小学奥数知识手册2.docx
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小学奥数知识手册2
11.定义新运算
基本概念:
定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:
严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:
①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12.数列求和
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念:
首项:
等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数:
等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:
这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:
sn,=(a1+an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an-a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:
确定已知量和未知量,确定使用的公式;
13.二进制及其应用
十进制:
用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:
N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
二进制:
用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
(2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:
An不是0就是1。
十进制化成二进制:
①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
14.加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:
m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的完成步骤。
基本特征:
每一步只能完成任务的一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线的一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长的线段数×宽的线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15.质数与合数
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1 求约数个数的公式: P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数: 如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 16.约数与倍数 约数和倍数: 若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。 公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质: 1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。 4、 几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 例如: 12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有: 1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公约数有: 1、2、3、6; 那么12和18最大的公约数是: 6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法: 1、分解质因数法: 先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法: 先找公有的约数,然后相乘。 3、辗转相除法: 每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。 公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 12的倍数有: 12、24、36、48……; 18的倍数有: 18、36、54、72……; 那么12和18的公倍数有: 36、72、108……; 那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36; 最小公倍数的性质: 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法: 1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法 17.数的整除 一、基本概念和符号: 1、整除: 如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、常用符号: 整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”; 二、整除判断方法: 1. 能被2、5整除: 末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除: 末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除: 末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除: 各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 三、整除的性质: 1. 如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2. 如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。 3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 18.余数及其应用 基本概念: 对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0 余数的性质: ①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。 ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。 ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 19.余数、同余与周期 一、同余的定义: ①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m。 二、同余的性质: ①自身性: a≡a(mod m); ②对称性: 若a≡b(mod m),则b≡a(mod m); ③传递性: 若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m); ④和差性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm); ⑤相乘性: 若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡b×d(mod m); ⑥乘方性: 若a≡b(mod m),则an≡bn(mod m); ⑦同倍性: 若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(mod m×c); 三、关于乘方的预备知识: ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的余数特征: ①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3); ②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11); 五、费尔马小定理: 如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。 20.分数与百分数的应用 基本概念与性质: 分数: 把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。 分数的性质: 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。 分数单位: 把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。 百分数: 表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法: ①逆向思维方法: 从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法: 找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 ③转化思维方法: 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。 常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 ④假设思维方法: 为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。 ⑤量不变思维方法: 在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。 有以下三种情况: A、分量发生变化,总量不变。 B、总量发生变化,但其中有的分量不变。 C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法: 用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法: 总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 ⑧浓度配比法: 一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
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