第三章弹性应力应变关系.docx

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第三章弹性应力应变关系

第三章弹性应力一应变关系，弹性问题的求解

理想弹性体：

1）物体是连续的，由连续介质组成，没有间隙，应力、应变和位移等是连续的;

2）物体是均匀的，各部分具有相同性质，弹性常数不随位置坐标改变；

3）物体各向同性；

4）物体是完全弹性的。

线性弹性理论非线性弹性理论塑性理论

§3・1广义虎克定律

v为横向变形系数，又称泊松比纯剪切应力状态时：

12=G12

G为剪切弹性模量，G=-

2（1。

）

一、广义虎克定律：

物理方程，本构方程，描述弹性体内任一点应力分量与应变分量之间的关系。

j1=°11"11C12'22C|333C14-12C15‘23C16‘31

'G22'22'G23'33'G24"12'G25"23'C26'31

33=务’11©2'220^3'33034'120^5'230^6"31

12=Q111'042T2'043"33'044"12'045"23'046"31

J23=岛11'052"22°53"33054"12°55"23°56"31

31=Q1'11032'22033'33034'12035"23036"31

或；11=S1；111SS2號二13S33二14S<2S5二2

'33

12=11'®2；-22'S43；-33'S44；-12'S45；-23'®6；-31

；23=Si1；「11'S52；「22'S53；「33'S54；「12'S55；「23'Si6；「31

；31=&1；-11'&2；-22'$3；-33'S6^12'S6^23'&6；-31

对各向同性的弹性材料，独立的弹性常数只有两个。

二、各向同性条件下的广义虎克定律

1

=己［二11-：

（二22二33）］

1

二己［二22一（二11二33）］

1

E［二33一（二11二22）］

1

12

2G

1

三、体积虎克定律

1-2

EL11二22二33）

31-2-

k称体积弹性模量，体积应变与平均正压力成正比。

四、用应变表应力的广义虎克定律

1

午二JS「f一：

（二11—2=「33）］

1

*［£J-3_］

1■■E

=_[i二11一.-Cm]

E

1-2。

E

11_

1+u

亠°E

；11r

（1）（1-2：

）

E

Gi_‘e•2」•；仆匚22_，e•2」22

或=33='-■ije'2=；ij

■,」为拉梅（Lame）弹性常数

§3・2弹性应变能

弹性应变能密度

单位体积内积蓄的弹性应变能U0

1CT

单拉时：

u0：

22E

1

纯剪时；U0=—•

2

三维应力时，正应力遇另外两个方向正应变分量垂直、且正应力分量与剪应变无关,

剪应变只与剪应力有关，故

Uo

利用广义虎克定律，有

1222和1

Uo（5j+存22+^33）—£（5^22+^22^33+^33^11）+亦（＜112+^23+631）］

1222Uo-i=2E［C711=）一2（；干2二产3—）］

Uo（qi）［（三….--）2G（；2；2；2）2G（；2；2；2）］

2112233112233122331J

Uo（；ij）匚—JG（；„；2）

：

Uo-ij

—S

-：

UoGj

j

■-'ij

、体积变化应变能密度和形状变化应变能密度

单位体积的体积改变积蓄的弹性应变能UV0

单位体积的形状改变积蓄的弹性应变能U0

31—2u2

"Uv0JF"=6EdF

Uvo取决于材料的弹性常数及平均正应力

U0二Uo-UV0

2E4G

U-0取决于材料的弹性常数及八面体剪应力.8

§3.3虚功原理（虚位移原理）

虚功原理：

在外力作用下处于平衡状态的物体,当经受微小虚位移u时，外力在虚位移ui

所作的总虚功W，等于虚位移ui在物体内部所引起的总虚应变能U。

W=U

!

!

!

'•■「•；jdv二FrUidv亠i.i.iTr'-Uids

VVV

【证明】：

设物体在体力Fi和面力Tj作用下处于平衡，则

、W=Fi、Uidv亠iiiTi、mds

VV

:

illFrudv亠III一n、：

udSi

VV

二FtUidv亠111（G、：

Ui）•jds（高斯定理）

VV

—；「ij,jFi）门Uidv亠|||'.‘j・：

fUi,jds

VV

:

jdV—U

V

虚功原理适用于任何连续体，不只限于弹性体。

§3.4最小总势能原理

在所有满足给定的几何边界条件的位移场中，其真实的位移场总是使总势能取最小值。

U=U（；訂二U（uJ、U=:

;订、门

hi（ujdv=F「udv亠inTruids

VVs

假定物体从平衡位置有微小的虚位移5ui，物体的尺寸和形状变化可忽略不计，则Fi和

Ti的大小及方向不变，符号可提出积分外。

[iiiU（Ui）dvinFUidviiiTiUids=O

VVs

[U-W]=0

二p为系统总势能，在给定外力作用下，实际位移总使总势能的一阶变分为零，即总势

能取驻值，而稳定平衡物体在有虚位移而偏离平衡位置时，势能总是增加，故驻值为极小值。

§3.5弹性问题得求解

、未知量与基本方程

15个未知量'■ij（X1,X2,X3）,；耳（为公2必），5（%,X2,X3）

15个基本方程

、边界条件与求解方法

基本方程给出通解，必须加上定解条件，

定解条件有初始条件和边界条件两方面，初始条件时指在某特定时刻得情况（一般不考虑动态问题时不讨论），边界条件时指弹性边界上外力和位移情况。

弹性力学中，边界条件有

1）应力边界条件（Fj,Tj已知）

33

=■e2U3

代入平衡方程式中，得

e2

cx1

ea」'2u

cx2

（八卩）皂十旳2出亦3=0丿

色3

（丸+丛）Uj,ji+^5」+F=0

不计体力时（丸+卩）Uj,ji+PUj,ji=0

上述以位移表示平衡方程为拉梅位移方程。

若给定位移边界则简单，若是应力边界，则

GP1二222-日2=3丁

匚e+2»和」

+n*

异U1'

CU3CUi

+

=Ti、

（欣1氐丿

ICX1Cx3j

。

1n广◎2^3"2。

Q3=3T

§3.6圣文南原理和线性叠加原理

一、圣文南原理

如果将作业在弹性体表面得某一个不大得局部面积上得力系，同作用在同一局部面积上的

另外形式得静力等效力所代替，那么载荷得这种不同分布对弹性体内应力分布得影响，只有

在距离载荷作用的局部面积很近得地方才显著,忽略不计。

而在距离载荷作用得局部面积较远得地方可

在求解弹性力学问题时，可利用圣文南原理，学，代替真实作用得复杂力学，可使问题大大简化,二、线性叠加原理

T—PA

改变一下边界条件，用简单得静力学等效力而且可使求解得解是足够精确。

设某一弹性体在面力T和体力Fi作用下得解为▽⑴打，同一弹性体在面力T和体力Fi作

用下解为賈2）ij,j，则就是这一弹性体在面力T,+T2，体力R+F2作用下的应力状态。

二⑵ij,j'F

（2）j=0壬刁］二二

（2）ijnj

二⑴ij,j；「

（1）ij,j〕亠〔F（i）i*F

（2）i=0T（ii厂T（2尸二i（jiyi（R）j

叠加原理只适用于小变形（线弹性条件），对弹性稳定问题及弹塑性问题，叠加原理不适用。

§3.7矩形截面梁的纯弯曲

M，梁在力偶M的作用下

设有一矩形截面梁，它两端作用这大小相等，方向相反得力偶发生弯曲，不计自重，求梁内任一点的应力、应变及位移。

、梁内任一点应力

足的，对应力边界条件,

因此，材力的解是弹性力学的解。

二、梁内任一点应变

22二’33=j'11

-MX

2

EI3

12

23

31

三、梁内任一点位移

Mx2

EI3

M

UiX/2flX2,X3

EI3

-：

u2

Mx2

-

.:

x2

EI3

U2

2EI3

2

X2f2X“X3

（a）

.:

u2

Mx2

-

.:

x2

EI3

U3

M上

X2X3f3X!

X2

EI3

由于I2=；23

.：

Xi；：

X2

=0

讦2Xi,X3fX2,X3M

丰=—

.Xi；X2

Xi

EI3

/U3込

X；：

X3

-0

讦3XXfXX

.X2:

X

MX3

EI3

.：

X3?

X1

-0

-：

fiX2,X3汗3Xi,X2

—；；二0

-X3-Xi

（c）

（d）

（e）

（c）对x2求偏导

（e）对x3求偏导

2

:

-fiX2,X3

0

-2

X3

二fiX2,X3

=ax2bx3cx2x3d

（d）对xi求偏导

2

：

：

f2Xi,X3

（e）对x3求偏导

（d）对x2求偏导

EI3

EI3

2EI32EI3X3

exifx3gXiX3h

：

：

2f3Xi，X2=0

■2

；X3

（e）对Xi求偏导

：

：

2f3Xi，X2=0

■2

：

X3

f3Xi,X3=

lix2xm

将fi,f2,f3代入（c）（d）（e）,有

eaj亠Igcx3=0

kf字:

;（Ig）%二0

kf-0

ib=0

c=0且e,k,i可用-a,-f,-b替换，即

Ui

EI3

bx

1vM2f2x1,X3i—2e~X2

3

x

2EI3

'1

M2

x3_a%fx3h

2EI3

M

u3xx3—b%-fx2m

El3

其中六个待定常数可由边界条件给出选取梁左端面中点o,则位移边界条件为

U30=0

=d=h=m=0

=i电）」£=

fa、

CU2

_f弧'

fA\

CU3

◎丿0

®3丿°5丿0

<^X3J

0

l&1J

0

'、®2g

=0

选取

CU3

fr、

CU3

cu1

®丿

0忌丿

0

疋念丿0

=a=b=f=0

EI3

X1X2

U2:

2EI3

X-

X2

U3

M

EI3

X2X3

此即梁的位移场。