数学分析试题及答案解析.docx

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数学分析试题及答案解析

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2014---2015学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一二三四五六七八总分核分人

得分

一.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）

1.若fx在a,b连续，则fx在a,b上的不定积分fxdx可表为

x

a

ftdtC（）.

2.若fx,gx为连续函数，则fxgxdxfxdxgxdx（）.

3.若fxdx绝对收敛，gxdx条件收敛，则[fxgx]dx必

aaa

然条件收敛（）.

4.若fxdx收敛，则必有级数

fn收敛（）

1

n1

5.若fn与gn均在区间I上内闭一致收敛，则fngn也在区间I

上内闭一致收敛（）.

6.若数项级数

a条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散

n

n1

于正无穷大（）.

7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到

的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.

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二.单项选择题（每小题3分，共15分）

8.若fx在a,b上可积，则下限函数

a

x

fxdx在a,b上（）

A.不连续B.连续C.可微D.不能确定

9.若gx在a,b上可积，而fx在a,b上仅有有限个点处与gx不相

等，则（）

A.fx在a,b上一定不可积；

B.fx在a,b上一定可积,但是

b

a

b

fxdxgxdx；

a

C.fx在a,b上一定可积，并且

b

a

b

fxdxgxdx；

a

D.fx在a,b上的可积性不能确定.

10.级数

n1

11

2

n

n

1

n

A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定

11.设un为任一项级数，则下列说法正确的是（）

u

A.若limun0，则级数n

n

一定收敛；

u

n1

B.若lim1，则级数un一定收敛；

nu

n

u

n1

C.若N,当nN时有，1，则级数un一定收敛；

u

n

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u

n1

D.若N,当nN时有，1，则级数un一定发散；

u

n

12.关于幂级数

n

anx的说法正确的是（）

A.

n

anx在收敛区间上各点是绝对收敛的；

B.

n

anx在收敛域上各点是绝对收敛的；

C.

n

anx的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；

D.

n

anx在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

三.计算与求值（每小题5分，共10分）

1

1.limn

n

n

n1n2nn

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lnsinx

13.dx

2

cosx

四.判断敛散性（每小题5分，共15分）

3x1

2.dx

012

xx

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14.

n1

n!

n

n

15.

n1

n

n

12

n

n12

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五.判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）

sinnx

16.fn,1,2,,

xnD

n

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2

n

17.D,22,

n

x

六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面

0

30角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

（本题满10分）

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七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表

面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受

的静压力。

（本题满分10分）

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八.证明：

函数

cosnx

fx在,上连续，且有连续的导函数.

3

n

（本题满分9分）

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2014---2015学年度第二学期

《数学分析2》B卷答案

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一二三四五六七八总分核分人

得分

一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.?

2.?

3.?

4.?

5.?

6.?

7.?

二.单项选择题（每小题3分，共15分）

3.B;2.C;3.A;4.D;5.B

三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

n1x

3

1.limdx

nx

03sin22

xxe

解：

由于

n

1x1n

33

0dxxdx

03sin22

x0

xxe

-------------------------3

分

111

3n

而lxdxilmi0m

0nn

1

nn13

---------------------------------4分

故由数列极限的迫敛性得：

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lim

n

n

1

x

3

0322x

xsinxe

dx0

-------------------------------------5分

18.设

fsin

xx

2，求fxdx

x

sinx

1x

2

解：

令xsint得

x

1x

fxdx

2

sint22

=fsintdsint

2

1sint

----------------2分

sintt

=ttdt

2sincos

costsint

=2tsintdt

-----------------------------------4分

=2tcost2sintC

=21xarcsinx2xC---------------5分

四.判别敛散性（每小题5分，共10分）

arctanx1

4.dx

012

x

解：

arctanxarctanx

1

lim1xlim

2

xx101

12x

0

1x

42

-------3分

1

且p1，由柯西判别法知，

2

arctanx

1

瑕积分dx收敛-------------------------5分

012

x

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19.

n2

ln

1

n

lnn

解：

limlnn,n0N,当nn0时

n

有

2

lnne-----------------------------2

分

从而当nn0

ln

1

n

ln

1

n-------------------------------4

n

2

分

由比较判别法

n2

ln

1

n

lnn

收敛----------------------------5

分

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）

1

5.fnxx2,n1,2,D0,

6.n

解：

极限函数为fxlimfnxxxD-----------------------2分

n

又

f

n

xfxx

2

11/n1

2x--------3分

n1n

xx

2

n

0supfnxfx

xD

1

n

从而limsupfnf0

n

故知该函数列在D上一致收敛.-------------------------5分

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n

x

20.2sin,D[1,1]

n

3

解：

因当xD时，

u

n

x

n

x2

n

2sin--------------2分

n

33

n

2

而正项级数

收敛，-----------------------------4

3

分

由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分

n

1

21.2,D,

22.xn

解：

易知，级数

n

1的部分和序列Sn一致有界，---2分

而对

1

xD,Vnx是单调的，又由于

2

xn

11

xD,Vnx20n，------------------4分

xnn

1

所以vnx在D上一致收敛于0，

2

xn

从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。

------5分

2y2

六.设平面区域D是由圆x2，抛物线

2

yx及x轴所围第一象限部分，

求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

解：

解方程组

222

xy

y

2

x

2y2

得圆x2与抛物线

2

yx在第一象限

的交点坐标为：

1,1，---------------------------------------3

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分

则所求旋转体得体积为：

11

2

V2ydyydy-------------------------------7

00

分

=------------------

=

7

6

------------------------------------------------------10分

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，

求从中将水抽出需要做多少功？

（本题满分10分）

解：

以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系

则分析可知做功微元为：

2

dW5xdx25

xdx

--------------------------------5分

故所求为：

W

10

215xdx

0

-------------------------------------8分

=1250

=12250（千焦）-----------------------------------10

分

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八．设unxn1,2是[a,b]上的单调函数，证明：

若una与unb都

绝对收敛，则unx在[a,b]上绝对且一致收敛.（本题满分9分）

证明：

unxn1,2是[a,b]上的单调函数，所以有

unxunaunb

------------------------------4分

又由una与unb都绝对收敛，

所以unaunb收敛，

--------------------------------------7分

由优级数判别法知：

unx在[a,b]上绝对且一致收敛.--------------------------------

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2013---2014学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一二三四五六七总分核分人

得分

一.判断题（每小题2分，共16分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）

1.若f（x）在[a,b]上可导，则f（x）在[a,b]上可积.（）

2.若函数f（x）在[a,b]上有无穷多个间断点，则f（x）在[a,b]上必不可

积。

（）

3.若

f（x）dx与g（x）dx均收敛，则

aaa

[f（x）g（x）]dx一定条件收

敛。

（）

4.若fnx在区间I上内闭一致收敛，则fnx在区间I处处收敛（）

5.若

n1

a

n1

a为正项级数（an0），且当nn0时有：

1

n

a

n

，则级数

a必发散。

（）

n

n1

6.若fx以2为周期，且在,上可积，则的傅里叶系数为：

12

anfxcosnxdx

0（）

7.若as

n

，则ana12sa1（）

n

n1n1

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23.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。

（）

二.单项选择题（每小题3分，共18分）

7.下列广义积分中，收敛的积分是（）

A

1

0

1

x

dx

B

1

1

x

dx

C

0

sinxdxD

1

1

13

x

dx

8.级数

a收敛是

n

a部分和有界的（）

n

n1n1

A必要条件B充分条件C充分必要条件D无

关条件

9.正项级数un收敛的充要条件是（）

A.limun0B.数列un单调有界

n

n

n1

C.部分和数列sn有上界D.lim1

nu

n

a

bnn1

10.设lima则幂级数anxb1的收敛半径R=（）

an

n

1

A.aB.ab

C.

1

a

D.

1

a

1

b

11.下列命题正确的是（）

Aan（）在[a,b]绝对收敛必一致收敛

x

n1

Ban（x）在[a,b]一致收敛必绝对收敛

n1

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C若lim|an（x）|0

n

，则n（）在[a,b]必绝对收敛

ax

n1

Dan（）在[a,b]条件收敛必收敛

xn1

24..若幂级数

n

a的收敛域为1,1,则幂级数

nx

n

a在1,1上

nx

A.一致收敛B.绝对收敛C.连续D.可导

三.求值或计算（每题4分，共16分）

x1ln；1.xxdx

1

12.dx

sinxcosx

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1

x

3．xxedx

1

.

1

n

25.设fx在[0,1]上连续，求limfxdx

n0

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四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.

26.

dx

132x43x23

；

11

27.dx

28.01xln（1x）

29.

n

n

ln

n

2n1

；

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30.

n1

n

en!

n

n

五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，

共10分）

2n4nx

13.（）,1,2,;（,）

fxx

n

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31.

n1

2

（

n

3

n

1）

1

n

x

；xD,0.50.5,

六.应用题型（14分）

14.一容器的内表面为由

2

yx绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现

有水（

3

m），若再加水7（

3

m），问水位升高了多少米？

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32.把由

x

ye，x轴，y轴和直线x0所围平面图形绕x轴旋转得

1

一旋转体，求此旋转体的体积V，并求满足条件ValimV

2

的a.

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七．证明题型（10分）

已知fx与gx均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有fxgx，但

fx不恒等于gx，证明：

b

a

b

f（x）dxg（x）dx

a

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2013---2014学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一二三四五六七总分核分人

得分

一、判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.对任何可导函数fx而言，fxdxfxC成立。

（）

b

2.若函数fx在a,b上连续，则Fxftdt

x

必为fx在a,b上的

原函数。

（）

3.若级数

n1

a收敛，必有limnan0。

（）

n

x

4.若limnn1

a，则级数

n

n1

a发散.

n

5.若幂级数

n

anx在x2处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（）

n1

6.如果fx在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有

b

a

fxdx

b

a

f

x

dx

.（）

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33.设fx在1,上有定义，则fxdx

1

与级数

n1

f同敛散.（）

n

34.设fx在a,b任子区间可积，b为fx的暇点，则

b

a

fxdx与

1

ba

fb

1

t

1

2

t

dt

同敛散.（）

35.设fnx在Da,x0x0,b上一致收敛，且nn

limfxanN

xx

0

存在，则fxfnx

limlimlimlim

n

nxxxxn

00

.

二.单项选择题（每小题3分，共15分）

15.函数f（x）在[a,b]上可积的必要条件是（）

A连续B有界C无间断点D有原函数

16.下列说法正确的是（）

A.

a和

n

b收敛，

n

anb也收敛

n

n1n1n1

B.

a和

n

b发散，

n

（anb）发散

n

n1n1n1

C.

a收敛和

n

b发散，

n

（

anb）发散

n

n1n1n1

D.

a收敛和

n

b发散，

n

anb发散

n

n1n1n1

17.an（x）在[a,b]收敛于a（x），且an（x）可导，则（）

n1

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A.an（x）axB.a（x）可导

n1

C.

n1

bb

aan（x）dxa（x）dx

a

D.

n

1

an（x）一致收敛，则a（x）必连续

n1

1