计算机 离散数学试题及答案.docx
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计算机离散数学试题及答案
计算机离散数学-试题及答案
1、下列语句中,不是命题的有()
A、5能被2整除
B、太阳系以外的星球上有生物
C、现在开会吗?
D、小李在宿舍里
答案:
C
2、下列命题中真值为T的有()
A、若2+2=4,则3+3¹6;
B、若2+2=4,则3+3=6;
C、2+2=4,当且仅当3+3¹6;
D、2+2¹4,当且仅当3+3=6;
答案:
B
3、用P表示:
天下大雨;Q表示:
他乘公共汽车上班。
将“如果天下大雨,他就乘公共汽车上班。
”符号化正确的是()
A、P®Q
B、Q®P
C、PÙQ
D、PÚQ
答案:
A
4、集合{a,b,c}的幂集的元素个数为()
A、6
B、9
C、7
D、8
答案:
D
5、对于集合S={,{1},{1,2}},下列表达式正确的是
A、{1,2}ÎS
B、2ÎS
C、1ÎS
D、{2}ÎS
答案:
A
6、与谓词公式~P®Q等价的公式是
A、~PÚQ
B、P~ÚQ
C、~P~ÚQ
D、PÚQ
答案:
D
7、集合A={a,b}与集合B={1,2}的笛卡儿乘积为
A、{(a,1(b,2)}
B、{(a,2)(b,1)}
C、{(a,1),(b,1),(a,2),(b,2)}
D、{(a,b),(b,a),(a,a),(b,b)}
答案:
D
8、无向图的关联矩阵中“关联”指的是
A、顶点与顶点的关联
B、边与边的关联
C、边与顶点的关联
D、都不是
答案:
C
9、与公式A等价的公式是()
A、公式A的前束范式
B、公式A的斯柯林范式
C、公式A的前束范式和斯柯林范式
D、都不是
答案:
A
10、I为整数集,下列系统中不是代数系统的有()
A、(I,÷)
B、(I,+)
C、(I,×)
D、都不是
答案:
A
11、设G是连通简单平面图,G中有11个顶点5个面,则G中的边是()
A、10
B、12
C、16
D、14
答案:
D
12、在布尔代数L中,表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是()
A、b∧(a∨c)
B、(a∧b)∨(a’∧b)
C、(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)
D、(b∨c)∧(a∨c)
答案:
A
13、设i是虚数,·是复数乘法运算,则G=<{1,-1,i,-i},·>是群,下列是G的子群是()
A、<{1},·>
B、〈{-1},·〉
C、〈{i},·〉
D、〈{-i},·〉
答案:
A
14、设Z为整数集,A为集合,A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算,∩为集合的交运算,下列系统中是代数系统的有()
A、〈Z,+,/〉
B、〈Z,/〉
C、〈Z,-,/〉
D、〈P(A),∩〉
答案:
D
15、下列各代数系统中不含有零元素的是()
A、〈Q,*〉Q是全体有理数集,*是数的乘法运算
B、〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合,*是矩阵乘法运算
C、〈Z,〉,Z是整数集,定义为xxy=xy,x,y∈Z
D、〈Z,+〉,Z是整数集,+是数的加法运算
答案:
D
16、设A={a,b,c},A上二元关系R={〈a,a〉,〈b,b〉,〈a,c〉},则关系R的对称闭包S(R)是()
A、R∪IA
B、R
C、R∪{〈c,a〉}
D、R∩IA
答案:
C
17、设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系,要使Ix∪{〈a,b〉,〈b,c〉,〈c,a〉,〈b,a〉}∪R为X上的等价关系,R应取()
A、{〈c,a〉,〈a,c〉}
B、{〈c,b〉,〈b,a〉}
C、{〈c,a〉,〈b,a〉}
D、{〈a,c〉,〈c,b〉}
答案:
D
18、下列式子正确的是()
A、Ø∈Ø
B、Ø⊆Ø
C、{Ø}⊆Ø
D、{Ø}∈Ø
答案:
B
19、若P:
他聪明;Q:
他用功;则“他虽聪明,但不用功”,可符号化为
A、P∨Q
B、P∧┐Q
C、P→┐Q
D、P∨┐Q
答案:
B
20、以下命题公式中,为永假式的是()
A、p→(p∨q∨r)
B、(p→┐p)→┐p
C、┐(q→q)∧p
D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p)
答案:
C
21、设R1,R2是集合A={1,2,3,4}上的两个关系,其中R1={(1,1),(2,2),(2,3),(4,4)},R2={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)},则R2是R1的()闭包.
A、自反
B、反对称
C、对称
D、以上都不是
答案:
C
22、与P®Q等价的公式有()
A、PÚQ
B、~PÚQ--
C、~(PÙ~Q)
D、~PÙQ
答案:
C
23、A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},下列关系中A到B的关系不正确的是()
A、{(d,1),(c,3)}
B、{(a,1),(b,3),(c,3)}
C、{(1,a),(2,b)}
D、{(a,4),(b,3),(c,2),(d,1)}
答案:
C
24、整数集I上的关系“”是()
A、自反的
B、对称的
C、非对称的
D、非传递的
答案:
C
25、集合A={a,{a},{b,c}}的子集不正确有()
A、Æ
B、{b}
C、{a,{a},{b,c}}
D、{a}
答案:
B
26、下列句子中,( )是命题。
A、2是常数
B、这朵花多好看呀!
C、请把门关上!
D、下午有会吗?
答案:
A
27、在一棵根树中,仅有一个结点的入度为(),称为树根,其余结点的入度均为()。
答案:
0;1;
28、A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2,4〉,〈3,3〉,〈4,2〉},R的关系矩阵MR中m24=(),m34=()。
答案:
1;0;
29、设〈s,*〉是群,则那么s中除()外,不可能有别的幂等元;若〈s,*〉有零元,则|s|=()。
答案:
单位元;1;
30、设A为集合,P(A)为A的幂集,则〈P(A),〉是格,若x,y∈P(A),则x,y最大下界是(),最小上界是()
答案:
x∩y;x∪y;
31、设函数f:
X→Y,如果对X中的任意两个不同的x1和x2,它们的象y1和y2也不同,我们说f是()函数,如果ranf=Y,则称f是()函数。
答案:
入射;满射;
32、使公式(x)(y)(A(x)∧B(y))(x)A(x)∧(y)B(y)成立的条件是()不含有y,()不含有x。
答案:
A(x);B(y);
33、设M(x):
x是人,D(s):
x是要死的,则命题“所有的人都是要死的”可符号化为(x)(),其中量词(x)的辖域是()。
答案:
(M(x)→D(x));M(x)→D(x);
34、若H1∧H2∧…∧Hn是(),则称H1,H2,…Hn是相容的,若H1∧H2∧…∧Hn是(),则称H1,H2,…Hn是不相容的。
答案:
可满足式;永假式(或矛盾式);
35、判断一个语句是否为命题,首先要看它是否为(),然后再看它是否具有唯一的()。
答案:
陈述句;真值;
36、设全集E={1,2,3,4,5},A={1,5},B={1,2,3,4},C={2,5},求(A∩B)∪~C=(),ρ(A)∩ρ(C)=()
答案:
{1,3,4};{φ,(5)};
37、若关系R具有自反性,当且仅当在关系矩阵中,主对角线上元素();若关系只具有对称性,当且仅当关系矩阵是()
答案:
全为1;对称矩阵;
38、G=(P,L)是图,如果G是(),并且(),则G是树.如果根树T的每个点v最多有两棵子树,则称T为()
答案:
连通的;无回路;
39、设集合A,B,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B=(); r(A)-r(B)=()
答案:
{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}};
40、设有限集合A,|A|=n,则|r(A×A)|=()
答案:
22n;
41、已知命题公式G=Ø(P®Q)∧R,则G的主析取范式是()
答案:
(P∧ØQ∧R);
42、设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为(),分枝点数为()
答案:
12;3;
43、设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AÇB=(); AÈB=();A-B=()
答案:
{4};{1, 2, 3, 4}; {1, 2};
44、设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是(),(),()
答案:
自反性;对称性;传递性;
45、化简下式:
((A∪B∪C)∩(A∪B))一((A∪(B—C))∩A)
答案:
解:
((A∪B∪C)∩(A∪B))一((A∪(B—C))∩A)=(A∪B)一A(利用吸收律,)=(A∪B)∩~A(利用A—B=A∩~B,)=φ∪(B∩~A)(利用同一律,)=~A∩B
46、试画出集合A={1,2,3,4,5,6}在半序关系“整除”下的哈斯图,并分别求出:
(1)集合A的最大元、最小元、极大元和极小元;
(2)集合B={2,3,6}的上界、下界、最小上界、最大下界
答案:
解:
(1)集合A无最大元,最小元是1,极大元是4、5、6,极小元是1.
(2)集合B的上界是6,下界是1,最小上界是6,最大下界是1.
47、求A={{1,1},{2,1},{1,2,1}}的幂集(A)
答案:
(A)={,{{1,1}},{{2,1}},{{1,2,1}},{{1,1},{2,1}},{{2,1},{1,2,1}},{{1,1},{1,2,1}},A}
48、S={a,b,c,d}上的关系有:
R1={(a,a),(a,b),(b,d)}R2={(a,d),(b,c),(b,d),(c,b)}求:
R2R1
答案:
R2R1={(a,d),(a,c)}
49、求公式xF(x)yG(x,y)的前束范式。
答案:
xF(x)yG(x,y)=xF(x)yG(x,y)=zF(z)yG(x,y)=zy(F(z)G(x,y))
50、求公式xyzuv(P(x,y,z)Q(x,u)R(y,u,v))的斯柯林范式。
答案:
yv(P(a,y,f(y))Q(x,g(y))R(y,g(y),v))
51、设集合A={1,2,4,6,8,12},R为A上整除关系。
写出A的最大元,最小元,极大元,极小元;(3)写出A的子集B={4,6,8,12}的上界,下界,最小上界,最大下界
答案:
无最大元,最小元1,极大元8, 12; 极小元是1. (3) B无上界,无最小上界。
下界1, 2; 最大下界2.
52、设命题公式G=Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)),求G的主析取范式
答案:
G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)) = Ø(ØP∨Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧ØQ)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧ØQ)∨(Q∧P)∨(Q∧R) = (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) = (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).
53、设一阶逻辑公式:
G=("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x),把G化成前束范式
答案:
G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x) = Ø("xP(x)∨$yQ(y))∨"xR(x) = (Ø"xP(x)∧Ø$yQ(y))∨"xR(x) = ($xØP(x)∧"yØQ(y))∨"zR(z) = $x"y"z((ØP(x)∧ØQ(y))∨R(z))
54、设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},
(1)求出r(R),s(R),t(R);
答案:
(1) r(R)=R∪IA={(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)}, s(R)=R∪R-1={(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)}, t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}
55、设G=,V={v1,v2,v3,v4,v5},E={(v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5),(v4,v5)},试
(1)给出G的图形表示;
(2)写出其邻接矩阵;(3)求出每个结点的度数;
答案:
解:
(1)因为V={v1,v2,v3,v4,v5},v1E={(v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5),(v4,v5)},所以G的图形表示为:
v2v50010000110
(2)邻接矩阵:
11011v4v30110100110(3)由G的图形可知,v1,v2,v3,v4,v5结点的度数依次为1,2,4,3,2
56、设集合A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
(1)AB;
(2)A∩B;(3)A×B.
答案:
解:
(1)AB={{1},{2},1,2}{1,2,{1,2}}={{1},{2}}
(2)A∩B={{1},{2},1,2}∩{1,2,{1,2}}={1,2}(3)AB={{1},{2},1,2}{1,2,{1,2}}={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}}
57、设A={1,2,3,4,5},R={|xA,yA且x+y4},S={|xA,yA且x+y<0},试求R,S,RS,SR,R-1,S-1,r(S),s(R).
答案:
解:
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>},S=,RS=,SR=,R-1=R,S-1=,r(S)=IA.s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}
58、在个体域D={a1,a2,…,an}中证明等价式:
(x)(A(x)→B(x))(x)A(x)→(x)B(x)
答案:
证明(x)(A(x)→B(x))x(┐A(x)∨B(x))(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨…∨(┐A(an)∨B(an)))(┐A(a1)∨A(a2)∨…∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨…∨(B(an))┐(A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨…∨(B(an))┐(x)A(x)∨(x)B(x)(x)A(x)→(x)B(x)
59、设A={a,b,c},R={(a,a),(a,b),(b,c)},验证rs(R)=sr(R).
答案:
证明:
rs(R)=r({(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)})={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(b,b),(c,c)}sr(R)=s({(a,a),(a,b),(b,c),(b,b),(c,c)})={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(b,b),(c,c)}于是rs(R)=sr(R).
60、如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生,那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。
只要他学过DELPHI语言或者C++语言,那么他就会编程序。
因此如果他是计算机系本科生,那么他就会编程序。
请用命题逻辑推理方法,证明该推理的有效结论。
答案:
令p:
他是计算机系本科生q:
他是计算机系研究生r:
他学过DELPHI语言s:
他学过C++语言t:
他会编程序前提:
(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t结论:
p→t证①pP(附加前提)②p∨qT①I③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入)④r∧sT②③I⑤rT④I⑥r∨sT⑤I⑦(r∨s)→tP(前提引入)⑧tT⑤⑥I
61、利用形式演绎法证明:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
答案:
证明:
{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S
(1) P∨R P
(2) ØR→P Q
(1) (3) P→Q P (4) ØR→Q Q
(2)(3) (5) ØQ→R Q(4) (6) R→S P (7) ØQ→S Q(5)(6) (8) Q∨S Q(7)
62、设A,B为任意集合,证明:
(A-B)-C=A-(B∪C)
答案:
证明:
(A-B)-C = (A∩~B)∩~C = A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C) = A-(B∪C)
63、利用形式演绎法证明:
{ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D
答案:
证明:
{ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D
(1) A D(附加)
(2) ØA∨B P (3) B Q
(1)
(2) (4) ØC→ØB P (5) B→C Q(4) (6) C Q(3)(5) (7) C→D P (8) D Q(6)(7) (9) A→D D
(1)(8) 所以 {ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D.
64、A,B为两个任意集合,求证:
A-(A∩B)=(A∪B)-B.
答案:
证明:
A-(A∩B) = A∩~(A∩B) =A∩(~A∪~B) =(A∩~A)∪(A∩~B) =Æ∪(A∩~B) =(A∩~B) =A-B 而 (A∪B)-B = (A∪B)∩~B = (A∩~B)∪(B∩~B) = (A∩~B)∪Æ = A-B 第 11 页 共 17 页 所以:
A-(A∩B) = (A∪B)-B
65、设集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},判断下列关系f:
A→B是否构成函数,并说明理由.
(1)f={<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>};
(2)f={<1,6>,<3,4>,<2,2>};(3)f={<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}.
答案:
解:
(1)f不能构成函数.因为A中的元素3在f中没有出现.
(2)f不能构成函数.因为A中的元素4在f中没有出现.(3)f可以构成函数.因为f的定义域就是A,且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应,满足函数定义的条件.
66、设A是非空集合,F是所有从A到A的双射函数的集合,是函数的复合运算
答案:
证明:
F<>是群。
证明:
由于集合A是非空的,AIFÎ,,因此F非空 。
(1) ,fgFÎ,因为f和g都是A到A的双射函数,故fg也是A到A的双射函数,从而集合F关于运算 是封闭的。
(2) ,,fghFÎ,由函数复合运算的结合律有()()fghfgh=,故运算 是可结合的。
(3) A上的恒等函数AI也是A到A的双射函数即AIFÎ,且fFÎ有AAIffI=, 故AI 是,F<>中的幺元。
(4) fFÎ,因为f是双射函数,故其逆函数是存在的,也是A到A的双射函数,且有11AffffI--==,因此1f-是f的逆元 由此上知,F<>是群
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