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小学繁分数化简专题
小学奥数知识点汇编
第一章计算
1.1四则混合运算
1.1.1繁分数的化简技巧
繁分数的定义
如果分数形式中,分子或分母含有四则运算或分数,或分子与分母都含有四则运算或分
数的数,叫“繁分数”;其对应于“简分数”。
1.1.1.2繁分数化简的基本方法
1.1.1.2.1可利用分数与除法的关系把繁分数写成分子除以分母的形式。
14
1.1.1.2.2利用分数的基本性质,去掉分子、分母上分数的分母后化为最简分数。
一般情况下,
分子、分母所乘上的适当非零整数为分子、分母部分的两个分数分母的最小公倍数。
1.1.1.3繁分数化简的常用技巧
1.1.1.3.1化带分数为假分数:
繁分数中的分子或分母若含有带分数,则把带分数化为假分数再化简。
1
6
6,
-1
15
5-
5-
5-
18
9
2
8
8“
40-
20
2
—
15
3
3
3
1.1.1.3.2化小数为分数:
繁分数中的分子或分母若含有小数,则一般可把小数化成分数再化简。
3
3
20
0.15
20—
20
3
1
3_
3
3
15
5
—
20
4
4
4
1.1.133化分数为小数:
繁分数中的分子或分母部分所含有的分数可化为有限小数,则可把分子或分母中的分数化为小数再化简。
0.150.15151
■—
_3一0.75一75一5
4
1.1.1.3.4化小数为整数:
若分子、分母都是小数还可以利用分数的基本性质,分子与分母同时扩大相同的倍数,把小数化成整数再化简。
-2.4_24_2
3.6__3
1.1.1.3.5化复杂为简单:
繁分数的分子或分母部分若含有加减运算,则先加减运算再按繁分数化简方法进行化简。
繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简。
13
1.53.750.26
0.521.57.5
1111
2124
130.26
(2)厘4
1
0.521.57
2
1
_1
_1
_1
_1
_1
_12
丄1
-亠1
1
-丄1
-丄5
-29
29
2
2
2
2
2—
J\J
2
2
2
2
2
2
12
21
5
5
5
2
2
1.1.1.3.6化多层为单层:
化简复杂的繁分数要学会分层化简
O
走进奥数
繁分数
根据实际问题列出的分数,有时它的分子或分母里又含有分
数,或者分子和分母里都含有分数,我们把这样的分数叫做繁
繁分数中,把分子部分和分母部分分开的那条分数线,叫做繁分数的主分数线(也叫主分线)。
主分线比其它分数线要长一些,书写位置要取中。
在运算过程中,主分线要对准等号。
如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数,我们就把最长的那条主分线,叫做中主分线,依次向上为上一主分线,上二主分线,,;依次向下叫下一主分线,下二主分线,,;两端的叫末主分线。
2
3
8
1
1+2
5
根据分数与除法的关系,分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。
把繁分数化为最简分数或整数的过程,叫做繁分数的化简。
繁分数化简一般采用以下两种方法:
把繁分数化为最简分数或整数的过程,叫做繁分数的化简。
繁分数化简一般采用以下两种方法:
(1)先找出中主分线,确定出分母部分和分子部分,然后这两部分分别进行计算,每部分的计算结果,能约分的要约分,最后写成“分子部分—分母部分”的形式,再求出最后结果。
7
8
710
8XF
=7工
7=8JO
10
此题也可改写成分数除法的表达式,再进行计算
15、z32777105
即:
(4+8)J(1-3%)=7环=8F=4
(2)繁分数化简的另一种方法是:
根据分数的基本性质,
经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数
(这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的
最小公倍数),从而去掉分子部分和分母部分的分母,然后通过计算化为最简分数或整数。
繁分数的分子部分和分母部分,有时也出现是小数的情况,如果分子部分与分母部分都是小数,可依据分数的基本性质,把它们都化成整数,然后再进行计算。
如果是分数和小数混合出现的形式,可按照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。
即:
把小数化成分数,或把分数化成小数,再进行化简。
有一种繁分数,形式如
1
2+T
这种繁分数叫连分数。
连分数是繁分数的特殊形式,二者之间是一般与特殊的关系。
计算连分数,采取自下而上的方法,先将连分数中最下面
的分数化简,然后逐步向上计算
解:
用倒推法
518
3
设彳1=:
,
1+X11
解得x1=
8
又设2=3乂设2+x2=8,
2
解得x2=3
12
再设-=2
再设X33,
3
解得X3=3
12
5
x+一=_
X43,
解得x=12
拓展演练
3.已知
_811,
求X.
例如:
1
2+13
=1
2+'
1
x+4
1.用简便方法计算下面各题:
567+345>566
567>345+222
252525>52252
525525>525252
⑵987>655-321
⑵666+987>654
213639>264528792
132396>213426639
9672+3624
73。
。
25(1+2+3+4+5+6++5+4+3+2+1
(5)—24厂(6)666666>666666
3273+1225
2342829
一三+24+35+,+2729+2830⑺"12~~3272F
33+54+75+,+5529+5930
2计算
1
3.875X5+38.75X0.09-0.155-0.4
~18
26>[(4.32-1.68-1^5
3.计算下面各题。
(3)1y
6-3"
7-—4
8-4
1
1+7
2-1
(4)1
2+1
4+丄
x
5.求下列式子的整数部分。
1
1
1
+1992+,
1
+2000
1991
星级擂台
1
11
1
1-2+
3-4
+,+99
1
1
--1
1+101+2+102+,+50+150
拓展演练答案参考
51119811869
3+4+5+,+29+30_1
5~~11~~19811869)=2
2U+;+=++^7+T7T
(345'29302.2
星级擂台答案参考:
2
30794
⑵157(3)450(4)25
1
1
分母=1(51
1
52
+100)
参考部分
(一)分数与繁分数化简
1.讲析:
容易看出,分子中含有因数37,分母中含有因数71。
所以可得
百八務_37天10101°1山01_37
眾刀=71x10101010101=
2.(长沙地区小学数学奥林匹克选拔赛试题)
讲析'注意到—=1.4x6=24,2+4=6,由此产生的一连串算式’644
讲析:
注意到,4X6=24,2+4=6,由此产生的一连串算式:
16X4=64
166X4=664
1666X4=6664
于是,可立即得岀,原分数值是丄。
4
3.(1990年马鞍山市小学数学竞赛试题)
讲析:
如果分别计算出分子与分母的值,则难度较大。
观察式子,可发现分子中含有326X274,分母中含有275X326。
于是可想办法化成相同的数:
两才_275+326x274
尿"〔274+1)226-力
275+326x274
274x326+326-51
4.(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
讲析:
可把小数化成分数,把带分数都化成假分数,并注意将分子分母同乘以一个数,以消除各自中的分母。
于是可得
2111
_JZ21X5617
179x_9_5621
~2A179
5.化简(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
原式分子=3lxl+38|x
9
Too
315
==■X
2002
31
4040
2
31
31
40
讲析:
由于分子与分母部分都比较复杂,所以只能分别计算。
计算时,哪一步中能简算的,就采用简算的办法去计算。
里"1+上-丄)
402231
原式分母二辛十[(435-1翎-132)xA_|]x||+g
1311353531
63544248
所以,原繁分数等于1。
什么叫做繁分数?
_计算奥数专题—繁分数问题
在一个分数的分子和分母里,至少有一个又含有分数,这样形式的分数,叫做繁分数。
3-+-
28
3--x2
7
繁分数中,把分子部分和分母部分分开的那条分数线,叫做繁分数的
主分数线(也叫主分线)。
主分线比其他分数线要长一些,书写位置要
取中。
在运算过程中,主分线要对准等号。
如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数,我们就把最长的那条主分线,叫做中主分线,依次向上为上一主分线,上二主分线,,;依次向下叫下一主分线,下二主分线,,;两端的叫末主分线。
如:
4……上末主分线
4……上一主分线
1+1……下一主分线
T……下末主分銭
如:
叫)-⑴中
34-2
8
2-1
4
根据分数与除法的关系,分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。
什么叫做繁分数化简?
计算奥数专题繁分数问题
把繁分数化为最简分数或整数的过程,叫做繁分数的化简。
繁分数化简一般采用以下两种方法:
(1)先找出中主分线,确定出分母部分和分子部分,然后这两部分分别进行计算,每部分的计算结果,能约分的要约分,最后写成“分子部分宁分母部分”的形式,再求出最后结果。
135
例①
4+S,8
1一2启1810
4510
5
5W*25
一x—=-_
723
4
繁分数的运算,涉及分数与小数的定义新运算问题,综合性较强的计算问题.数的运算必须注意多级分数的处理,如下所示:
1.繁分
此题也可改写成分数除法的运算式,再进行计算
(2)繁分数化简的另一种方法是:
根据分数的基本性质,经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数(这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数),从而去掉分子部分和分母部分的分母,然后通过计算化为最简分数或整数。
繁分数的分子部分和分母部分,有时也出现是小数的情况,如果分子部分与分母部分都是小数,可依据分数的基本性质,把它们都化成整数,然后再进行计算。
如果是分数和小数混合出现的形式,可按照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。
即:
把小数化成分数,或把分数化成小数,再进行化简。
繁分数的运算基本法则_计算奥数专题—繁分数问题
甚至可以简单地说:
“先算短分数线的,后算长分数线的”.找到最长的分数线,将其
上视为分子,其下视为分母.2•—般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分
数,而不使用带分数•所以需将带分数化为假分数.3•某些时候将分数线视为除号,
可使繁分数的运算更加直观.4.对于定义新运算,我们只需按题中的定义进行运算即
可.
繁分数运算典型问题解析1_计算奥数专题一繁分数问题
繁分数运算典型问题解析1
第一AT华罗庚会*T少年數学邀请决赛一试第】題
7,11
1-计算匕
X2?
1826
3416
7123
【分析与解】—=4—id-12818加
33
繁分数运算典型问题解析2
第五府■华罗庚金杯”少年微学逮请赛•复賽第1题
2.计算.
【分析与解】汪意,作为被除数的这个髦分数的分子、分母均含有19*于是,我们想到改变运算顺序,如果分子与分母在192后的两个数字的运算结果一致,那么作为被除数的这个鑿分数的值捣1;9
如果不一致,也不会增加琥们的计算量.所以找们决定改变作为祓除数的蹩分数的运算顺序.
而作为除数的鑿分数,我们注意两个加数的分母相愎,于是统一通分为1995X0.5.
具悴过程如下:
19950,5054
繁分数运算典型问题解析3
1986_1987
39733973
灯T审編三附迎森杯"數学竞总决雾第-题第1题
・计算;
二+\
1-
1987
【幷析与解】原式=1——^―-
-1y6/
1d
1986
繁分数运算典型问题解析4
㈱⑪级数:
♦♦
]卿年全暗小学數学奥林匹.41**B舉弟2題
1Q
4.计聲已知二——二一二二,贝U等于多少?
11
r
4
【分析与解】方法一:
——g—=g—
计宀H—
2+亠2十——-
x+l號十1
4
交叉相乘W88x-^6=96x+563x=1,25.
方法二i有1+—鼻一
2+—
Z+4
-=1+1所以2+丄
88丄1
x+—
4
1_8^+6_8
〔卜4瓦+112x+711
8x4-6
r24Z号s
1.25.
繁分数运算典型问题解析5
5.求4,43,44344...43K10个数的和.
9仆
【分析与解]方袪一;
4+43+443+..+44..43
=4+04-1)4-(444-1)+...+(44^4-1)
1014
=-x[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+...+[1000…。
一1)卜9
9io^q-
=-x111.100-9=4938271591-
9'~"v-~‘
-91^1
方袪二先计算这10个数的个位数字和为3x9+4=^
再计算这10个数的十位薮字和为4X9=36,加上个位的逬位的缶^36+3=3(9):
再计算这10个数的百位数字和7^4X0=32,加上十位的进隹的也为32+3=3卧再计算这B个数的千位数字和^4X7=28,加上百位的进位的;3,为2S+3=30;
再计算这10个数的万位数字和^4X6=24,加上千位的进位的出为24+?
=2血再计算这10个数的十万位数字和^4X5=20,加上万位的进位的4为20+2=212],再计算这10个数的百万位数宇和为4X4=16,加上十万位的进位的右为16+2"画再计算这10个数的千万位数宇和为4X3-12*加上百万位的进位的1,为12+1=1|3];再计算这1Q个数的亿位数字和4X2=8,加上千万位的进位的E,沖站1二囤最后计算这10个数的十亿位数字和4X1=4,加上亿位上没有进位,即为EL所以,S10个数的和为4938271591・
繁分数运算典型问题解析6
25
256
S38412
繁分数运算典型问题解析7
繁分数运算典型问题解析8
繁分数运算典型问题解析9
1995年全曲上学戟常真秫匹克*抑赛A卷第4題
化我们规定*符号9’表示选择两数中较大数的运聲例如,3.502.9=2.903.5=3.5,符号
【分析与解】原盍
23155
(0.625a—)x(—00.4)表示选择两数中较小馥的运峯例如:
3,5A2.g=2,9A3.5=2,9.请计聲--―33秽生——GC0.3)+(—zi2.25)3104
0.625x—船4
1+225
3
&规定(S)=2XjX4.(4J=3X4X^(5)=4X5X6,(10)毛XiOXlI,….如果——xH*
(16)(17)(17)」
那么方框内应填的数是多少勺
氐规定(S)=2XjX4.(4)=3X4X^(5)=4X5X6,(10)旳XiOXlI,….如果——xH*
(16)(17)(17)」
那么方框内应填的数是多少勺
1如6年全国小学jt爭奥株匹克•初賽B套第5题
1邸年全国小学啓学矣株匹克•初赛B程第5题
级数:
卓車
北京审第二迎春4T耻学竞舉•决赛第二巔第2題
9.从和式丄+丄+丄+2+丄+丄中必须去荐哪两个分数,才能使得余下朗碱之和等于V?
246S1012
【分析与解】因为-+—=!
所以I丄丄,丄的和为b因此应去掉1与丄
612424612810
繁分数运算典型问题解析10
I彌年全區小学篡学矣林區尢・决專第4瘙
10.如團1-2擁列在一个圆圈上10个数搜顺时針號序可以组成许备个整数部分*-fc的循环小数,例如1.甜2915929.那么在所有这种数中.最大的一个是多少?
IB1-2
【分析与錄】有整数部分思可能大,十分位层可能大,®92918……较大,于是最大的为
9.291892915,
繁分数运算典型问题解析11
建國级数:
*車車
第一届"华审康金杯”少年救学邀请賽•决第二试第LM
11.请你举一个例子,说明“两个真分魏的和可以是一个真分数,而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数”.
■步=曲・為1亠】_41丄1_11亠1_)
[分析勻解】W——二—!
—^—*h—=—
6101510156351410
评注*本题实质可常说是寻找学生质数卩为什么这么说呢?
注意到丄十丄二丄f,当“zb时,有丄+丄二上?
_二丄.
axt>cxbaxbxcaxbcxbaxbxcaxe
当/爪G两两互质时,轻然満足題意.
显然当asb.c为质数时一走荷足,那去两个质数的和等于另一个质数,必定育一个质数为2,不妨设鼻为厶那么W2+C=b,显然虹匚沖一对孚生质数.
即可得出一股公式:
一+―二丄,G与均为质数即可.
2x(c+2)cx(c+2^2xc
12,计算*(1—
护-护…心為
繁分数运算典型问题解析12
(分析耳解】
原野(2-1)建+1)严1心+1\少-叽(10+1)
小2x23x310x10
lx3x2x4x3x5x4x6x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11
2x2x3x3x4x4x.4xl.0xl0
1x2x3x3x4x4x5x5x.p.x?
x9x10x11
2x2x3x3x4x4x...x9x9xl0xl0
1x2x10x11=H
2x2x10x1020
繁分数运算典型问题解析13
第二华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛第6题
13.已知注J1M6+12M7+13M8+14M9+1"7O灼冗,间迂的整数韶分是多少?
11x65+12x66+13x67+14x68+15x69
【分析与解】
11x66+12x67+13x684-14x69+15x70“
a=x100
11x65+12x66+13x67+14x68+15x69
11x65+12x66+13x67+14x68+15x69
11+12+13+14+15
=11x(65+1)+12x(66+1)+1?
x(67+1)+?
4x(68+1)+15><69+1)裁。
=(1+—)X100
11x65+12x66+13x67+14x68+15x69
=1004-:
X100.
11x65+12x66+13x67+14x68+15x69
11+12+13+14+15
11+12+13+14+15
田%“丁―1Ar,.11+12+13+14+15100
因为xlOO 11x6^4-12x66+13x67+14x68+15x69(11+12+13+144-15)x6565 所a<100+—=101—・ 6565 U+12+B+14+15xloo=100 01+12+13+14+15)x6969 同时一^一.鳥.」二.: .: 二.’二’二二xl00> 11x65+12x66+13x67+14x684-15x69 所以a>100+—-101—. 6969
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