届高考数学难点突破圆锥曲线抛物线带解析.docx
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届高考数学难点突破圆锥曲线抛物线带解析
2019届高考数学难点突破--圆锥曲线:
抛物线(带解析)
抛物线
【考点梳理】
.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程y2=2px
y2=-2px
x2=2p
x2=-2p
p的几何意义:
焦点F到准线l的距离
图形顶点o
对称轴y=0x=0
焦点Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,-p2
离心率e=1
准线方程x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R
焦半径|PF|x0+p2
-x0+p2
y0+p2
-y0+p2
【考点突破】
考点一、抛物线的定义及应用
【例1】已知抛物线c:
y2=x的焦点为F,点A是c上一点,|AF|=54x0,则x0=
A.1 B.2c.4D.8
若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A,则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为________.
[答案]A
[解析]由y2=x,知2p=1,即p=12,
因此焦点F14,0,准线l的方程为x=-14.
设点A到准线l的距离为d,则由抛物线的定义可知d=|AF|.
从而x0+14=54x0,解得x0=1.
将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±6.
∵6>2,∴A在抛物线内部,如图.
设抛物线上点P到准线l:
x=-12的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为72,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为.
【类题通法】
.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化,使解答简捷、明快.
.若P为抛物线y2=2px上一点,由定义易得|PF|=x0+p2;若过焦点的弦AB的端点坐标为A,B,则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出.
【对点训练】
.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P,Q两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=
A.9B.8c.7D.6
[答案]B
[解析]抛物线y2=4x的焦点为F,准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到点A的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为__________.
[答案]5
[解析]如图,易知抛物线的焦点为F,准线是x=-1,由抛物线的定义知:
点P到直线x=-1的距离等于点P到F的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到点A的距离与点P到F的距离之和最小.
连接AF交抛物线于点P,此时最小值为|AF|=[1--1]2+0-12=5.
考点二、抛物线的标准方程与几何性质
【例2】点到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是
A.x2=112y
B.x2=112y或x2=-136
c.x2=-136yD.x2=12y或x2=-36
已知抛物线c1:
y=12px2的焦点与双曲线c2:
x23-y2=1的右焦点的连线交c1于点,若c1在点处的切线平行于c2的一条渐近线,则p=
A.316B.38c.233D.433
[答案]DD
[解析]将y=ax2化为x2=1ay.
当a>0时,准线y=-14a,则3+14a=6,∴a=112.
当a<0时,准线y=-14a,则3+14a=6,∴a=-136.
∴抛物线方程为x2=12y或x2=-36y.
由抛物线c1:
y=12px2得x2=2py,
所以抛物线的焦点坐标为0,p2.
由x23-y2=1得a=3,b=1,c=2.
所以双曲线的右焦点为.
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为y-0p2-0=x-20-2.
即px+4y-2p=0.①
设x0,x202p,则c1在点处的切线的斜率为x0p.
由题意可知x0p=33,解得x0=33p,
所以33p,p6,
把点的坐标代入①得3p23+23p-2p=0.解得p=433.
【类题通法】
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【对点训练】
.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为__________.
[答案]x=-2
[解析]由椭圆x29+y25=1,知a=3,b=5,
所以c2=a2-b2=4,所以c=2.
因此椭圆的右焦点为,
又抛物线y2=2px的焦点为p2,0.
依题意,得p2=2,
于是抛物线的准线x=-2.
.以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于A,B两点,交c的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则c的焦点到准线的距离为
A.2B.4c.6D.8
[答案]B
[解析]不妨设抛物线c:
y2=2px,圆的方程为x2+y2=r2,
∵|AB|=42,|DE|=25,
抛物线的准线方程为x=-p2,
∴不妨设A4p,22,D-p2,5,
∵点A4p,22,D-p2,5在圆x2+y2=r2上,
∴16p2+8=p24+5,解得p=4,
故c的焦点到准线的距离为4.
考点三、直线与抛物线的位置关系
【例3】在直角坐标系xoy中,直线l:
y=t交y轴于点,交抛物线c:
y2=2px于点P,关于点P的对称点为N,连接oN并延长交c于点H.
求|oH||oN|;
除H以外,直线H与c是否有其它公共点?
说明理由.
[解析]如图,由已知得,Pt22p,t.
又N为关于点P的对称点,故Nt2p,t,
故直线oN的方程为y=ptx,
将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t.
所以N为oH的中点,即|oH||oN|=2.
直线H与c除H以外没有其他公共点.理由如下:
直线H的方程为y-t=p2tx,即x=2tp.
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,
即直线H与c只有一个公共点,
所以除H以外,直线H与c没有其他公共点.
【类题通法】
判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
【对点训练】
已知抛物线方程为y2=8x,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
[答案][-1,1]
[解析]设直线l的方程为y=,代入抛物线方程,消去y整理得2x2+x+42=0,当=0时,显然满足题意;当≠0时,Δ=2-42•42=64≥0,解得-1≤<0或0<≤1,因此的取值范围是[-1,1].
【例4】已知抛物线c:
y2=2px过点P,过点0,12作直线l与抛物线c交于不同的两点,N,过点作x轴的垂线分别与直线oP,oN交于点A,B,其中o为原点.
求抛物线c的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
求证:
A为线段B的中点.
[解析]把P代入y2=2px,得p=12,
所以抛物线c的方程为y2=x,
焦点坐标为14,0,准线方程为x=-14.
当直线N斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线N斜率存在且不为零.
由题意,设直线l的方程为y=x+12,l与抛物线c的交点为,N.
由y=x+12,y2=x,消去y得42x2+x+1=0.
考虑Δ=2-4×42=16,
由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以<12.
则x1+x2=1-2,x1x2=142.
因为点P的坐标为,所以直线oP的方程为y=x,点A的坐标为.
直线oN的方程为y=y2x2x,点B的坐标为x1,y2x1x2.
因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2
=x1+12x2+x2+12x1-2x1x2x2
=x1x2+12x2
=×142+1-22x2=0.
所以y1+y2x1x2=2x1.
故A为线段B的中点.
【类题通法】
涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
【对点训练】
已知F为抛物线c:
y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与c交于A,B两点,直线l2与c交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16B.14c.12D.10
[答案]A
[解析]抛物线c:
y2=4x的焦点为F,
由题意可知l1,l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为,则l2直线的斜率为-1,故l1:
y=,l2:
y=-1.
由y2=4x,y=,消去y得2x2-x+2=0.
设A,B,∴x1+x2=22+42=2+42,
由抛物线定义可知,|AB|=x1+x2+2=4+42.
同理得|DE|=4+42,
∴|AB|+|DE|=8+42+42≥8+216=16.
当且仅当12=2,即=±1时取等号.
故|AB|+|DE|的最小值为16.
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- 高考 数学 难点 突破 圆锥曲线 抛物线 解析
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