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流体力学习题解答
第2章流体静力学
2.1大气压计的读数为100.66kPa(755mmHg)水面以下7.6m深处的绝对压力
为多少?
知:
Pa=100.66KPa方=1000kg/m3h=7.6m
求:
水下h处绝对压力P
P=Pa,:
gh
御=100.69.80710007.6
解:
=175KPa
2.2烟囱高H=20m烟气温度ts=300C,压力为ps,确定引起火炉中烟气白动
流通的压力差。
烟气的密度可按下式计算:
p=(1.25-0.0027ts)kg/m3,空气p=1.29kg/m3。
解:
把ts=300它代入Ps=(1.25-0.0027ts)kg/m3得
3:
s=(1.25-0.0027ts)kg/m
=(1.25-0.0027300)kg/m3
3
=0.44kg/m
3
压力差Ap=(Pa-Ps)gH,把Pa=1.k2g93m,/3
R=0.44kg/m,g=9.8N/kg,H=20m分别代入上式可得
△p=(Pa-Ps)gH=(1.29-0.44)9.820Pa
=166.6Pa
2.3已知大气压力为98.1kN/m2。
求以水柱高度表示时:
(1)绝对压力为
117.2kN/m2时的相对压力;
(2)绝对压力为68.5kN/m2时的真空值各为多少?
命军:
(1)相对压力:
pa=p-p大气=117.72-98.1=19.62KN/m2
以水柱高度来表示:
h=pa/pg=19.62*103/(9.807*103)=2.0m
2
(2)真空值:
pv=pa_p=98.1-68.5=29.6KN/m
33
以水枉局度来表示:
h=pa/Pg=29.6*10/(9.807*10)=3.0m
2.4如图所示的密封容器中盛有水和水银,若A点的绝对压力为300kPa,表
面的空气压力为180kPa,贝怵高度为多少?
压力表B的读数是多少?
命车:
水的密度1000kg/m3,水银密度13600kg/m3
A点的绝对压力为:
Pa=P0+Ph2°gh+pHgg(0.8)
300103=180103+10009.8h+136009.80.8
求得:
h=1.36m
压力表B的读数
pg=p一pa=(300-101)KPa=199KPa
2.5如图所示,在盛有油和水的圆柱形容器的盖上加载F=5788N已知h1=50cm
h2=30cmd=0.4cm,油密度p油=800kg/m3水银密度pHg=13600kg/m3,求U型管中
水银柱的高度差H。
2.6如右图所示为一密闭水箱,当U形管测压计的读数为12cm时,试确定压
力表的读数。
ft?
:
容器内真空压强:
p0=PHggh=13600^9.8X0.12=16005.24
压力表的读数
=9.80731000-16005.24
=13415.8Pa
2.7如图所示,一密闭容器内盛有油和水,并装有水银测压管,已知油层
hi=30cmh2=50cmh=40cm油的密度p油=800kg/m3,水银密度pHg=13600kg/m3
求油面上的相对压力。
命军:
设油面的绝对压力为p
在水和汞接触面上有如下压力平衡关系:
Pa+PHgg(hi+h2-h)=p+p油gh〔+P水gh2
则油面的相对压力
p-Pa=PHgg(hi+h2-h)-p油g^-P水gh
p-Fa=136009.8070.4-8009.8070.3-10009.8070.5
=46093pa
2.8如图所示,容器A中液体的密度p
A=856.6kg/m3,容器B中液体的密度pB=1254.3kg/m3,
U形差压机中的液体为水银。
如果B中的压力为
200KPa求A中的压力。
解:
设水银U形管两边的水银面分别为1、2,则有
•一3_3
P1=Pb-庭几=200KPa-1254.3kg/m9.8075m10KPa=138.5KPa
P2=R-P贡gh=138.5KPa-13600kg/m3K9.807><0.04x10'KPa=133.2KPa
PA=P2^gh=133.2KPa856.6kg/m39.8072m10"KPa=150.3KPa
2.9U形管测压计与气体容器K相连,如图所示已知h=500mmH=2m求U
形管中水银面的局度差^H为多少?
解:
设K中真空压强为P,大气压为Pa,依题意得
Pa-P=H2OgH
Pa-P=曩如
得
RogH=RggLH=
10002
0.147m
13600
2.10试按复式测压计的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压力p。
已知:
H=3mhh=1.4m,h2=2.5m,h3=1.2m,h4=2.3m,水银密度p=13600kg/m3。
解:
如图所小标出分界面1、2和3,根据等压面条件,分界面为等压面
P=10132.5+13600X9.8X(2.3-1.2+2.5-1.4)-1000X9.8X(3-1.4)=361004.44Pa
2.11如图所示,试确定A与B两点的压力差;已知:
h〔=500mmh2=200mmh3=150mmh4=400mm酒精的密度p1=800kg/m,水银的密度pHg=13600kg/m3水的密度p=1000kg/m3.
解:
如图,可写处各个液面分界面的压强表达式:
Pa=Pc—P水ghi
Pe=PdP酒gh3
Pb=Pe-P汞gh4-p水g(h5—h4)
联立方程,代入数据解得
pA—Pb=p汞g(h2*h4)-p水g(h1+h4—h5)—P酒gh3
=136009.8(0.20.25)-10009.8(0.50.25-0.4)-8009.80.15
=55370pa
2.12用倾斜微压计来测量通风管道中的A,B两点的压力差△p,如图所示。
L=20cng求压力差△p为
(1)若微压计中的工作液体是水,倾斜角a=45°,
多少?
(2)
L=3.0m,高h=1.0m,宽
2.13有运水车以30km/h的速度行驶,车上装有长
b=2.0m的水箱。
该车因遇到特殊情况开始减速,经100m后完全停下,此时,
x/1.5=a/g求出:
x=0.053m
贝Uh=1-0.053=0.947m水体积:
V=2*3*h=6x0.947=5.682m3
则水箱内的盛水量为:
m=pV=1000x5.682kg=5682kg
2
2.14如图所示,一正方形容器,底面积为bxb=(200x200)mm,m1=4Kgjo当它装水
的高度h=150mm寸,在m2=25Kg的载荷作用下沿平■面滑动。
若容器的底与平面间的摩擦系
xax6.16
-=arctan—=arctan=32.152
g9.8
Zs=-史(一。
)=616100=67.5mm
超高g29.8
所以最小高度
H=hzs=15067.5=217mm=0.217m
2.15如图所示,为矩形敞口盛水车,长L=6mm宽b=2.5mm,高h=2mm静止时
水深h1=1m,当车以加速度a=2邱S前进时,试求
(1)作用在前、后壁的压力;
(2)如果车内充满水,以a=1.5mS2,的等加速前进,有多少水溢出?
a26
解:
(1)刖壁处的超局7=——x=——*—=—0.612m
Zsg9.82
则前壁水的高度h前=h1十zs=0.388m
形心高度he="里=°・194m
前壁受到的压力
F前=pghcA=1000*9.8*0.194*0.388*2.5=1847N
后壁压力
F后=pghc2A=1000*9.8*(1+0.612)/2*(1+0.612)*2.5=31832N
aL3a
(2)当a=1.5m2时。
后壁处的超高7s=一一一=—⑴
SZSg2g
车内水的体积v=(h—ZS)*L*b..
(2)
流出的水的体积△v=Lbh-V..(3)
3
联立
(1)⑵(3)式子,得△v=6.88m
2.16如图所示,为一圆柱形容器,直径d=300mm高H=500mn^器内装水,
水深h1=300mm使容器绕垂直轴作等角速度旋转。
(1)试确定水刚好不溢出的转速n1
(2)
h2
求刚好露出容器地面时的转速8,这时容器停止旋转,水静止后的深度
等于于多少?
解:
半,无水溢出时,桶内水的体积旋转前
(1)旋转抛物体的体积等丁同高圆柱体的体积的-后相等,故
^xO^2xO^=?
x033x0j5-i(^xOVx^J
%=0.4
w-"乂由:
*&,贝[J
J2^J2x9_8O7x0_4
ifif=:
—=—;
r0_15
无水溢出的最大转速为:
=177r/nm
⑵刚好露出容器地面是海此时S年-鼻严
=199r/nn
迁.1ft"r
容器内水的体积
-xO32xAj=-xOJ3xOj5--(-xO.33xOJ)4424
解得
2.17如图所示,为了提高铸件的质量,用离心铸件机铸造车轮。
已知铁水密
度p=7138kg/m3,车轮尺寸h=250mm,d=900mm,求转速n=600r/min
时车轮边缘处的相对压力。
解:
转速①=6°^=62.8&63s—,
30
超高Zs二_^=6320.452.‘Im
2g29.807
边沿压强p=、gh=410.259.8077138=2.88MPa
2.18如图所示,一圆柱形容器,直径d=1.2m,充满水,并绕垂直轴等角速度
旋转。
在顶盖上r。
=0.43m处安装一开口测压管,管中的水位h=0.5m。
问此容器的转速n为多少时顶盖所受的总压力为零?
解:
(1)取圆柱中心轴为坐标轴,坐标原点取在顶盖中心分方程式
。
处,z轴铅直向上。
由压力微
积分上式,得
dp=p(32rdr—gdz)
22、・r
p=—-gz)c
2
由边界条件:
r=r0,z=0时,p=pa+Th,得积分常数容器中液体内各点的静压力分布为
"2r2?
-2r02
p=Pah--gz)-——
22
2
丁是,
=pa1]"2(r2-「02)•(h—z)
2(a)
故容器顶盖上各点所受的静水压力(相对压力)为
1、…9
pm(z=0)=p-pa=2",(rF)•h
所以容器顶盖所受的静水总压力为
R
P=0pmE)2二rdr=
R,
o侦"(r-r0)h]2二rdr
pa
h
=1二R2"2(R2-2*)二R2h
4
令静水总压力P=0,得
12_2222
—二R:
■(R-2r0)二Rh=0
4
整理上式,得
4gh
49.810.5
2r。
2一R2
oo=44.74rad/s
20.432_0.62
则顶盖所受静水总压力为零时容器的转速为
2二
44.74
2__374
=7.12r.s
2.19一矩形闸门两面受到水的压力,左边水深Hi=5m,右边水深H2=3m,
闸门与水平面成a=45倾斜角,如图2.52所示。
假设闸门的宽度b=1m,试求作用在闸门上的总压力及其作用点
解:
55
F左=pgA1yc1=10009.807—=173364.9N
sin452
33
F右=pgA2yc2=10009.807-=62411.4N
sin452
AF=F左—F右=110954N
2
yd1
25八…
=—yb1=0-2.357m
33sin450
223
yd2=—yb2=0=1.4142m
33sin45
F^yd^F^yd2oQQV
yd==2.887m
:
F
解得:
y=2.887m(距下板)
2.20如图所示为绕较链转动的倾斜角为a=
60的白动开启式水闸,当水闸一侧的水位H=2m,另一侧的水位h=0.4m时,闸门白动开启,试求较链至水闸下端的距离
X。
!
¥:
依题意,同时设宽度为b,得
-1hbJcxi
右边:
Fi-:
gA]—hAi=ydi-yci
2sinayciAi
yci=
h
2sin:
JCxi
3
bh
i2sin3:
作用点距离底端距离为:
y〔=-ydi=
sin:
3sin:
右边液体对x处支点的转矩:
Mi=(x-yi)*Fi
左F2=;-gA21HA2=些
2sina
yd2=yc2^^yc2=—
yc2A22sin:
JCx2
bH3
~3
i2sin3:
作用点距离底端距离为:
y2=-^―-yd2=H
sin:
3sin:
M2=(x-y2)*F2
在刚好能自动开启时有:
M〔=M2代入数据求得
x=0.8m
2.2i图中所示是一个带较链的圆形挡水门,其直径为d,水的密度为p,白由页面到较链的淹深为H。
一根与垂直方向成a角度的绳索,从挡水门的底部引出水面。
假设水门的重量不计,试求多大的力F才能启动挡水门。
解:
作用点位置:
二d4
L.H-64——
2(—■H)
2
■:
d2
即作用点离水闸顶端距离为h
压力:
F压=Pg(}+H
土-
2
■:
d
二d4
_64
二d2
4
刚能启动挡水门时有如下力矩平衡式:
M水压力=M拉力
由题得.
sin
Ind4
K+M—
2dnd2
3+H)X-
24
_,d..、
xPg(—+H)24
简化得:
2/d4H.5"gd(—
32sin
所以:
F
、2d4H
5"gd()—
25—时,
32sin:
水门能自动打开;
2.22图中所示为盛水的球体,直径为d=2m,球体下部固定不动,求作用与
螺栓上的力
解:
球体左右对称,只有垂直方向的作用力:
F=Fz=P水gvp
=1039.807
■:
23
12
=10269N
2.23如图所示,半球圆顶重30KN,底面由六个等间距的螺栓锁着,顶内装满水。
若压住圆顶,各个螺栓所受的力为多少?
解:
半球圆顶总压力的水平分力为零,总压力等于总压力的垂直分力,虚压力体,垂直分力向上。
2
Fz=pg[兀R2(R+h)—3兀F3]
2
=1000X9.8X[兀X22X(2+4)—3x兀X23]
=574702N
设每个螺栓所受的力为F,则
Fz—G=6F即:
574702430000N=6 则F=90784N 2.24图中所示为一直径d=1.8时长L=1m的圆柱体,放置于a=60的斜面上0,左侧受水压力,圆柱与斜面接触点A的深度h=0.9m。 求此圆柱所受的总压力。 命军: 1)分析圆柱左面,BC段受力: 由题可知,a=60,d=1.8m,二BC=dcos60=0.9m 一一BC Fbcx=: ;ghcA=: gBCI=3969N FBCZ=gVBC 其中 二d260123.141.82123 Vi=(————--BC*sin60)L=(0.9sin60)1=0.0732m 43602242 则Fbcz=MVi=716N 2)分析圆柱下面,ACE段受力: 由于下面与水接触的部分左右对称,因此Facex=0,FACEz=Pgv2 其中2 二d21201d V2=(dcos60dsin60dsin60cos60)L 436022 __2 3141813 =(1.8cos601.8sin602土一上1.8sin600.9cos60)1=1.9m3 122 FACEz=: gV2=18632N 则圆柱所受的总压力 F=3;(FbczFacez)2Fbcx2='(18632716)2-39692=19751N 由于是圆柱型,所以作用线过轴心的中点处,作用线与园柱表面交点为合力作用点,本作用线与水平面所成的角度如下: FBCzFACEz19348 -=arctan=arctan=78.41 2.25如图所示的抛物线形闸门,宽度为5m较链于B点上。 试求维持闸门平衡的所需要的力F。 命军: 合力矩定理: 若平面汇交力系有合力,则合力对作用面内任一点 之矩,等于各个分力对同一点之矩的代数和 ;我们可以同过求个分力的力矩 来进行求解; 本题中由于为抛物线形闸门: 并过点(5,8),有Z=0.32X2平衡时,分析x方向的受力对B点的力 矩方向为: 顺时针,大小为: 55 2一^2一一_22一一一 M1=Dg(8_0.32x)5(0.32x)dx=15680(8_0.32x)xdx=2090667Nm 00 则垂直方向分力对B点的力矩(顺时针)为: 55 M2=注g(8_0.32x2)5xdx=49000(8_0.32x2)xdx=2450000Nm 00 平衡时有: M1+M2=8F 所以F=(2450000+2090667)/8=567583N 方法2: 直接积分 在x处的切线斜率为: 0.64x,他的垂线(力的作用线)斜率则为: -1/(0.64x) 则: x处力的作用线方程为: z'-0.32x2=-1/(0.64x)(x'-x) B点到力作用线的距离为: (原点(0,0)到任意直线Ax+By+C=0的距离dd=|C|/V(A2+B2) L=(0.32x2+1/0.64)/(1+1/(0.64x)2)0.5 5 8F=M=: g(8-0.32x2)5dxL 0 代入数据: 可求出F= G=2.45N,半径r=4cm,孔口d=5cm,水深 H=20cm。 试求提起该球体所需的最小力F。 式: 浸入水中球体曲面可分2部分,他们的压力体分别表示 为V1.V2 G+pgV1=pgV2+F所以: F=pg(V1-V2)+Gh=r-(r2-r"2)0.5=0.04-(0.042-0.0252)0.5=0.01m 球缺体积V=3.14x0.012x(0.04-0.00333)=11.52x10-6R3 所以: V1=3.14*0.0252x(H-(2r-2h))-V =3.14*0.0252x(0.2-0.08+0.02)-11.52x10-6 =263.37x10-6n3 V2=4/3ttRA3(3.14*0.0252)(2r-2h)-2V =4/3兀0.04*(3.14*0.0252)(0.08-0.02)-2x11.52x10-6 =(268.08-117.81-23.04)x10-6 =127.23x10-6 压力体V1-V2=136.14x10-6n3 F=G+pg(V1-V2)=2.45+9800x136.14x10-6=3.78N 2.27一块石头在空气中的重量为400N,当把它浸没在水中时,它的重量为222N,试求这块石头的体积和它的密度。 解: 由题意得 v=—31780.018m3 1039.807 2.28如图所示,转动桥梁支撑于直径为d=3.4m的原型浮筒上,浮筒漂浮于 直径d1=3.6m的室内。 试求: 4 (1)无外载荷而只有桥梁白身的重量G=29.4/10时,浮筒沉没在水中的深度 H; (2)当桥梁的外载荷F=9.81V04时的沉没深度h。 解: (1)由G=pg兀Hd2/4,由题意得,则 4 29.24X10=103X9.8X3.42X兀xH/4 则H=3.29m (2)由题意得G+F=pg兀h(d/2)2,则 29.42x104+9.81x104=103X9.8X兀x(34)2Xh 2 则h=4.41m
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