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10年高考试题
2010年高考试题
2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后,将本试卷降答题卡一同交回,满分150分,考试用时120分钟 注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填 写清楚,并认真找准条形码上的准考证号,姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在,每小题给出的四个选项中,参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式P=P(A)+P(B) S=4πR2如果事件A、B相互独立,那么P=P(A)-P(B) 一、选择题 ?
1,4?
?
1,5?
?
2,4?
?
2,5?
【解析】C:
本题考查了集合的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查.∵A={1,3}。
B={3,5},∴A?
B?
{1,3,5},∴CU(A?
B)?
{2,4}故选C.不等式 x?
3<0的解集为x?
2x?
2?
x?
3 xx?
?
2 xx?
?
2或x?
3xx?
3【解析】A:
本题考查了不等式的解法 ?
?
?
?
?
?
?
?
x?
3?
0∵x?
2,∴?
2?
x?
3,故选A 已知sin?
?
2,则cos(x?
2?
)?
3 1 ?
1155?
9933【解析】B:
本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵SINA=2/3, cos(?
?
2?
)?
?
cos2?
?
?
(1?
2sin2?
)?
?
∴ 函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是y=ex?
119 -1(x>0) (B)y=ex?
1+1(x>0)+1(x?
R) (C)y=ex?
1-1(x?
R) (D)y=ex?
1【解析】D:
本题考查了函数的反函数及指数对数的互化,∵函数Y=1+LN(X>1),∴ ln(x?
1)?
y?
1,x?
1?
ey?
1,y?
ex?
1?
1 ?
x?
?
1?
(5)若变量x,y满足约束条件?
y?
x则z=2x+y的最大值为 ?
3x?
2y?
5?
1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C:
本题考查了线性规划的知识。
∵作出可行域,作出目标函数线,可得直线与∴即为,当x?
1,y?
1时 y?
x与3x?
2y?
5的交点为最优解点, zmax?
3 (6)如果等差数列?
an?
中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+?
…+a7=14 (B)21 (C)28 (D)35【解析】C:
本题考查了数列的基础知识。
1a1?
a2?
?
?
a7?
?
7?
(a1?
a7)?
7a4?
28a?
a4?
a5?
12,∴a4?
42∵3 若曲线y?
x?
ax?
b在点(0,b)处的切线方程是x?
y?
1?
0,则 a?
1,b?
1 (B)a?
?
1,b?
1(C)a?
1,b?
?
1 (D)a?
?
1,b?
?
1【解析】A:
本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵ 2y?
?
2x?
ax?
0?
a,∴a?
1,(0,b)在切线x?
y?
1?
0,∴b?
1 已知三棱锥S?
ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面 ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 2 35 (B)4437 (D) 44(C) 【解析】D:
本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SSE于F,连BF,∵正三角形ABC,∴E为BC中点,∵BC⊥AE,SA⊥BC,∴BC⊥面SAE,∴BC⊥AF,AF⊥SE,∴AF⊥面SBC,∵∠ FAE?
3ABF为直线AB与面SBC所成角,正三角形边长3,∴,CEB 33sin?
ABF?
4AS=3,∴SE=23,AF=2,∴ A 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种 【解析】B:
本题考查了排列组合的知识 ∵先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信 22C?
63C?
1844封有,余下放入最后一个信封,∴共有 ?
?
?
?
?
?
?
?
△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若CB=a,CA=b,?
?
?
?
b=2,则CD= a=1, 12213443a+b a+b a+b a+b33335555【解析】B:
本题考查了平面向量的基础知识 BDBC1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
∵CD为角平分线,∴ADAC2,∵AB?
CB?
CA?
a?
b,∴?
?
?
?
2?
?
?
?
2?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
2?
2?
1?
AD?
AB?
a?
bCD?
CA?
AD?
b?
a?
b?
a?
b333,∴3333 与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 有且只有1个 有且只有2个有且只有3个 有无数个【解析】D:
本题考查了空间想象能力 ∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上,∴三个圆柱面有无数个交点, 3 x2y23已知椭圆C:
2?
2?
1的离心率为,过右焦点F且斜率为k ab2?
?
?
?
?
?
?
?
的直线于C相交于A、B两点,若AF?
3FB。
则k= 1 2 3 2 3?
?
?
?
?
?
?
?
e?
A(x1,y1),B(x2,y2),∵AF?
3FB,∴y1?
?
3y2,∵2,设【解析】B:
222x?
4y?
4t?
0,a?
2t,c?
3t,b?
t,∴直线AB方程为x?
sy?
3t。
代入消去x, 23stt2y1?
y2?
?
2,y1y2?
?
2222(s?
4)y?
23sty?
t?
0s?
4s?
4,∴,∴ 123stt22s2?
?
2y2?
?
2,?
3y2?
?
22,k?
2s?
4s?
4,解得 已知α是第二象限的角,tanα=1/2,则cosα=__________ 255:
本题考查了同角三角函数的基础知识【解析】 ?
tan?
?
?
∵ 125cos?
?
?
2,∴5 (14)(x+1/x)9的展开式中,x3的系数是_________ 【解析】84:
本题考查了二项展开式定理的基础知识 1Tr?
1?
C9rx9?
r()r3C?
849?
2r?
3,r?
3x9∵,∴,∴ (15)已知抛物线C:
y2=2px的准线l,过M且斜率为A,与C的一个交点为B,若 的直线与l相交于 ,则p=_________ 【解析】2:
本题考查了抛物线的几何性质 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
22y?
2px3x?
(?
6?
2p)x?
3?
0y?
3x?
3设直线AB:
,代入得,又∵AM?
MB, x?
∴ 1p?
22p?
4P?
12?
0,解得p?
2,p?
?
62,解得 已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共 弦,AB?
4,若OM?
ON?
3,则两圆圆心的距离MN?
。
【解析】3:
本题考查球、直线与圆的基础知识 4 ∵ON=3,球半径为4,∴小圆N的半径为7,∵小圆N中弦长AB=4,作NE垂直于AB,∴NE=3,同理可得OBNMEAME?
3,在直角三角形ONE中,∵NE=3,ON=3,∴ ?
EON?
?
6,∴ ?
MON?
?
3, ∴MN=3 三、解答题;本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
?
ABC中,D为边BC上的一点,BD?
33,sinB?
53,cos?
ADC?
,求AD。
135【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
?
ADC与?
B的差求出?
BAD,根据同角关系及差角公式求出?
BAD的正弦,在三角形ABD中,正弦定理可求得AD。
已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1?
a2?
2(11111?
),a3?
a4?
a5?
64(?
?
)a1a2a3a4a5求{an}的通项公式;设bn?
(an?
12),求数列{bn}的前n项和Tn。
an【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。
设出公比根据条件列出关于 a1与d的方程求得a1与d,可求得数列的通项公式。
中求得数列通项公式,可求出BN的通项公式,其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1 证明:
DE为异面直线AB1与CD的公垂线; 5
设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1-AC1-B1的大小 【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。
要证明DE为AB1与CD的公垂线,即证明DE与它们都垂直,AE=3EB1,有DE与BA1平行,A1ABB1为正方形,可证得,证明CD与DE垂直,取AB中点F。
连结DF、FC,证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。
条件将异面直线AB1,CD所成角找出即为?
FDC,设出AB连长,求出所有能求出的边长,再作出二面角的平面角,根据所求的边长可通过解三角形求得。
如图,M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电源能通过T1,T2,T3的概率都是P,电源能通过T4的概率是,电源能否通过各元件相互独立。
已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为。
求P; 求电流能在M与N之间通过的概率。
【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率, 设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将T1,T2,T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得P。
将MN之间能通过电流用基本事件表示出来,互斥事件与独立事件的概率求得。
已知函数f=x-3ax+3x+1。
设a=2,求f的单调期间; 设f在区间中至少有一个极值点,求a的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用,主要考查了用导数研究函数的单调区间、 6 32极值及函数与方程的知识。
求出函数的导数,导数大于0,可求得增区间,导数小于0,可求得减区间。
?
?
求出函数的导数f(x),在内有极值,即为f(x)在内有一个零点,?
?
即可根据f
(2)f(3)?
0,即可求出A的取值范围。
x2y2已知斜率为1的直线1与双曲线C:
2?
2?
1(a?
0,b?
0)相交于B、D两点,且BD的 ab中点为M 求C的离心率; 设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17证明:
过A、B、D三点的圆与x轴相切。
【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。
直线过点及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于BD两点的中点为,可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。
利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含A的代数式表示,即可求得A,则A点坐标可得,于A在X轴上所以,只要证明2AM=BD即证得。
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