数学实验 3 插值与数值微分.docx
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数学实验3插值与数值微分
实验3:
插值与数值微分
习题10:
表1给出的x,y数据位于机翼断面的轮廓线上,Y1和Y2分别对应轮廓的上下线。
假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。
试完成加工所需数据,画出曲线,求加工断面的面积。
表1:
机翼断面轮廓线上的数据
x
0
3
5
7
9
11
12
13
14
15
Y1
0
1.8
2.2
2.7
3.0
3.1
2.9
2.5
2.0
1.6
Y2
0
1.2
1.7
2.0
2.1
2.0
1.8
1.2
1.0
1.6
1.模型建立
题目给出了x取值为0到15的10组数据,可以利用三次样条插值、分段线性插值进行插值计算,由于Lagrange插值存在龙格现象,在n比较大的时候会由于L(x)的起伏增加,引起很大的震动,所以仅作为参考进行计算。
计算横断面需要运用数值积分,根据之前计算的插值点,可以直接用梯形积分公式计算。
用MatLab实现时,由于没有Lagrange积分的现成命令,所以需要编译。
在本程序中采用的是老师上课是编译的’lagr.m’文件,没有作改动。
也可以采用Simpson公式进行积分计算,但须注意,’quad’命令是对具有函数形式的连续点进行积分,但通过上一步插值得到的是一些离散的点,所以要按照Simpson公式的原始形式进行函数编译,再调用做积分。
Simpson公式:
(1)
公式变形:
(2)
其中,
、
分别为除去端点函数值
与
之后的偶数项与奇数项函数值之和。
详细程序见‘程序设计’。
然后对上、下两表面所得积分做差,即可求得面积。
2.程序设计(可直接粘贴运行)
1)三种插值及结果输出函数
clearall;
%输入给定数据,y01/02是Y坐标数据
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y01=[0,1.8,2.2,2.7,3.0,3.1,2.9,2.5,2.0,1.6];
y02=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
%设置插值点
x=0:
0.1:
15;
%lagrange插值法
y11=lagr(x0,y01,x);
y12=lagr(x0,y02,x);
%分段线性插值法
y21=interp1(x0,y01,x,'linear');
y22=interp1(x0,y02,x,'linear');
%三次样条插值
y31=interp1(x0,y01,x,'spline');
y32=interp1(x0,y02,x,'spline');
%输出原始点
subplot(2,2,1),plot(x0,y01,'*',x0,y02,'*',x0,y01,'b',x0,y02,'g'),grid;
xlabel('x','fontsize',20,'color','k');
ylabel('y','fontsize',20,'color','k');
title('OriginalDate','fontsize',22,'color','k');
pause;
%输出三种插值方法的结果图像
subplot(2,2,2),plot(x,y11,'k',x,y12,'k'),grid;
xlabel('x','fontsize',20,'color','k');
ylabel('y','fontsize',20,'color','k');
title('LagrangeInterpolate','fontsize',22,'color','k');
gtext('y1=lagr(x0,y0,x)','fontsize',20);
pause;
subplot(2,2,3),plot(x,y21,'r',x,y22,'r'),grid;
xlabel('x','fontsize',20,'color','k');
ylabel('y','fontsize',20,'color','k');
title('LinearInterpolate','fontsize',22,'color','k');
gtext('y2=interp1(x0,y0,x,"linear")','fontsize',20);
%问题:
如何输出?
pause;
subplot(2,2,4),plot(x,y31,'b',x,y32,'b'),grid;
xlabel('x','fontsize',20,'color','k');
ylabel('y','fontsize',20,'color','k');
title('SplineInterpolate','fontsize',22,'color','k');
gtext('y3=interp1(x0,y0,x,"spline")','fontsize',20);
2)Simpson积分函数
functiony=simpson(x0,y0)
n=length(x0);%n为取点个数
h=(x0(n)-x0
(1))/n;%h为几分步长
even=0;%数组even,为y(函数值)中的偶数项,赋初值为零
odd=0;%数组odd,为y(函数值)中的奇数项,赋初值为零
fork=2:
n-1
ifmod(k,2)==0
even(k)=y0(k);%将y中的偶数项赋值给even中项
else
odd(k)=y0(k);%将y中的奇数项赋值给odd中项
end
end
e=sum(even);o=sum(odd);%求和even,odd,由于未被y赋值的项保持初值为零,所以那些项不会影响结果
y=h/3*(y0
(1)+y0(n)+4*o+2*e);%按
(2)式计算积分
3)分别对三种插值办法采用梯形公式和Simpson公式进行积分
%按梯形公式进行积分运算
st11=trapz(x,y11);st12=trapz(x,y12);
st21=trapz(x,y21);st22=trapz(x,y22);
st31=trapz(x,y31);st32=trapz(x,y32);
%按Simpson公式进行积分运算
ss11=simpson(x,y11);ss12=simpson(x,y12);
ss21=simpson(x,y21);ss22=simpson(x,y22);
ss31=simpson(x,y31);ss32=simpson(x,y32);
%做差求面积
st1=st11-st12;st2=st21-st22;st3=st31-st32;
ss1=ss11-ss12;ss2=ss21-ss22;ss3=ss31-ss32;
%输出运算结果
[st1,st2,st3;ss1,ss2,ss3]
3.运行结果即分析
由图1可以看到原始数据点和三种插值的运算结果。
其中,Lagrange插值的结果显然不理想,在x较小,即取点表分散的区域真实性很差,甚至出现了负值,验证了龙格现象;现行分段插值的图像,和原始数据的图像在形态上是完全一致的,但这一布插值运算为后面计算积分提供了大量的数据点;三次样条插值的结果图像和线性插值大致相同,但由于采用了二次函数,所以区线更光滑,节点处连接自然。
面积计算结果:
Answer
Lagrange
Linear
Spline
梯形积分
40.3044
10.7500
11.3444
Simpson积分
39.9868
10.6788
11.2676
表2:
面积计算结果
Lagrange插值法得到的数据明显不合理,不予考虑;可以看到采用Simpson积分和梯形积分的结果相差不大;但线性插值和三次样条插值两种不同的方法会造成结果较大的差别。
图1:
插值计算结果
x
y11
y12
y21
y22
y31
y32
0.1000
0.5516
-4.9437
0.0600
0.0400
0.1089
0.0499
0.2000
1.0117
-8.8200
0.1200
0.0800
0.2134
0.0990
0.3000
1.3910
-11.7726
0.1800
0.1200
0.3137
0.1474
0.4000
1.6992
-13.9310
0.2400
0.1600
0.4097
0.1951
0.5000
1.9452
-15.4117
0.3000
0.2000
0.5018
0.2421
0.6000
2.1371
-16.3190
0.3600
0.2400
0.5898
0.2884
0.7000
2.2821
-16.7457
0.4200
0.2800
0.6740
0.3340
0.8000
2.3868
-16.7747
0.4800
0.3200
0.7545
0.3788
0.9000
2.4573
-16.4792
0.5400
0.3600
0.8314
0.4230
1.0000
2.4989
-15.9238
0.6000
0.4000
0.9047
0.4665
1.1000
2.5165
-15.1651
0.6600
0.4400
0.9747
0.5094
1.2000
2.5143
-14.2524
0.7200
0.4800
1.0413
0.5515
1.3000
2.4961
-13.2287
0.7800
0.5200
1.1047
0.5930
1.4000
2.4654
-12.1307
0.8400
0.5600
1.1651
0.6338
1.5000
2.4251
-10.9898
0.9000
0.6000
1.2225
0.6739
1.6000
2.3778
-9.8326
0.9600
0.6400
1.2770
0.7134
1.7000
2.3258
-8.6812
1.0200
0.6800
1.3287
0.7523
1.8000
2.2711
-7.5539
1.0800
0.7200
1.3778
0.7904
1.9000
2.2154
-6.4654
1.1400
0.7600
1.4244
0.8280
2.0000
2.1600
-5.4272
1.2000
0.8000
1.4685
0.8649
2.1000
2.1061
-4.4484
1.2600
0.8400
1.5104
0.9012
2.2000
2.0549
-3.5353
1.3200
0.8800
1.5499
0.9368
2.3000
2.0069
-2.6923
1.3800
0.9200
1.5874
0.9719
2.4000
1.9629
-1.9220
1.4400
0.9600
1.6229
1.0063
2.5000
1.9233
-1.2253
1.5000
1.0000
1.6565
1.0401
2.6000
1.8886
-0.6019
1.5600
1.0400
1.6884
1.0732
2.7000
1.8587
-0.0504
1.6200
1.0800
1.7185
1.1058
2.8000
1.8340
0.4316
1.6800
1.1200
1.7471
1.1378
2.9000
1.8145
0.8472
1.7400
1.1600
1.7742
1.1692
3.0000
1.8000
1.2000
1.8000
1.2000
1.8000
1.2000
3.1000
1.7905
1.4942
1.8200
1.2250
1.8245
1.2302
3.2000
1.7858
1.7343
1.8400
1.2500
1.8480
1.2599
3.3000
1.7857
1.9249
1.8600
1.2750
1.8704
1.2889
3.4000
1.7900
2.0706
1.8800
1.3000
1.8918
1.3174
3.5000
1.7983
2.1765
1.9000
1.3250
1.9125
1.3454
3.6000
1.8104
2.2470
1.9200
1.3500
1.9325
1.3727
3.7000
1.8259
2.2870
1.9400
1.3750
1.9519
1.3995
3.8000
1.8446
2.3007
1.9600
1.4000
1.9708
1.4258
3.9000
1.8661
2.2926
1.9800
1.4250
1.9894
1.4515
4.0000
1.8900
2.2666
2.0000
1.4500
2.0076
1.4767
4.1000
1.9161
2.2265
2.0200
1.4750
2.0258
1.5014
4.2000
1.9441
2.1757
2.0400
1.5000
2.0439
1.5255
4.3000
1.9735
2.1174
2.0600
1.5250
2.0620
1.5491
4.4000
2.0042
2.0544
2.0800
1.5500
2.0803
1.5722
4.5000
2.0359
1.9894
2.1000
1.5750
2.0989
1.5947
4.6000
2.0682
1.9245
2.1200
1.6000
2.1179
1.6168
4.7000
2.1010
1.8616
2.1400
1.6250
2.1374
1.6383
4.8000
2.1340
1.8024
2.1600
1.6500
2.1575
1.6594
4.9000
2.1671
1.7481
2.1800
1.6750
2.1784
1.6799
5.0000
2.2000
1.7000
2.2000
1.7000
2.2000
1.7000
5.1000
2.2326
1.6587
2.2250
1.7150
2.2225
1.7196
5.2000
2.2647
1.6249
2.2500
1.7300
2.2459
1.7387
5.3000
2.2962
1.5988
2.2750
1.7450
2.2700
1.7573
5.4000
2.3270
1.5806
2.3000
1.7600
2.2948
1.7754
5.5000
2.3570
1.5703
2.3250
1.7750
2.3201
1.7930
5.6000
2.3862
1.5677
2.3500
1.7900
2.3459
1.8102
5.7000
2.4145
1.5723
2.3750
1.8050
2.3720
1.8269
5.8000
2.4418
1.5838
2.4000
1.8200
2.3984
1.8430
5.9000
2.4682
1.6015
2.4250
1.8350
2.4249
1.8588
6.0000
2.4936
1.6249
2.4500
1.8500
2.4515
1.8740
6.1000
2.5180
1.6531
2.4750
1.8650
2.4781
1.8887
6.2000
2.5415
1.6855
2.5000
1.8800
2.5045
1.9030
6.3000
2.5640
1.7212
2.5250
1.8950
2.5307
1.9168
6.4000
2.5857
1.7595
2.5500
1.9100
2.5566
1.9301
6.5000
2.6066
1.7995
2.5750
1.9250
2.5821
1.9430
6.6000
2.6266
1.8405
2.6000
1.9400
2.6071
1.9553
6.7000
2.6459
1.8817
2.6250
1.9550
2.6315
1.9672
6.8000
2.6645
1.9225
2.6500
1.9700
2.6552
1.9786
6.9000
2.6826
1.9621
2.6750
1.9850
2.6780
1.9895
7.0000
2.7000
2.0000
2.7000
2.0000
2.7000
2.0000
7.1000
2.7169
2.0357
2.7150
2.0050
2.7210
2.0100
7.2000
2.7335
2.0686
2.7300
2.0100
2.7411
2.0195
7.3000
2.7496
2.0984
2.7450
2.0150
2.7602
2.0285
7.4000
2.7654
2.1249
2.7600
2.0200
2.7786
2.0370
7.5000
2.7810
2.1477
2.7750
2.0250
2.7961
2.0450
7.6000
2.7963
2.1666
2.7900
2.0300
2.8130
2.0525
7.7000
2.8114
2.1817
2.8050
2.0350
2.8291
2.0595
7.8000
2.8264
2.1929
2.8200
2.0400
2.8446
2.0660
7.9000
2.8414
2.2003
2.8350
2.0450
2.8595
2.0719
8.0000
2.8562
2.2040
2.8500
2.0500
2.8739
2.0773
8.1000
2.8709
2.2041
2.8650
2.0550
2.8878
2.0822
8.2000
2.8856
2.2010
2.8800
2.0600
2.9013
2.0865
8.3000
2.9003
2.1949
2.8950
2.0650
2.9144
2.0902
8.4000
2.9149
2.1862
2.9100
2.0700
2.9272
2.0933
8.5000
2.9294
2.1752
2.9250
2.0750
2.9397
2.0959
8.6000
2.9439
2.1623
2.9400
2.0800
2.9520
2.0979
8.7000
2.9582
2.1479
2.9550
2.0850
2.9641
2.0994
8.8000
2.9723
2.1325
2.9700
2.0900
2.9761
2.1002
8.9000
2.9863
2.1164
2.9850
2.0950
2.9881
2.1004
9.0000
3.0000
2.1000
3.0000
2.1000
3.0000
2.1000
9.1000
3.0134
2.0838
3.0050
2.0950
3.0119
2.0990
9.2000
3.0264
2.0680
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