关于数学教学中问题解决思维过程的心理分析.docx
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关于数学教学中问题解决思维过程的心理分析
关于数学教学中“问题解决”思维过程的心理分析
我国著名数学家苏步青教授讲过,“学数学,我一向提倡学生多演算一些习题……一般来说,多演算习题,第一是为了加强基础概念、定义、定理(包括证明)的理解,第二是为了训练我们的运算技巧和逻辑思维。
这就是‘熟’和‘懂’的结合。
”这段话既指出了解题在学习数学中的重要性,又指出了它的目的性。
所以在数学教学中,让学生做足够数量的习题,培养学生“问题解决”的思维能力是使学生牢固掌握基础知识基本技能的必要途径。
只有有目的、有计划、有步骤地去引导学生解答数学问题,才能把智力转化为能力。
因此,无论是开发智力,还是培养能力,都离不开“问题解决。
”
“问题解决”在数学教学中的重要性是无可置疑的,如何才能提高学生的解题能力?
“问题解决”有没有一个一般的规律和方法?
这是一个很复杂的问题。
因为探索解题途径本身就是一个相当复杂的思维问题,其中牵涉到逻辑学、哲学及至心理学的许多问题。
本文试图用心理学的观点对“问题解决”的思维过程作一粗浅分析,望同行指教。
我们知道,数学问题按它的要求可区分为两大类:
一类是寻求某个对象(如某个数、某结论、某种程序、某种方法等)属于“求解题”。
另一类是要求判定某结论,属于“求证题”,通常称作“证题”。
虽然这两类问题在要求上如此不同,但我们在后面将会看到,解决数学问题的一般思维方法和思维过程,通常同时适用这两类问题;因此,以后将不严格区分这两类问题,而用“解题”泛指解决数学问题。
在心理学上解决问题包括一系列互相联系着的基本阶段,即:
而每一阶段又有一系列的复杂的心理成分、数学问题是抽象了的实际问题,是现实问题的概括和总结、所以解决一个数学问题,同样要经过这五个心理过程,下面我们结合实例来分别阐述第一阶段对解题的影响和作用。
数学解题的基本阶段为:
一、解题思维的第一阶段―――发现问题阶段
发现学科知识中的新问题,是解决问题的前提也是创造性思维过程的开端。
发现问题有赖于学生积极主动的思考、善于发现问题的学生,能在别人习以为常的现象中发现异常,这就是思维的特殊品质形成的。
善于钻研的学生都有这个特点,例如学生在做下面习题时,发现问题的能力是不同的。
例1.有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形是否一定全等。
(要求说明理由)
答案一:
已知:
如图:
在△ABC及A’B’C’中,AD⊥BC于DA’D’⊥B’C’于D’,且AB=A’B’,AC=A’C’,AD=A’D’求证△ABC≌△A’B’C’
证明:
在Rt△ABD与Rt△A’B’D’中
且:
AB=A’B’,AD=A’D’
∴△ABD≌A’B’D’(斜边直角边)
∴BD=B’D’(全等三角形对应边相等)同理DC=D’C’
故有:
BC=B’C’
又知:
AB=A’B’
△ABC=A’B’C’(边、边、边)
AC=A’C’
有的学生却没有这样做,而是在画三角形时,发现了问题,平时,我们在作出图形帮助理解题意及解题时,由于思维定势的影响,一般要作成锐角三角形,而这些学生却作出这样的两个三角形:
在上面两个三角形中,显然有AB=A’B’,AC=A’C’,AD=A’D’,而两个三角形却不全等。
所以答案一忽略了“等高的三角形未必同形”既有可能是钝角或直角。
从中发现,命题不真。
由此可见,发现问题具有不同的心理成分,一般它包括:
(1)认识问题的存在。
(2)产生解决问题的需要和动机。
上例便是学生认识问题的存在性的具体表现;前一种解法的学生,没有认识到命题所提问题结论的存在性,忽略了问题的特殊性;在思维上称为再造性思维或求同性思维。
这种思维不需要明显地改组原来的旧识,也不创造任何新的思维产品,只是应用先前获得的知识、经验,按照现成的方案或程序去直接解决问题,这就是思维懒惰性的具体表现。
而后一种学生却对命题结论的存在性产生怀疑,接着从问题的特殊性中证实了发现的问题,这是发散思维中独特性和求异性的表现。
所以善于发现问题是思维发展水平的重要标志。
发现问题的培养途径通常有以下几条:
(1)从新旧知识的相互联系中去发现问题,是产生问题最广阔的源泉;
(2)同范例进行比较,找出异同,是发现问题的另一有效途径;(3)注意问题本身的特殊性和各种异常现象,也是培养发现问题能力的极好方法。
二、解题思维的第二阶段―――分析问题阶段
发现问题以后,必须对问题进行细致的分析,这是将思维活动引向问题解决的一个重要阶段。
任何问题(数学命题)都包含“题设”与“结论”两个方面,这是构成命题(问题)的最普遍形式,例如
(1)“三角形内角和为180°”
(2)“两个奇数的和为偶数”(3)“如果分式的分子和分母同和以一个相同的非零数那么分式的值不变”等。
因此分析问题归根到底就是要分清问题的要求(结论)和条件(题设),找出它们之间的联系,把思维活动引向问题解决,这种对问题的分析,叫审题,也叫思维定向,它能汇聚问题信息,明确思维目标,从而以便更好地选择思维途径。
但是,在我们平时教学时,解决问题并不是从发现问题阶段开始,而是直接从分析问题入手这是由于数学习题一般由命题的形式给出。
例2:
已知△ABC三边长为a、b、c、且满足a3=B3+C3
试确定△ABC是什么三角形,(指锐角、直角、钝角)显然这是一个由条件与结论(三个选择结论)构成的一个数学问题,要解决这个问题,思维的第一步便进入了第二阶段即分析问题阶段。
分析:
由问题本身容易得知,三个结论中有且只有一个是正确的,由条件a3=B3+C3出发推导,也可能直接找到正确结论,但是我们将借助归谬法来筛选解决:
由于直角三角形边的关系有勾股定理,因此我们以此为突破口,设:
a、b、c边所对角分别为A、B、C
思维过程:
(此时,结论已与条件矛盾)(同前)
由此可见,分析是思维的一个基本过程,从简单到复杂,从条件到结论,从概念的形式,问题的解决到创造性思维,都离不开分析思维的参加。
分析是在思维中,把事物的整体分解为各部分,或从整体中把个别属性、个别方面区分出来。
所以在培养学生解题能力的过程中,要着重培养学生分析问题这一思维过程。
学生分析问题思维方法的培养途径:
(1)分析问题,首先要明确解决的问题是什么,可供解决问题的条件有哪些,这是解决问题的准备阶段,即确定好思维的主攻方向,具体讲就是严格审题,理解题意,因为解数学题就是应用数学的一般原理,来解决特殊的数学问题。
(2)分析问题还要了解各种条件之间的关系,以及与问题结论的关系,有些条件可能直接引向问题解决,而另一些条件可能间接引向问题解决,但无论哪种情形都要经过思维的积极活动才能解决问题。
(3)对题目整体结构进行综合的,有方向的分析,对思维从整体问题情境出发,揭露问题的条件与结论的内部联系,确定出解题的方向。
三、解题思维的第三阶段――提出假设阶段
在解题思维的第二阶段即分析问题的基础上,思维引向问题解决的下一阶段即解题思维的第三阶段――提出假设阶段也就是从不同的角度检索,寻找解决问题的方案,构思解题的策略,即根据什么原理,采用什么方法和途径去求得问题解决。
例如,学生对一个数学问题经过思维的分析阶段以后,将对这个问题提出各种可能的解决方案,这些解题方案在未实施以前,又都具有假设的性质,因此提出方案也就是形成假设,这是解题思维过程中最具有创造性的阶段,具体表现在思维的发散性上。
一个数学问题的解决方案有时只有一种,但多数情况下,解决的方法有多种,所以提出的假设就很多,例如:
例3:
在下图中△ABC之定点C,作一直线,与AB边及中线AD分别交与F、E两点。
求证:
AE:
ED=2AF:
FB
分析:
作DG11CF交AB于G
条件:
中线AD、△ABC,DG11CDF
思维过程:
由上面思维过程(提出假设)我们可以看到,学生能否尽可能多的可供选择的不同方案,这赖于思维的灵活性。
在问题解决过程中,思维越灵活,解决问题的方法就越多,即思维的发散项目越多,维度越多。
因此,把暴露数学思维过程当作数学教学的重要原则,给学生以自由思维的时间与空间,是值得我们广大数学教师借鉴的。
一般说来,解决问题的策略有两种;简述如下:
(1)算法策略:
即把解决问题的方案统统提出来,然后逐一进行试探,从中找出解决问题的最优化方案,这在数学上称为归谬法或穷举法。
如前面的例1就是用了归谬法即算法策略。
(2)启发策略:
即学生根据已有的知识和经验,习惯,选择自己认为最佳的解题方案,这主要依靠直觉思维来进行,在数学上称为尝试法,如例1中第二种作图判断命题的正误,就用了尝试法即启发策略。
这种策略不保证解决问题,但有时能避免算法策略的繁琐,因而也是学生经常采用的一个解题方法。
对于复杂的,没有组成解决方案的问题提出创造性的假设,需要经过长期的酝酿和紧张的智力活动,我们往往有这样的经验,如果一个学生对一个问题经过长期而紧张的思维活动,终不得其解时,就暂时将它放弃,而将思维目标转向其它学科,或稍微放松一下大脑神经,而后再对这个问题进行思考,往往能提出创造性解决方案;所以,这样做不仅不妨碍解决问题,反而有利于思维的发展。
总之,经过长期酝酿学生可能会“恍然大悟”、“豁然开朗”这就是所谓的“灵感”有时称为“顿悟”现象,顿悟的出现,一般带有偶然性,但也是思维紧张活动的必然产物。
四、解题思维第四阶段――检验假设阶段
检验假设,就是将解题方案付诸实施,并把结果与原有问题的结论相对照。
明确地说,就是检验提出假设的正确性,如果假设执行的结果导致问题的解决,说明原有假设是正确的,否则便是错误的。
例4:
在△ABC的AC边上,任取一点D,延长CB到E,使BE=AD连接ED交AB于F,求证:
EF:
FD=AC:
BC
思维过程:
从下面的思维过程可以看出:
某些假设明显无条件或不可能实现,因此在提出假设时就被否定了,有些假设在实行一段时间后,发现行不通,而中途否定,只有少数或一个假设才能经受检验,以求得问题解决。
由此可见,思维过程是一直伴随着解题过程而进行的,换句话说,问题解决过程就是一个紧张而复杂的综合性思维活动,而解题思维的第三,第四阶段又是解题的实质性阶段,在这两个阶段中,思维的表现形式比较活跃,这就涉及到思维独特性和灵活性等心理因素,因而最能反映出学生的创造性思维能力,这就是我们数学教学所要培养的能力之一。
从上例假设的检验过程可见,在执行解题方案过程中,局部修改方案的情况是时有发生的,而全部否定方案的情况也可能出现,这就需要在思维上重新进行定向,指出新的假设,或修改原有假设并重新检验新提假设或修改后假设,以求得问题的解决。
五、解题思维的第五阶段――做出结论阶段
做出结论,就是在检验假设的基础上,将经过检验的正确方案用逻辑推理的方式正确明白地表述出来,完整地回答或得到问题的结论,即用一个由若干步骤所组成的序列来完成对得到问题答案过程的表述,在思维上这实质是一个归纳总结的过程,把正确假设付诸实施从而解决问题。
以上是解题思维过程的五个阶段,当然对解决一个复杂的数学问题,这些阶段往往不是一个接一个直线性的进行,其间有反复、有波折;这在思维上是一个复杂的分析、综合、定向、发散、检验、归纳过程。
学生为了解答一个难题,常常需要在不同的方向上进行探索,也就是进行多角度、多层次的思维,在问题情景中兜圈子,最后才能找到正确的解答。
所以解题的过程就是一个思维过程,我们数学教师在教学中,应该认真研究学生解题思维的心理特征,掌握问题解决的思维过程,避免题海战术,以提高学生的学习效率,从而培养学生的创造思维能力。
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