调运方案,写出方案即可;
(3)根据题意得到W=x+12540,所以当a=200时,y最小=﹣60x+12540,此时x=30时y最小=10740元.于是得到结论.
【解答】解:
(1)W=250x+200(30﹣x)+150(34﹣x)+240(6+x)=140x+12540(0<x≤30);
(2)根据题意得140x+12540≥16460,
∴x≥28,
∵x≤30,
∴28≤x≤30,
∴有3种不同的调运方案,
第一种调运方案:
从A城调往C城28台,调往D城2台,从,B城调往C城6台,调往D城34台;
第二种调运方案:
从A城调往C城29台,调往D城1台,从,B城调往C城5台,调往D城35台;
第三种调运方案:
从A城调往C城30台,调往D城0台,从,B城调往C城4台,调往D城36台,
(3)W=x+200(30﹣x)+150(34﹣x)+240(6+x)=x+12540,
所以当a=200时,y最小=﹣60x+12540,此时x=30时y最小=10740元.
此时的方案为:
从A城调往C城30台,调往D城0台,从,B城调往C城4台,调往D城36台.
【变式训练】
(2014•贵港,第24题9分)在开展“美丽广西,清洁乡村”的活动中某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵,已知A种树苗每棵30元,B种树苗每棵90元.
(1)设购买A种树苗x棵,购买A、B两种树苗的总费用为y元,请你写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)如果购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元,且B种树苗的棵树不少于A种树苗棵树的3倍,那么有哪几种购买树苗的方案?
(3)从节约开支的角度考虑,你认为采用哪种方案更合算?
【考点】一次函数的应用;一元一次不等式组的应用.
【解析】
(1)设购买A种树苗x棵,购买A、B两种树苗的总费用为y元,根据某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵,已知A种树苗每棵30元,B种树苗每棵90元可列出函数关系式.
(2)根据购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元,且B种树苗的棵树不少于A种树苗棵树的3倍,列出不等式组,解不等式组即可得出答案;
(3)根据
(1)得出的y与x之间的函数关系式,利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案.
【解答】解:
(1)设购买A种树苗x棵,购买A、B两种树苗的总费用为y元,
y=30x+90(100﹣x)=9000﹣60x;
(2)设购买A种树苗x棵,则B种树苗(100﹣x)棵,根据题意得:
,
解得:
24≤x≤25,
因为x是正整数,
所以x只能取25,24.
有两种购买树苗的方案:
方案一:
购买A种树苗25棵时,B种树苗75棵;
方案二:
购买A种树苗24棵时,B种树苗76棵;
(3)∵y=9000﹣60x,﹣60<0,
∴y随x的增大而减小,
又x=25或24,
∴采用购买A种树苗25棵,B种树苗75棵时更合算.
【点评】本题考查的是一元一次不等式组及一次函数的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系.
典例三、经济类方案设计
(2017贵州安顺)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进货的总资金不超过1000元,求商场共有几种进货方案?
【考点】B7:
分式方程的应用;CE:
一元一次不等式组的应用.
【分析】
(1)设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解.
(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(48﹣y)件,根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进货的总资金不超过1000元,可列出不等式组求解.
【解答】解:
设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,
=
x=15,
经检验x=15是原方程的解.
∴40﹣x=25.
甲,乙两种玩具分别是15元/件,25元/件;
(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(48﹣y)件,
,
解得20≤y<24.
因为y是整数,甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,
∴y取20,21,22,23,
共有4种方案.
【变式训练】
.(2017毕节)某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学,在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元,且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同.
(1)求这种笔和本子的单价;
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子,计划100元刚好用完,并且笔和本子都买,请列出所有购买方案.
【考点】B7:
分式方程的应用;95:
二元一次方程的应用.
【分析】
(1)首先设这种笔单价为x元,则本子单价为(x﹣4)元,根据题意可得等量关系:
30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量,由等量关系可得方程
=
,再解方程可得答案;
(2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支和购买本子n本,根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000,再求出整数解即可.
【解答】解:
(1)设这种笔单价为x元,则本子单价为(x﹣4)元,由题意得:
=
,
解得:
x=10,
经检验:
x=10是原分式方程的解,
则x﹣4=6.
答:
这种笔单价为10元,则本子单价为6元;
(2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支和购买本子n本,
由题意得:
10m+6n=100,
整理得:
m=10﹣
n,
∵m、n都是正整数,
∴①n=5时,m=7,②n=10时,m=4,③n=15,m=1;
∴有三种方案:
①购买这种笔7支,购买本子5本;
②购买这种笔4支,购买本子10本;
③购买这种笔1支,购买本子15本.
典例四、其它类方案设计
(2016·湖北荆州·8分)为更新果树品种,某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种苗的单价为7元/棵,购买B种苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若在购买计划中,B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量,请设计购买方案,使总费用最低,并求出最低费用.
【分析】
(1)利用得到系数法求解析式,列出方程组解答即可;
(2)根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用,即可解答.
【解答】解:
(1)设y与x的函数关系式为:
y=kx+b,
把(20,160),(40,288)代入y=kx+b得:
解得:
∴y=6.4x+32.
(2)∵B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量,
∴
∴22.5≤x≤35,
设总费用为W元,则W=6.4x+32+7(45﹣x)=﹣0.6x+347,
∵k=﹣0.6,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=35时,W总费用最低,W最低=﹣0.6×35+347=137(元).
【点评】此题主要考查了一次函数的应用,根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键.
【变式训练】
(2016·四川眉山)“世界那么大,我想去看看”一句话红遍网络,骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场.顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元,今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元,若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同,则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.
(1)求今年6月份A型车每辆销售价多少元(用列方程的方法解答);
(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
A、B两种型号车的进货和销售价格如表:
A型车
B型车
进货价格(元/辆)
1100
1400
销售价格(元/辆)
今年的销售价格
2400
【分析】
(1)设去年A型车每辆x元,那么今年每辆(x+400)元,列出方程即可解决问题.
(2)设今年7月份进A型车m辆,则B型车(50﹣m)辆,获得的总利润为y元,先求出m的范围,构建一次函数,利用函数性质解决问题.
【解答】解:
(1)设去年A型车每辆x元,那么今年每辆(x+400)元,
根据题意得
,
解之得x=1600,
经检验,x=1600是方程的解.
答:
今年A型车每辆2000元.
(2)设今年7月份进A型车m辆,则B型车(50﹣m)辆,获得的总利润为y元,
根据题意得50﹣m≤2m
解之得m≥
,
∵y=(2000﹣1100)m+(2400﹣1400)(50﹣m)=﹣100m+50000,
∴y随m的增大而减小,
∴当m=17时,可以获得最大利润.
答:
进货方案是A型车17辆,B型车33辆.
【能力检测】
1.(2017黑龙江鹤岗)某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚.经测算,投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个,那么建造方案有( )
A.2种B.3种C.4种D.5种
【考点】95:
二元一次方程的应用.
【分析】直接根据题意假设出未知数,进而得出不等式进而分析得出答案.
【解答】解:
设建造A种类型的温室大棚x个,建造B种类型的温室大棚y个,根据题意可得:
6x+7y≤20,
当x=1,y=2符合题意;
当x=2,y=1符合题意;
当x=3,y=0符合题意;
故建造方案有3种.
故选:
B.
2.(2016·四川宜宾)宜宾市某化工厂,现有A种原料52千克,B种原料64千克,现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件.已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克,B种原料2千克;生产1件乙种产品需要A种原料2千克,B种原料4千克,则生产方案的种数为( )
A.4B.5C.6D.7
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】设生产甲产品x件,则乙产品(20﹣x)件,根据生产1件甲种产品需要A种原料3千克,B种原料2千克;生产1件乙种产品需要A种原料2千克,B种原料4千克,列出不等式组,求出不等式组的解,再根据x为整数,得出有5种生产方案.
【解答】解:
设生产甲产品x件,则乙产品(20﹣x)件,根据题意得:
,
解得:
8≤x≤12,
∵x为整数,
∴x=8,9,10,11,12,
∴有5种生产方案:
方案1,A产品8件,B产品12件;
方案2,A产品9件,B产品11件;
方案3,A产品10件,B产品10件;
方案4,A产品11件,B产品9件;
方案5,A产品12件,B产品8件;
故选B.
3.(2016·湖北武汉·10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表:
产品
每件售价(万元)
每件成本(万元)
每年其他费用(万元)
每年最大产销量(件)
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数,且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?
请说明理由.
【考点】二次函数的应用,一次函数的应用
【答案】
(1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);
(2)产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)当3≤a<3.7时,选择甲产品;当a=3.7时,选择甲乙产品;当3.7<a≤5时,选择乙产品
【解析】解:
(1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);
(2)甲产品:
∵3≤a≤5,∴6-a>0,∴y1随x的增大而增大.
∴当x=200时,y1max=1180-200a(3≤a≤5)
乙产品:
y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80)
∴当0<x≤80时,y2随x的增大而增大.
当x=80时,y2max=440(万元).
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)1180-200>440,解得3≤a<3.7时,此时选择甲产品;
1180-200=440,解得a=3.7时,此时选择甲乙产品;
1180-200<440,解得3.7<a≤5时,此时选择乙产品.
∴当3≤a<3.7时,生产甲产品的利润高;
当a=3.7时,生产甲乙两种产品的利润相同;
当3.7<a≤5时,上产乙产品的利润高.
4.(2017四川南充)学校准备租用一批汽车,现有甲、乙两种大客车,甲种客车每辆载客量45人,乙种客车每辆载客量30人,已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元,3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元.
(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元?
(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆,送330名师生集体外出活动,最节省的租车费用是多少?
【考点】C9:
一元一次不等式的应用;9A:
二元一次方程组的应用.
【分析】
(1)可设1辆甲种客车的租金是x元,1辆乙种客车的租金是y元,根据等量关系:
①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元,②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元,列出方程组求解即可;
(2)由于求最节省的租车费用,可知租用甲种客车6辆,租用乙客车2辆,进而求解即可.
【解答】解:
(1)设1辆甲种客车的租金是x元,1辆乙种客车的租金是y元,依题意有
,
解得
.
故1辆甲种客车的租金是400元,1辆乙种客车的租金是280元;
(2)租用甲种客车6辆,租用乙客车2辆是最节省的租车费用,
400×6+280×2
=2400+560
=2960(元).
答:
最节省的租车费用是2960元.
5.(2017广西河池)某班为满足同学们课外活动的需求,要求购排球和足球若干个.已知足球的单价比排球的单价多30元,用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等.
(1)排球和足球的单价各是多少元?
(2)若恰好用去1200元,有哪几种购买方案?
【考点】B7:
分式方程的应用;95:
二元一次方程的应用.
【分析】
(1)设排球单价是x元,则足球单价是(x+30)元,根据题意可得等量关系:
500元购得的排球数量=800元购得的足球数量,由等量关系可得方程,再求解即可;
(2)设恰好用完1200元,可购买排球m个和购买足球n个,根据题意可得排球的单价×排球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1200,再求出整数解即可得出答案.
【解答】解:
设排球单价为x元,则足球单价为(x+30)元,由题意得:
=
,
解得:
x=50,
经检验:
x=50是原分式方程的解,
则x+30=80.
答:
排球单价是50元,则足球单价是80元;
(2)设设恰好用完1200元,可购买排球m个和购买足球n个,
由题意得:
50m+80n=1200,
整理得:
m=24﹣
n,
∵m、n都是正整数,
∴①n=5时,m=16,②n=10时,m=8;
∴有两种方案:
①购买排球5个,购买足球16个;
②购买排球10个,购买足球8个.
6.(2016·黑龙江龙东·10分)某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球,购买A种品牌的足球50个,B种品牌的足球25个,共花费4500元,已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花30元.
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元.
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召,决定再次购进A、B两种品牌足球共50个,正好赶上商场对商品价格进行调整,A品牌足球售价比第一次购买时提高4元,B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%,且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个,则这次学校有哪几种购买方案?
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金?
【考点】一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】
(1)设A种品牌足球的单价为x元,B种品牌足球的单价为y元,根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用,以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;
(2)设第二次购买A种足球m个,则购买B中足球(50﹣m)个,根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用,以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组,解不等式组可得出m的取值范围,由此即可得出结论;
(3)分析第二次购买时,A、B种足球的单价,即可得出那种方案花钱最多,求出花费最大值即可得出结论.
【解答】解:
(1)设A种品牌足球的单价为x元,B种品牌足球的单价为y元,
依题意得:
,解得:
.
答:
购买一个A种品牌的足球需要50元,购买一个B种品牌的足球需要80元.
(2)设第二次购买A种足球m个,则购买B中足球(50﹣m)个,
依题意得:
,
解得:
25≤m≤27.
故这次学校购买足球有三种方案:
方案一:
购买A种足球25个,B种足球25个;
方案二:
购买A种足球26个,B种足球24个;
方案三:
购买A种足球27个,B种足球23个.
(3)∵第二次购买足球时,A种足球单价为50+4=54(元),B种足球单价为80×0.9=72(元),
∴当购买方案中B种足球最多时,费用最高,即方案一花钱最多.
∴25×54+25×72=3150(元).
答:
学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金.
7.(2017黑龙江鹤岗)由于雾霾天气频发,市场上防护口罩出现热销.某药店准备购进一批口罩,已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元;3个A型口罩和2个B型口罩共需29元.
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元?
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共50个,其中A型口罩数量不少于35个,且不多于B型口罩的3倍,有哪几种购买方案,哪种方案最省钱?
【考点】CE:
一元一次不等式组的应用;9A:
二元一次方程组的应用.
【分析】
(1)设一个A型口罩的售价是a元,一个B型口罩的售价是b元,根据:
“1个A型口罩和3个B型口罩共需26元;3个A型口罩和2个B型口罩共需29元”列方程组求解即可;
(2)设A型口罩x个,根据“A型口罩数量不少于35个,且不多于B型口罩的3倍”确定x的取值范围,然后得到有关总费用和A型口罩之间的关系得到函数解析式,确定函数的最值即可.
【解答】解:
(1)设一个A型口罩的售价是a元,一个B型口罩的售价是b元,依题意有:
,
解得:
.
答:
一个A型口罩的售价是5元,一个B型口罩的售价是7元.
(2)设A型口罩x个,依题意有:
,
解得35≤x≤37.5,
∵x为整数,
∴x=35,36,37.
方案如下:
方案
B型口罩
B型口罩
一
35
15
二
36
14
三
37
13
设购买口罩需要y元,则y=5x+7(50﹣x)=﹣2x+350,k=﹣2<0,
∴y随x增大而减小,
∴x=37时,y的值最小.
答:
有3种购买方案,其中方案三最省钱.
8.学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,
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- 初中 数学 复习 总动员 44 方案设计