弹性模量的测量实验报告.docx

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弹性模量的测量实验报告

弹性模量的测量实验报告

一、拉伸法测量弹性模量

1、实验目的

（1）学习用拉伸法测量弹性模量的方法;

（2）掌握螺旋测微计和读数显微镜的使用;

（3）学习用逐差法处理数据。

2、实验原理

（1）、杨氏模量及其测量方法

本实验讨论最简单的形变——拉伸形变,即棒状物体（或金属丝）仅受轴向外力作用而发生伸长的形变（称拉伸形变）。

设有一长度为𝐿,截面积为𝑆的均匀金属丝,沿长度方向受一外力𝐹后金属丝伸长𝛿𝐿。

单位横截面积上的垂直作用力𝐹/𝑆成为正应力,金属丝的相对伸长𝛿𝐿/𝐿称为线应变。

实验结果指出,在弹性形变范围内,正应力与线应变成正比,即

这个规律称为胡克定律，其中

称为材料的弹性模量。

它表征材料本身的性质,𝐸越大的材料,要使他发生一定的相对形变所需的单位横截面积上的作用力也越大，𝐸的单位为Pa（1Pa=1N/m2;1GPa=109Pa）。

本实验测量的是钢丝的弹性模量,如果测得钢丝的直径为𝐷,则可以进一步把𝐸写成:

测量钢丝的弹性模量的方法是将钢丝悬挂于支架上,上端固定,下端加砝码对钢丝施力𝐹,测出钢丝相应的伸长量𝛿𝐿,即可求出𝐸。

钢丝长度𝐿用钢尺测量,钢丝直径𝐷用螺旋测微计测量,力𝐹由砝码的重力𝐹=𝑚𝑔求出。

实验的主要问题是测准𝛿𝐿。

𝛿𝐿一般很小,约10−1mm数量级,在本实验中用读数显微镜测量（也可利用光杠杆法或其他方法测量）。

为了使测量的𝛿𝐿更准确些,采用测量多个𝛿𝐿的方法以减少测量的随机误差,即在钢丝下端每加一个砝码测一次伸长位置,逐个累加砝码,逐次记录伸长位置。

通过数据处理求出𝛿𝐿。

（2）、逐差法处理数据
如果用上述方法测量10次得到相应的伸长位置𝑦1,𝑦2,...,𝑦10,如何处理数据,算出钢丝的伸长量𝛿𝐿呢?


我们可以由相邻伸长位置的差值求出9个𝛿𝐿,然后取平均,则

从上式可以看出中间各𝑦𝑖都消去了,只剩下𝑦10−𝑦19,用这样的方法处理数据,中间各次测量结果均未起作用。

为了发挥多次测量的优越性,可以改变一下数据处理的方法,把前后数据分成两组,𝑦1,𝑦2,𝑦3,𝑦4,𝑦5一组,𝑦6,𝑦7,𝑦8,𝑦9,𝑦10为另一组。

讲两组中相应的数据想见得出5个𝑙𝑖,𝑙𝑖=5𝛿𝐿。

则

这种数据处理的方法称为逐差法,其优点是充分利用的所测数据,可以减小测量的随机误差,而且也可以减少测量仪器带来的误差。

因此是实验中常用的一种数据处理的方法。

3.数据表格

（1）、测钢丝长度Ｌ及其伸长量δＬ

仪器编号　1　；　　钢丝长度Ｌ＝　998　㎜

序号

增砝码时

减砝码时

增砝码时l+

减砝码时l-

1

0.200×1×9.80

0.539

0.542

1.510

1.458

1.484

2

0.200×2×9.80

0.843

0.880

1.482

1.441

1.462

3

0.200×3×9.80

1.152

1.165

1.467

1.490

1.479

4

0.200×4×9.80

1.481

1.435

1.394

1.394

1.394

5

0.200×5×9.80

1.719

1.742

1.476

1.433

1.455

6

0.200×6×9.80

2.049

2.000

=1.455㎜

7

0.200×7×9.80

2.325

2.321

8

0.200×8×9.80

2.619

2.655

9

0.200×9×9.80

2.875

2.882

10

0.200×10×9.80

3.195

3.175

（2）、测钢丝直径Ｄ

测定螺旋测微计的零点d（单位㎜）

测量前-0.015，-0.018，-0.017；

测量后-0.018，-0.020，-0.019。

　　平均值

=-0.018㎜

序号

1

2

3

4

5

6

Ｄi/mm

0.209

0.206

0.200

0.201

0.205

0.201

钢丝的平均直径

=0.204㎜

二、动力学法测量弹性模量

1、实验目的


（1）学习一种更实用,更准确的测量弹性模量的方法;

（2）学习用实验方法研究与修正系统误差。

2、实验原理

细长棒的振动满足如下动力学方程：

棒的轴线沿𝑥方向,式中𝜂为棒上距左端𝑥处截面的𝑧方向位移,𝐸为该棒的弹性模量,𝜌为材料密度,𝑆为棒的横截面积，𝐼为某一截面的惯性矩

该方程的通解为

称为频率公式,它对任意形状截面的试样,不同的边界条件下都是成立的。

我们只要根据特定的边界条件定出常数𝐾,代入特定界面的惯量矩𝐼,就可以得到具体条件下的关系式。

对于用细线悬挂起来的棒,若悬线位于棒作横振动的节点若悬线位于棒作振动的节点𝐽、𝐽1点附近,并且棒的两端均处于自由状态,那么在两端面上,横向作用力𝐹与弯矩均为零。

横向作用力

用数值解法可求得满足上式的一系列根𝐾𝑛𝑙,其值为𝐾𝑛𝑙=0,4.730,7.853,10.966,14.137,„其中𝐾0𝑙=0的根对应于静止状态。

因此将𝐾1𝑙=4.730记作第一个根,对应的振动频率称为基振频率,此时棒的振幅分布如图3（a）所示,𝐾2𝑙、𝐾3𝑙对应的振形依次为图3（b）、（c）。

从图3（a）可以看出试样在作基频振动的时候,存在两个节点,根据计算,它们的位置分别距端面在0.224l和0.776l处。

对应于n=2的振动,其振动频率约为基频的2.5~2.8倍,节点位置在0.132l,0.500l,0.868l处。

𝑇1可根据𝑑/𝑙的不同数值和材料的泊松比查表得到。

我们试验中用到了四种几何尺寸的黄铜、紫铜圆杆，

随d、l变化如下

d=5mm,l=210mm,

=1.0031

d=5mm,l=200mm,

=1.0035

d=6mm,l=210mm,

=1.0046

d=6mm,l=200mm,

=1.0050

3、实验装置

4、实验任务

（1）连接线路,阅读信号发生器及示波器的有关资料,学习调节和使用方法。

（2）测量被测样品的长度、直径（在不同部位测6次取平均值）及质量。

质量测量用数显电子天平。

记录样品是黄铜还是紫铜。

（3）测样品的弯曲振动基振频率。

理论上样品作基频共振时,悬点应置于节点处,即悬点应置于距棒两端面分别为0.224l和0.776l处。

但是在这种情况下,棒的振动无法被激发。

欲激发棒的振动,悬点必须离开节点位置。

这样又与理论条件不一致,势必产生系统误差。

故实验上采用下述方法测棒的弯曲振动基频频率:

在基频节点处正负30mm范围内同时改变两悬线位置,每隔5mm~10mm

测一次共振频率。

画出共振频率与悬线位置关系曲线。

由该图可准确求出悬线在节点位置

的基频共振频率,其值约在几百赫兹量级。

5、数据处理

材料：

紫铜

（1）、不同悬点的基振频率

序号

1

2

3

4

5

6

x/㎜

←3cm

←2cm

←1cm

→1cm

→2cm’

→3cm

f/Hz

449.01

446.15

444.08

444.01

445.86

446.92

画出f-x图线如下：

于是得到基振节点位置x=46.68㎜，基振频率为f=443.2Hz

（2）、测量棒的质量、长度、直径

棒的质量m=51.66g

棒的长度l=208.40mm

定螺旋测微计的零点（单位㎜）

测量前-0.012，-0.013，-0.016；

测量后-0.014，-0.012，-0.012。

平均值

’=-0.013㎜

序号

1

2

3

4

5

6

平均值

di/mm

5.868

5.932

5.935

5.918

5.910

5.921

5.914