北邮形式语言与自动机二三章答案.docx

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北邮形式语言与自动机二三章答案

形式语言与自动机课后作业答案

第二章

4．找出右线性文法，能构成长度为1至5个字符且以字母为首的字符串。

答：

G={N,T,P,S}

其中N={S,A,B,C,D}T={x,y}其中x€{所有字母}y€{所有的字符}P如下:

StxStxAAfyAfyB

BtyBtyCCtyCtyDDty

6．构造上下文无关文法能够产生

L={3/{a,b}*且3中a的个数是b的两倍}

答：

G={N,T,P,S}

其中N={S}T={a,b}P如下:

StaabStabaStbaa

StaabSStaaSbStaSabStSaab

StabaSStabSaStaSbaStSaba

StbaaSStbaSaStbSaaStSbaa

7．找出由下列各组生成式产生的语言（起始符为S）

（1）StSaSStb

（2）StaSbStc

（3）StaSfaEaS

答：

（1）b（ab）n/n>0}或者L二{（ba）nb/n>0}

（2）L={ancbn/n>0}

（3）L={a2n+1/n>0}

第三章

1.下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。

（1）含有偶数个a和奇数个b的{a,b}*上的字符串集合

（2）含有相同个数a和b的字符串集合

（3）不含子串aba的{a,b}*上的字符串集合

答：

（1）是正则集，自动机如下

bbbb

⑵不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见17题

（2）

（3）是正则集

先看L'为包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合

显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。

（略）

则不包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合L是L'勺非

根据正则集的性质，L也是正则集。

4．对下列文法的生成式，找出其正则式

（1）G=（{S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S）,生成式P如下：

StaAStB

AtabSAtbB

BtbBtcC

CtDDtbB

Dtd

（2）G=（{S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S）,生成式P如下：

StaAStB

AtcCAtbB

BtbBBta

CtDCtabB

Dtd

答：

（1）由生成式得：

S=aA+B①

A二abS+bB②

B=b+cC③

C=D④

D=d+bB⑤

③④⑤式化简消去CD得到B=b+c（d+bB）

即B=cbB+cd+b=>B=（cb）*（cd+b）⑥

将②⑥代入①

S=aabS+ab（cb）*（cd+b）+（cb）*（cd+b）

=>S=（aab）*（ab+£）（cb）*（cd+b）

（2）由生成式得：

S=aA+B①

A=bB+cC②

B=a+bB③

C二D+abB④

D=dB⑤

由③得B=b*a⑥

将⑤⑥代入④C=d+abb*a=d+ab+a⑦

将⑥⑦代入②A=b+a+c（d+b+a）⑧

将⑥⑧代入①S=a（b+a+c（d+ab+a））+b*a

=ab+a+acd+acab+a+b*a

5.为下列正则集，构造右线性文法：

（1）{a,b}*

（2）以abb结尾的由a和b组成的所有字符串的集合

（3）以b为首后跟若干个a的字符串的集合

⑷含有两个相继a和两个相继b的由a和b组成的所有字符串集合

答：

（1）右线性文法G=（{S},{a,b},P,S）

P:

S^aSStbSSt&

（2）右线性文法G=（{S},{a,b},P,S）

P:

S^aSStbSStabb

（3）此正则集为{ba*}

右线性文法G=（{S,A},{a,b},P,S）

P:

S^bAAtaAAt£

（4）此正则集为{{a,b}*aa{a,b}*bb{a,b}*,{a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*}

右线性文法G=（{SAB,C},{a,b},P,S）

P:

S^aS/bS/aaA/bbB

AtaA/bA/bbC

BtaB/bB/aaC

CtaC/bC/&

7.设正则集为a（ba）*

（1）构造右线性文法

（2）找出

（1）中文法的有限自动机

答：

（1）右线性文法G=（{S,A},{a,b},P,S）

P:

S^aAAtbSAt&

（2）自动机如下：

（p2是终结状态）

9.对应图（a）（b）的状态转换图写出正则式。

（图略）

（1）由图可知q°=aqo+bqi+a+e

q1=aq2+bq1

qo=aqo+bq1+a

=>q1=abq1+bq1+aaqo+aa

=（b+ab）q1+aaqo+aa

=（b+ab）*（aaqo+aa）

=>qo=aqo+b（b+ab）*（aaqo+aa）+a+e

=qo（a+b（b+ab）*aa）+b（b+ab）*aa+a+e

=（a+b（b+ab）*aa）*（（b+ab）*aa+a+e）

=（a+b（b+ab）*aa）*

（3）qo=aq1+bq2+a+b

q1=aqo+bq2+b

qo=aq1+bqo+a

=>q1=aqo+baq1+bbqo+ba+b

=（ba）*（aqo+bbqo+ba+b）

=>q2=aaqo+abq2+bqo+ab+a

=（ab）*（aaqo+bqo+ab+a）

=>qo=a（ba）*（a+bb）qo+a（ba）*（ba+b）+b（ab）*（aa+b）qo+b（ab）*（ab+a）+a+b

=[a（ba）*（a+bb）+b（ab）*（aa+b）]*（a（ba）*（ba+b）+b（ab）*（ab+a）+a+b）

10.设字母表T={a,b},找出接受下列语言的DFA:

（1）含有3个连续b的所有字符串集合

（2）以aa为首的所有字符串集合

（3）以aa结尾的所有字符串集合

答：

（1）M=（{qo,qiq2,q3},{a,b},（T,qo,{qs}）,其中如下:

a

b

qo

Qo

qi

qi

qo

q2

q2

qo

q3

q3

q3

q3

（2）M=（{qo,qiq2},{a,b},（T,qo,{q2}）,其中q如下:

a

b

qo

qi

①

qi

q2

①

q2

q2

q2

（3）M=（{qo,qiq2},{a,b},q,qo,{q2}）,其中q如下:

a

b

qo

qi

qo

qi

q2

qo

q2

q2

qo

14构造DFAMi等价于NFAM,NFAM如下：

（"M=（{qo,qiq2,q3},{a,b},o,qo,{q3}），其中c如下：

&（qo,a）={qo,qi}o（qo,b）={q0}

o（qi,a）={q2}o（qi,b）={q2}

o（q2,a）={q3}o（q2,b）=①

o（q3,a）={q3}o（q3,b）={q3}

（2）M=（{qo,qiq2,q3},{a,b},o,qo,{qi,q2}），其中o如下:

o（qo,a）={qi,q2}o（qo,b）={qi}

o（qi,a）={q2}o（qi,b）={qi,q2}

o（q2,a）={q3}o（q2,b）={qo}

o（q3,a）=①o（q3,b）={qo}

答：

（〔）DFAMi二{Qi,{a,b},o1,[qo],{[qo,qi,q3],[qo,q2,q3],[qo,qi,q2,q3]}

其中Qi二{[qo],[qo,qi],[qo,qi,q2],[qo,q2],[qo,qi,q2,q3],[qo,qi,q3】,[qo,q2,q3],[qo,q3]}

（T1满足

a

b

[qo]

[qo,q1]

[qo]

[qo,q1]

[qo,q1,q2]

[qo,q2]

[qo,q1,q2]

[qo,q1,q2,q3]

[qo,q2]

[qo,q2]

[qo,q1,q3]

[qo]

[qo,qi,q2,q3]

[qo,qi,q2,q3]

[qo,q2,q3]

[qo,qi,q3]

[qo,qi,q2,q3]

[qo,q2,q3]

[qo,q2,q3

[qo,qi,q3]

[qo,q3]

[qo,q3]

[qo,qi,q3]

[qo,q3]

（2）DFAMi={Qi,{a,b},&1,[qo],{[qi],"],

[qi,q3],[qo,qi,q2],[qi,q2],[qi,q2,q3],[q2,q3]}

其中Qi二{[qo],[qi,q3],[qi],[q2],[qo,qi,q2],[qi,q2],[q3],[qi,q2,q3],[q2,q3]}

（T1满足

a

b

[qo]

[qi,q3]

[qi]

[qi,q3]

[q2]

[qo,qi,q2]

[qi]

[q2]

[qi,q2]

[q2]

[q3]

[qo]

[qo,qi,q2]

[qi,q2,q3]

[qo,qi,q2]

[qi,q2]

[q2,q3]

[qo,qi,q2]

[q3]

①

[qo]

[qi,q2,q3]

[q2,q3]

[qo,qi,q2]

[q2,q3]

[q3]

[qo]

15.15对下面矩阵表示的£-NFA

£

a

b

c

p（起始状态）

©

{p}

{q}

{r}

q

{p}

{q}

{r}

©

r（终止状态）

{q}

{r}

©

{p}

（1）给出该自动机接收的所有长度为3的串

⑵将此£-NFA转换为没有£的NFA

答：

（1）可被接受的的串共23个,分别为aac,abc,acc,bac,bbc,bcc,cac,cbc,ccc,caa,cab,cba,cbb,cca,ccb,bba,aca,acb,bca,bcb,bab,bbb,abb

（2）£-NFA:

M=（{p,q,r},{a,b,c},（T,p,r）其中c如表格所示。

因为£-closure（p）={p}

则设不含£的NFAM=（{p,q,r},{a,b,c},c1,p,r）

（T1（p,a）=

:

c'（p,a）=

=£-closure（

c（c'（p,£）,a））={p}

q1（p,b）=

:

c'（p,b）=

=£-closure（

c（c'（p,£）,b））={p,q}

（T1（p,c）=

:

c'（p,c）=

:

£-closure（

c（c'（p,£）,c））={p,q,r}

31（q,a）=

:

c'q,a）=

=£-closure（

c（c（q,£）,a））={p,q}

q1（q,b）=

:

c'q,b）=

=£-closure（

c（c'q,£）,b））={p,q,r}

c1（q,c）=

:

c'q,c）=

:

£-closure（

c（c（q,£）,c））={p,q,r}

o-1（r,a）二

c'r,a）=

£-closure（

c（c'r,£）,a））={p,q,r}

o-1（r,b）=

c'r,b）=

£-closure（

c（c（r,£）,b））={p,q,r}

q1（r,c）=

c'r,c）=

£-closure（

c（c'r,£）,c））={p,q,r}

图示如下：

（r为终止状态）

a,b,c

16.设NFAM=（{qo,qi},{a,b},,qo,{qi}）,其中c如下：

&（qo,a）={qo,qi}c（qo,b）={qi}

c（qi,a）=①c（qi,b）={qo,qi}

构造相应的DFAMi,并进行化简

答：

构造一个相应的DFAMi二{Qi,{a,b},ci,[qo],{[qi]，[qo,qi]}

其中Qi={[qo],[qi],[qo,qi]}

（Ti满足

a

b

[qo]

[qo,qi]

[qi]

[qi]

①

[qo,qi]

[qo,qi]

[qo,qi]

[qo,qi]

由于该DFA已是最简，故不用化简

17.使用泵浦引理，证明下列集合不是正则集：

（1）由文法G的生成式S-aSbS/c产生的语言L（G）

（2）{3/{a,b}*且3有相同个数的a和b}

kk

（3）{aca/k>1}

（4）{33/3€{a,b}*}

证明：

（1）在L（G）中，a的个数与b的个数相等

假设L（G）是正则集，对于足够大的k取3=ak（cb）kc令3=313032

因为|3o|>O|313o|

所以对于任意30只能取30=an€（0,k）

则313Oi32=ak-n（an）i（cb）kc在i不等于1时不属于L与假设矛盾。

则L（G）不是正则集

（2）假设该集合是正则集，对于足够大的k取3=akbk令3=313O32

因为|3o|>O|313o|Wk存在30使313032€L

所以对于任意3o只能取3o=ann€（0,k）

则313Oi32=ak-n（an）ibk在i不等于1时a与b的个数不同，不属于该集合

与假设矛盾。

则该集合不是正则集

（3）假设该集合是正则集，对于足够大的k取3=akcak令3=313032

因为|30|>0|3130|Wk存在30使313032€L

所以对于任意30只能取3o=ann€（0,k）

则313oi32=ak-n（an）icak在i不等于1时c前后a的个数不同,不属于该集合

与假设矛盾。

则该集合不是正则集

（4）假设该集合是正则集，对于足够大的k取33=akbakb

令33=313032

因为|3o|>O|313o|Wk存在30使313032€L

所以对于任意3o只能取3o=ann€（0,k）

则313oi32=ak-n（an）ibakb在i不等于1时不满足33的形式,不属于该集合

与假设矛盾。

则该集合不是正则集

18．构造米兰机和摩尔机

对于{a,b}*的字符串，如果输入以bab结尾，则输出1;如果输入以bba结尾，则输出2；否则输出3。

答：

米兰机：

说明状态qaa表示到这个状态时，输入的字符串是以aa结尾。

其他同理

摩尔机，状态说明同米兰机。

qbb,3

b/3