北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》解析版.docx
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北师大版八年级数学下册单元测试《第1章三角形的证明》解析版
《第1章三角形的证明》
一、选择题
1.如果三角形的三个内角度数比为1:
1:
2,则这个三角形为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.非等腰直角三角形D.等腰直角三角形
2.下面命题不正确的是( )
A.两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形
B.两个外角相等的三角形是等腰三角形
C.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
D.两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
3.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是( )
A.a=﹣2B.a=﹣1C.a=1D.a=2
4.反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60°B.每个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°D.每个内角都大于60°
5.如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连接ED并延长到点F,使DF=DE,连接FC,若∠B=70°,则∠F的度数是( )
A.40B.70C.50D.45
6.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
A.6B.7C.8D.9
7.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )
A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里
二、填空题
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是 .
9.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是 .
10.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 .
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.
三、解答题
11.证明题:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:
PB≠PC.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN;(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)
13.已知∠AOB及其内部一点P,试讨论以下问题的解答:
(1)如图①,若点P在∠AOB的平分线上,我们可以过P点作直线垂直于角平分线,分别交OA、OB于点C、D,则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形;若点P不在∠AOB的平分线上(如图②),你能过P点作直线,分别交OA、OB于点C、D,得到△OCD是等腰三角形,且CD是底边吗?
请你在图②中画出图形,并简要说明画法.
(2)若点P不在∠AOB的平分线上(如图③),我们可以过P点作PQ∥OA,并作∠QPR=∠AOB,直线PR分别交OA、OB于点C、D,则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形.请你说明这样作的理由.
(3)若点P不在∠AOB的平分线上,请你利用在
(2)中学到的方法,在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D,使得△OCD是等腰三角形,且OD是底边.保留画图的痕迹,不用写出画法.
《第1章三角形的证明》
参考答案与试题解析
一、选择题
1.如果三角形的三个内角度数比为1:
1:
2,则这个三角形为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.非等腰直角三角形D.等腰直角三角形
【考点】三角形内角和定理.
【分析】由三角形的三个内角度数比为1:
1:
2,可设三角形的三个内角分别为:
x,x,2x,然后由三角形的内角和等于180°,即可得方程:
x+x+2x=180°,解此方程即可求得答案.
【解答】解:
∵三角形的三个内角度数比为1:
1:
2,
∴设三角形的三个内角分别为:
x,x,2x,
∴x+x+2x=180°,
解得:
x=45°,
∴三角形的三个内角度数分别为:
45°,45°,90°.
∴这个三角形为等腰直角三角形.
故选:
D.
【点评】此题考查了三角形的内角和定理.此题比较简单,解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1:
1:
2,设三角形的三个内角分别为:
x,x,2x,利用方程思想求解.
2.下面命题不正确的是( )
A.两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形
B.两个外角相等的三角形是等腰三角形
C.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
D.两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
【考点】等腰三角形的判定.
【分析】认真阅读各选项,结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得.
【解答】解:
A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°,有两等角的三角形是等腰三角形,正确;
B、外角相等,则对应的内角也相等,有两等角的三角形是等腰三角形,正确;
C、利用两直线平行,内错角相等,同位相等,可知,另外的两内角也相等,有两等角的三角形是等腰三角形,正确;
D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形,错误.
故选D.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定;找出各选项的正误是正确解答本题的关键.
3.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是( )
A.a=﹣2B.a=﹣1C.a=1D.a=2
【考点】反证法.
【分析】根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.
【解答】解:
用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例可以是:
a=﹣2,
∵(﹣2)2>1,但是a=﹣2<1,∴A正确;
故选:
A.
【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误,要说明数学命题的错误,只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法.
4.反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60°B.每个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°D.每个内角都大于60°
【考点】反证法.
【专题】证明题.
【分析】此题要运用反证法,由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立.然后推出不成立.得出选项.
【解答】解:
设三角形的三个角分别为:
a,b,c.
假设,a<60°,b<60°,c<60°,
则a+b+c<60°+60°+60°,
即,a+b+c<180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾.
所以假设不成立,即三角形中至少有一个角不小于60°.
故选B.
【点评】此题考查的知识点是反证法,解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连接ED并延长到点F,使DF=DE,连接FC,若∠B=70°,则∠F的度数是( )
A.40B.70C.50D.45
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.
【分析】由题意可得EB=ED,根据等边对等角的性质,易得∠B=∠EDB=∠ACB,即可得EF∥AC,又由AE=BE,根据平行线等分线段成比例定理,可得BD=CD,然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD,即可得∠F=∠BED.
【解答】解:
∵以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,
∴EB=ED,
∴∠EDB=∠B=70°,
∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B,
∴∠EDB=∠ACB,
∴EF∥AC,
∵E是AB的中点,
即BE=AE,
∴BD=CD,
在△EBD和△FCD中,
,
∴△EBD≌△FCD(SAS),
∴∠F=∠BED=40°.
故选A.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意理解题意.
6.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
A.6B.7C.8D.9
【考点】等腰三角形的判定.
【专题】分类讨论.
【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:
①AB为等腰△ABC底边;②AB为等腰△ABC其中的一条腰.
【解答】解:
如上图:
分情况讨论.
①AB为等腰△ABC底边时,符合条件的C点有4个;
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个.
故选:
C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.
7.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )
A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里
【考点】等腰三角形的判定与性质;方向角;平行线的性质.
【专题】应用题.
【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°,∠N=40°,则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数,证明三角形MNP是等腰三角形,即可求解.
【解答】解:
MN=2×40=80(海里),
∵∠M=70°,∠N=40°,
∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°,
∴∠NPM=∠M,
∴NP=MN=80(海里).
故选:
D.
【点评】本题考查了方向角的定义,以及三角形内角和定理,等腰三角形的判定定理,理解方向角的定义是关键.
二、填空题
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是 6 .
【考点】等腰三角形的判定与性质.
【分析】由在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理,易求得各角的度数,继而求得答案.
【解答】解:
∵在△ABC中,AB=AC,∠ABD=36°,
即△ABC是等腰三角形,
∴∠C=∠B=36°,
∴∠BAC=108°,
∵∠DAE=∠EAC=36°,
∴∠BAD=36°,
∴∠BAD=∠B=36°,∠EAC=∠C=36°,
∴△ABD,△ACE是等腰三角形,
∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°,
∴△ADE,△ABE,△ACD是等腰三角形.
故答案为:
6.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
9.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是 9 .
【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】由在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,易证得△DOB与△EOC是等腰三角形,即DO=DB,EO=EC,继而可得△ADE的周长等于AB+AC,即可求得答案.
【解答】解:
∵在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,
∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO,
∵DE∥BC,
∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO,
∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,
∴OD=BD,OE=CE,
∵AB=5,AC=4,
∴△ADE的周长为:
AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.
故答案为:
9.
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此题难度适中,注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.
10.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ②③④ .
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.
【考点】等腰三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确;③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立.
【解答】解:
应添加的条件是②③④;
证明:
②当∠BAD=∠CAD时,
∵AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高;
则△ABD≌△ACD,
∴△BAC是等腰三角形;
③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE、AF;
∵AB+BD=CD+AC,
∴DE=DF,又AD⊥BC;
∴△AEF是等腰三角形;
∴∠E=∠F;
∵AB=BE,
∴∠ABC=2∠E;
同理,得∠ACB=2∠F;
∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;
④△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得:
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,
即(AB+BD)(AB﹣BD)=(AC+CD)(AC﹣CD);
∵AB﹣BD=AC﹣CD①,
∴AB+BD=AC+CD②;
∴①+②得:
,
2AB=2AC;
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形
故答案为:
②③④.
【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质;本题的难点是结论③的证明,能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键.
三、解答题
11.证明题:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:
PB≠PC.
【考点】反证法.
【专题】证明题.
【分析】运用反证法进行求解:
(1)假设结论PB≠PC不成立,PB=PC成立.
(2)从假设出发推出与已知相矛盾.
(3)得到假设不成立,则结论成立.
【解答】证明:
假设PB≠PC不成立,则PB=PC;
∵在△ABP和△ACP中,
,
∴△ABP≌△ACP,
∴∠APB=∠APC;
与∠APB≠∠APC相矛盾.因而PB=PC不成立,则PB≠PC.
【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN;(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)
【考点】等腰三角形的判定与性质;作图—基本作图.
【专题】作图题.
【分析】
(1)以D为圆心,以任意长为半径画弧,交AD于G,交DC于H,分别以G、H为圆心,以大于
GH为半径画弧,两弧交于N,作射线DN,交AM于F.
(2)求出∠BAD=∠CAD,求出∠FAD=
×180°=90°,求出∠CDF=∠AFD=∠ADF,推出AD=AF,即可得出答案.
【解答】解:
(1)如图所示:
(2)△ADF的形状是等腰直角三角形,
理由是:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AF平分∠EAC,
∴∠EAF=∠FAC,
∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=
∠EAC+
∠BAC=
×180°=90°,
即△ADF是直角三角形,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB,
∴∠EAF=∠B,
∴AF∥BC,
∴∠AFD=∠FDC,
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADF=∠FDC=∠AFD,
∴AD=AF,
即直角三角形ADF是等腰直角三角形.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图,等腰三角形的性质和判定的应用,主要培养学生的动手操作能力和推理能力,题目比较典型,难度也适中.
13.已知∠AOB及其内部一点P,试讨论以下问题的解答:
(1)如图①,若点P在∠AOB的平分线上,我们可以过P点作直线垂直于角平分线,分别交OA、OB于点C、D,则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形;若点P不在∠AOB的平分线上(如图②),你能过P点作直线,分别交OA、OB于点C、D,得到△OCD是等腰三角形,且CD是底边吗?
请你在图②中画出图形,并简要说明画法.
(2)若点P不在∠AOB的平分线上(如图③),我们可以过P点作PQ∥OA,并作∠QPR=∠AOB,直线PR分别交OA、OB于点C、D,则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形.请你说明这样作的理由.
(3)若点P不在∠AOB的平分线上,请你利用在
(2)中学到的方法,在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D,使得△OCD是等腰三角形,且OD是底边.保留画图的痕迹,不用写出画法.
【考点】作图—应用与设计作图;角平分线的性质;等腰三角形的判定.
【分析】
(1)作∠AOB的平分线,过P点作角平分线的垂线,分别交角的两边OA、OB于点C、D,则△OCD是以CD为底边的等腰三角形;
(2)根据PQ∥OA,得出∠QPR=∠OCD,进而得出OD=CD,即可得出答案;
(3)作QP∥DO,再作∠ODR=∠O,即可得出答案.
【解答】解:
(1)能.
画法:
作∠AOB的平分线,过P点作角平分线的垂线,分别交角的两边OA、OB于点C、D,则△OCD是以CD为底边的等腰三角形,如图①.
(2)∵PQ∥OA,
∴∠QPR=∠OCD,
又∵∠QPR=∠AOB,
∴∠OCD=∠AOB.
∴OD=CD.
即△OCD是以OC为底的等腰三角形.
(3)如图②.
【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识;作角平分线是正确解答本题的关键.
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