教学总结小学数学巧妙求和专题及习题解析.docx
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教学总结小学数学巧妙求和专题及习题解析
第十六周巧妙求和
(二)
专题简析:
某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。
例1:
刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。
这本书共有多少页?
分析与解答:
根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11,因此可以很快得解:
(30+60)×11÷2=495(页)
想一想:
如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答?
练习一
1,刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。
这批零件共有多少个?
2,胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页?
3,丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?
例2:
30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次?
分析与解答:
开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次;同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。
所以,至多需试29+28+27+…+2+1=(29+1)×29÷2=435(次)。
练习二
1,有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
2,有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
3,有10只盒子,44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?
例3:
某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手?
分析与解答:
假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次。
依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为:
50+49+48+…+2+1=(50+1)×50÷2=1275(次)
练习三
1,学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛?
2,在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手?
3,假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?
例4:
求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。
分析与解答:
首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和,而不是求这99个数之和。
为了能方便地解决问题,我们不妨把0算进来(它不影响我们计算数字之和)计算0~99这100个数的数字之和。
这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等,是9+9=18,一共有100÷2=50对,所以,1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。
练习四
1,求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。
2,求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。
3,求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
例5:
求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。
分析与解答:
不妨先求0~199的所有数字之和,再求200~209的所有数字之和,然后把它们合起来。
0~199的所有数字之和为(1+9×2)×(200÷2)=1900,200~209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。
所以,1~209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。
练习五
1,求1~308连续自然数的全部数字之和。
2,求1~20**连续自然数的全部数字之和。
3,求连续自然数20**~5000的全部数字之和。
第十七周数数图形
专题简析:
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:
1,弄清被数图形的特征和变化规律。
2,要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。
例1:
数出下面图中有多少条线段。
分析与解答:
要正确解答这类问题,需要我们按照一定的顺序来数,做到不重复,不遗漏。
从图中可以看出,从A点出发的不同线段有3条:
AB、AC、AD;从B点出发的不同线段有2条:
BC、BD;从C点出发的不同线段有1条:
CD。
因此,图中共有3+2+1=6条线段。
练习一:
数出下列图中有多少条线段。
(1)
(2)
(3)
例2:
数一数下图中有多少个锐角。
分析与解答:
数角的方法和数线段的方法类似,图中的五条射线相当于线段上的五个点,因此,要求图中有多少个锐角,可根据公式1+2+3……(总射线数-1)求得:
1+2+3+4=10(个)
练习二:
下列各图中各有多少个锐角?
例3:
数一数下图中共有多少个三角形。
分析与解答:
图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形,也就是说,AD边上有几条线段,就构成了几个三角形,因为AD上有4个点,共有1+2+3=6条线段,所以图中有6个三角形。
练习三:
数一数下面图中各有多少个三角形。
例4:
数一数下图中共有多少个三角形。
分析与解答:
与前一个例子相比,图中多了一条线段EF,因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。
显然,以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个,所以图中共有6×2=12个三角形。
练习四:
数一数下面各图中各有多少个三角形。
例5:
数一数下图中有多少个长方形。
分析与解答:
数长方形与数线段的方法类似。
可以这样思考,图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段,AB边上的线段条数是1+2+3=6条,所以图中有6个长方形。
练习五:
数一数下面各图中分别有多少个长方形。
第十八周数数图形
(二)
专题简析:
在解决数图形问题时,首先要认真分析图形的组成规律,根据图形特点选择适当的方法,既可以逐个计数,也可以把图形分成若干个部分,先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数,再把他们的个数合起来。
例1:
数一数下图中有多少个长方形?
分析与解答:
图中的AB边上有线段1+2+3=6条,把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以,图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式:
长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
练习一:
数一数,下面各图中分别有几个长方形?
例2:
数一数,下图中有多少个正方形?
(每个小方格是边长为1的正方形)
分析与解答:
图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个,边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为:
1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为:
1×1+2×2+…+n×n。
练习二:
数一数下列各图中分别有多少个正方形?
(每个小方格为边长是1的小正方形)
例3:
数一数下图中有多少个正方形?
(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)
分析与解答:
边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个,边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。
所以,图中正方形的总数为:
6+2=8个。
经进一步分析可以发现,一般情况下,如果一个长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份(长和宽的每一份都是相等的)那么正方形的总数为:
mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+…+(m-n+1)n
练习三
1.数一数下列各图中分别有多少个正方形。
2.下图中有多少个长方形,其中有多少个是正方形?
例4:
从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票?
这些车票中有多少种不同的票价?
分析与解答:
这道题是数线段的方法在实际生活中的应用,连同广州、北京在内,这条铁路上共有10个站,共有1+2+3+…+9=45条线段,因此要准备45种不同的车票。
由于这些车站之间的距离各不相等,因此,有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价,所以共有45种不同的票价。
练习四
1,从上海到武汉的航运线上,有9个停靠码头,航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票?
2,从上海至青岛的某次直快列车,中途要停靠6个大站,这次列车有几种不同票价?
3,从成都到南京的快车,中途要停靠9个站,有几种不同的票价?
例5:
求下列图中线段长度的总和。
(单位:
厘米)
分析与解答:
要求图中的线段长度总和,可以这样计算:
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米
从上面的计算中可以发现这样一个规律,算式中长1厘米的基本线段(我们把不能再划分的线段称为基本线段)出现了4次,长4厘米的线段出现了(3×2)次,长2厘米的线段出现了(2×3)次,长3厘米的线段出现了(1×4)次,所以,各线段长度的总和还可以这样算:
1×4+4×(3×2)+2×(2×3)+3×(1×4)
=1×(5-1)+4×(5-2)×2+2×(5-3)×3+3×(5-4)×4=52厘米
上式中的5是线段上的5个点,如果设线段上的点数为n,基本线段分别为a1、a2、…a(n-1)。
以上各线段长度的总和为L,那么L=a1×(n-1)×1+a2×(n-2)×2+a3×(n-3)×3+…+a(n-1)×1×(n-1)。
练习五
1,一条线段上有21个点(包括两个端点),相邻两点的距离都是4厘米,所有线段长度的总和是多少?
2,求下图中所有线段的总和。
(单位:
米)
3,求下图中所有线段的总和。
(单位:
厘米)
第十九周应用题
(二)
专题简析:
解答复合应用题时一般有如下四个步骤:
1,弄清题意,找出已知条件和所求问题;
2,分析已知条件和所求问题之间的关系,找出解题的途径;
3,拟定解答计划,列出算式,算出得数;
4,检验解答方法是否合理,结果是否正确,最后写出答案。
例1:
某发电厂有10200吨煤,前10天每天烧煤300吨,后来改进炉灶,每天烧煤240吨。
这堆煤还能烧多少天?
分析与解答:
条件摘录
前10天每天烧煤300吨
10200吨能烧多少天?
后来每天烧煤240吨
综合法思路:
前10天每天烧煤300吨,可以求出10天烧的吨数;
已知煤的总吨数和前10天烧的吨数,可以求出还有多少吨没有烧;
根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨,可以求出这堆煤还能烧多少天。
分析法思路:
要求还能烧多少天,要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数(240吨);
要求还有多少吨煤,要知道这堆煤有多少吨(10200吨)和已经烧了多少吨。
要求已经烧了多少吨,要知道已经烧了多少天(10天)和每天烧多少吨(300吨)。
(10200-300×10)÷240=30(天)
练习一
1,某电冰箱厂要生产1560台冰箱,已经生产了8天,每天生产120台。
剩下的每天生产150台,还要多少天才能完成任务?
2,某工厂计划生产36500套轴承,前5天平均每天生产2100套,后来改进操作方法,平均每天可以生产2600套。
这样完成这批轴承生产任务共需多少天?
3,某机床厂计划每天生产机床40台,30天完成任务。
现在要提前10天完成任务,每天要生产多少台?
例2:
师傅和徒弟同时开始加工200个零件,师傅每小时加工25个,完成任务时,徒弟还要做2小时才能完成任务。
徒弟每小时加工多少个?
分析与解答:
由条件可知,师傅完成任务用了200÷25=8小时,徒弟完成任务用了8+2=10小时。
所以,徒弟每小时加工200÷10=20个。
练习二
1,张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具,张师傅每天做10个,完成任务时,李师傅还要做1天才能完成任务。
李师傅每天做多少个?
2,小华和小明同时开始写192个大字,小华每天写24个,完成任务时,小明还要写4天才能完成。
小明每天写多少个字?
3,丰华农具厂计划20天制造农具2400件,实际每天多制造30件,这样可提前几天完成任务?
例3:
甲、乙两地相距200千米,汽车行完全程要5小时,步行要40小时。
张强从甲地出发,先步行8小时后改乘汽车,还需要几小时到达乙地?
分析与解答:
根据题意,汽车5小时行200千米,每小时行200÷5=40千米;步行200千米要40小时,平均每小时行200÷40=5千米,8小时行了5×8=40千米;全程有200千米,乘汽车行了200-40=160千米,所以,还需160÷40=4小时到达乙地。
练习三
1,玩具厂一车间要生产900个玩具,如果用手工做要20小时才能完成,用机器只需要4小时。
一车间工人先用手工做了5小时,后改用机器生产,还需要几小时才能完成任务?
2,甲、乙两地相距200千米,汽车行完全程要5小时,步行要40小时。
张强从甲地出发,先乘汽车4小时,后改步行,他从甲地到乙地共用了多少小时?
3,A、B两城相距300千米,摩托车行完全程要5小时,自行车要25小时。
王亮从A城出发,先骑自行车5小时,后改骑摩托车。
他从A城到B城共用了多少小时?
例4:
某筑路队修一条长4200米的公路,原计划每人每天修4米,派21人来完成;实际修筑时增加了4人,可以提前几天完成任务?
分析与解答:
要求可以提前几天完成任务,要知道原计划多少天完成和实际多少天完成。
原计划21人每天修4×21=84米,修4200米需要4200÷84=50天。
实际增加了4人,每天修4×(21+4)=100米,修同样长的公路需要4200÷100=42天。
所以可提前50-42=8天完成任务。
练习四
1,羊毛衫厂要生产378件羊毛衫,原计划每人每天生产3件,派18人来完成。
实际增加了3人,可以提前几天完成任务?
2,某筑路队修一条长8400米的公路,原计划每人每天修4米,派42人来完成。
如果每人的工作效率不变,要提前8天完成任务,需要多少人参加?
3,友谊服装厂要加工192套服装,原计划每人每天加工2套,8人可以按时完成。
如果每人工作效率不变,要提前4天完成任务,需要增加多少人加工?
例5:
自行车厂计划每天生产自行车100辆,可按期完成任务,实际每天生产120辆,结果提前8天完成任务。
这批自行车有多少辆?
分析与解答:
假如以计划生产的时间为准,那么实际完成任务后,再生产8天可多生产120×8=960辆。
实际每天多生产120-100=20辆,可以求出多生产960辆所用的时间,这个时间就是原计划所需要的时间,960÷20=48天。
所以,这批自行车有100×48=4800辆。
练习五
1,农机厂生产柴油机,原计划每天生产40台,可以在预定的时间内完成任务。
实际每天生产50台,结果提前6天完成,这批柴油机有多少台?
2,一辆汽车运一堆黄沙,计划每天运15吨,可以在预定时间内完成任务。
实际每天运20吨,结果提前3天运完。
这批黄沙有多少吨?
3,新兴机械厂原计划30天生产一批机器,实际每天比原计划多生产80台,结果提前25天就完成了任务。
这批机器有多少台?
第二十周速算与巧算
(一)
专题简析:
速算与巧算是计算中的一个重要组成部分,掌握一些速算与巧算的方法,有助于提高我们的计算能力和思维能力。
这一周我们学习加、减法的巧算方法,这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质,通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里,蕴含着一种重要的解决问题的策略。
转化问题法即把所给的算式,根据运算定律和运算性质,或改变它的运算顺序,或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
例1:
计算9+99+999+9999
分析与解答:
这四个加数分别接近10、100、1000、10000。
在计算这类题目时,常使用减整法,例如将99转化为100-1。
这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)
=10+100+1000+10000-4
=11106
练习一
1,计算99999+9999+999+99+9
2,计算9+98+996+9997
3,计算1999+2998+396+497
4,计算198+297+396+495
5,计算1998+2997+4995+5994
6,计算19998+39996+49995+69996
例2:
计算489+487+483+485+484+486+488
分析与解答:
认真观察每个加数,发现它们都和整数490接近,所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490×7-1-3-7-5-6-4-2
=3430-28
=3402
想一想:
如果选480为基准数,可以怎样计算?
练习二
1,50+52+53+54+51
2,262+266+270+268+264
3,89+94+92+95+93+94+88+96+87
4,381+378+382+383+379
5,1032+1028+1033+1029+1031+1030
6,2451+2452+2446+2453
例3:
计算下面各题。
(1)632-156-232
(2)128+186+72-86
分析与解答:
在一个没有括号的算式中,如果只有第一级运算,计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。
(1)632-156-232
(2)128+186+72-86
=632-232-156=128+72+186-86
=400-156=(128+72)+(186-86)
=244=200+100=300
练习三
计算下面各题
1,1208-569-208
2,283+69-183
3,132-85+68
4,2318+625-1318+375
例4:
计算下面各题。
1.248+(152-127)2.324-(124-97)3.283+(358-183)
分析与解答:
在计算有括号的加减混合运算时,有时为了使计算简便可以去括号,如果括号前面是“+”号,去括号时,括号内的符号不变;如果括号前面是“-”号,去括号时,括号内的加号就要变成减号,减号就要变成加号。
我们可以把上面的计算方法概括为:
括号前面是加号,去掉括号不变号;括号前面是减号,去掉括号要变号。
1.248+(152-127)2.324-(124-97)3.283+(358-183)
=248+152-127=324-124+97=283+358-183
=400-127=200+97=283-183+358
=273=297=100+358=458
练习四
计算下面各题
1,348+(252-166)3.462-(262-129)
2,629+(320-129)4.662-(315-238)
5,5623-(623-289)+452-(352-211)
6,736+678+2386-(336+278)-186
例5:
计算下面各题。
(1)286+879-679
(2)812-593+193
分析与解答:
在计算没有括号的加减法混合运算式题时,有时可以根据题目的特点,采用添括号的方法使计算简便,与前面去括号的方法类似,我们可以把这种方法概括为:
括号前面是加号,添上括号不变号;括号前面是减号,添上括号要变号。
(1)286+879-679
(2)812-593+193
=286+(879-679)=812-(593-193)
=286+200=812-400
=868=412
练习五
计算下面各题。
1,368+1859-859
2,582+393-293
3,632-385+285
4,2756-2748+1748+244
5,612-375+275+(388+286)
6,756+1478+346-(256+278)-246
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