实变函数第二章习题解答docx.docx
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第二章习题参考解答
1:
证明:
有理数全体是尺中可测集,且测度为0.
证:
(1)先证单点集的测度为O.Vxg/?
\令£={x}.V^>0,Vhg/V
pp800
—尹“莎),因如Sf专初屮严'人为开区砖
00
00
工II=工=£.故加*E=0.m以E可测且mE=0.M=1〃=1'"
(2)再证:
/?
'中全体有理数全体Q测度为0.
设匕}羸是只中全体有理数,VneTV,令En={rn}.则{乞}是两两不相交的可测集
0088
列,由可测的可加性冇:
加*0=加(u&)=工mEn=工0=0.
n=1n=ln=\
法二:
设e={rJL,Vne/v,令/;=(乙—缶心+希),其中£是预先给定的
任意性,加*2=0.
2.证明:
若E是/?
"有界集,则m*E<+oo.
证明:
若E是/?
"有界.则日常数M>0,使Vx=(xpx2,•••%„)€£,有间=
Eu匚[[兀一M,兀+M]. 1=1 所以加门比-M,兀+M]sf2M=(2M)”<+oo /=i/=i 3.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零? 解: 不能.事实上,设EuR”,E中有一个內点兀=(坷,…兀”)wEH5〉(),使得 ” C“QQ 0(兀,5)=訂(兀一牙,兀+牙)UE.则/? ? *£>m*[]^[(x.+—)]=sn>0 ;=i22f=i22 所以加*EhO. 4•在㈡上]上能否作一个测度为h-af但乂界于[q,切的闭集? 解: 不能 事实上,如果有闭集Fu[d,b]使得mF=b-a.不失一般性,可设aeFf\.beF.事实上,若a电F,则可作F*二{a}UF,F*u[g,/? ].UmF^=m[a]+mF=mF.这样,我们可记F*为新的F,从而[a,b]-F=(a,b)-F=(a,b)-FCl@劝. 如果[a,b]-FH0,即Bxe[a,b]-F=(a,b)-Ff而(a,b)_F是开集,故兀是[a,b]-F的一个内点,由3题,([a,b]-F)=m([a,b]-F)=m(a.b)-mF与mF=b-a才盾. 故不存在闭集Fcz[a,b]且mF=b—a 5.若将§1定理6中条件”加(U®)<0去掉,等式0/n(limEJ n>k0"TOO"T8 成立? 解: §1定理6中条件*(U£,.)<00”是不可去掉的. 心k() 事实上,Vne2V,令En-[n-l,n),贝U{E”}爲是两两相交的可测集列,由习题一得 15题: iim£n=limE/? =0m(lim£J=0,但V”wN,mEn=m[n-l,n)=l.所以 "T8w_>ooms limmEn=1•从而limmEn丰加(limEtl). >00"—>8 6.设代,E,…是[0,1)中具有下述性质的可测集列: X/£>0,3keN使证&>1-£', 00 证明: 7h(U£/)=1 /=! 证: 事实上,Vg〉0,因为mkGN,mEk>\-£ 1>m[O,l]>m(UEJ>mEk>\-£ i=\ 7.证明: 对任意可测集A,B,下式恒成立. m{AUB)+m(APlB)=mA+mB. 证明: A^B=(A\JB-A)\JA且(4UB—4)门4=0 故m(AUB)=m(AUB一A)+加4•即加(力UB)-mA=m(AB-A)=m(B-A) 又因为B=(B-A)U(BnA)..E(B-A)n(BnA)=0,所以mB= m{B一A)+m{BAA) 故加(AU5)-mA=mB-m(APlB),从而m{AUB)+m(APlB)=mA+mB &设是A,A? 是[0,1]屮的两个可测集且满足m\+mA2>1,证明: m(A^A2)>0. 证: m{A{UA2)+/n(A,0^2)=/^+mA2.又因为加(出UA2) 所以加(A0A? )=mAx+mA^-m(A,U人)》加人+""V-1>0 9.设A2,码是[0,1]中的两个可测集,且皿+叽+叽>2,证明: /n(A]nA2nA3)>0 证: m(AlUA2\JA3)+m[(A{[JA2)C\A3]=m(A]U>42)+mA3= in(A{)+m(A2)+m(A3)-m{A{AA2). 所以m(AinA2)+m[(AI\JA2Pl^3)]=+m(A2)+m(A3)-m(A}\JA2U£) 又因为m[(A,nA2)u(A2nx3)u(a3nA,)i=血[(儿aa2)u(aua2aa3)j=加(Al0人2)+〃[(£uA2nA3)J-zn[(A1AA2)D[(A1UA2DAJ]=加(儿门仏)*m[(AUA2)nAJ-m[(A{C\A2HAJ.所以加(岀介每门州)=m(A,M)+/7? [(aUa2A4)1-zn[(A1HA2)U(a2n4)U(a3AA)]=m(A,)+m(A2)+zn(A3)-zn(4UA2UA3)-加[(人AA2)U(A2AA3)U(A3AA,)] 因为/n(A1UA2UA3) 加kanA2)u(A2na3)u(a3nA)] 加(ADA2AA.)>加(A〕)+m(A2)+m(A3)-l-l=m(At)+m(A2)-bm(A3)-2>0. 1().证明: 存在开集G,使加乙>mG 证明: 设{乙}爲是[0,1]闭区间的一切有理数,对于Vhg/V,令 人二⑴一肖心+拾),并^G=Oln是疋中开集 ZZ川=1 1 二二1C亍1——1 mG 2 11.设E是X中的不可测集,4是疋中的零测集,证明: EHCA不町测. 证明: 若EC\CA可测.因为£AA(=A,所以m*(EC\A) m*(EDA)=0.故E"A可测.从而E=(EDA)U(EflCA)可测,这与E不可测矛盾. 故E"C4不可测. 12•若E是[0,1冲的零测集,若闭集E是否也是零测集. 解: 不一定,例如: E是[0,1]中的冇理数的全体. E=[0,1].mE=0,但mE=加[0,1]=1. 13.证明: 若E是可测集,则V6'>0,存在G〃型集G=E,你型集F=E,使m{E一F)<£,m(G一F)<£ 证明: 由P51的定理2,对于EuR”,存在G»型集GnE,使得mG=m^E.^E得可测性,m^E=mE.则V^>0.m(G-E)=mG-mE=0J卩〉0,m(G-F)<£.再由定理3,有Fa型集F使得F=>E.且m{E一F)=mE一mF=0 15.证明: 有界集E可测当且仅当V^>0,存在开集G二E,闭集F=E,使得m(G-F)<£. 证明: «=)Vhg/V,由己知,存在开集G“=)E,闭集F”=)E使得m(Gn-Fn)<~.n 00 令G=C|G“,则GoE.Vne/V,m*(G-E) /? =! v丄一>0(〃TOO).所以,加*9一£)=0.即G-E是零测集,可测. n 从而,E=G-(G-E)可测 (=>)设E是冇界可测集 800 因为加*E=inf{^l//;I|Uo£,人为开长方体}<+oo.故,0£〉0,存在开长 另一方面,由E得冇界性,存在7T中闭长方体I二E.记3=/—E,则S是/? "中 冇界nJ测集.并冃.mS=ml-mE. 由S得有界可测性,存在开集G"nS有加(G*-S)v? .因为I二E,故G"n/z)S. 2 因此三>/n(G*A/-5)=m(G*门/)—加S=m(G*A/)-(ml-mE)= 2 mE-{ml一77? (G+Cl/))=加E一m{I一G*Cl/) 令,F=/-G*n/,则F是一个闭集,并且由G*n/=)S=/-E,有 £o/-G*n/=F.因此m{E-F)=mE-mF=mE-m{I-G*A/)<->从而,存 2 在开集G二E,闭集F=E.有m(G-F)=m((G-E)\J(E-F)) +m(E-F)<—+—=£・ 22 由£的任意性知,加*(/? 'x{0})=0.即Fx{0}是零测集.从而,位于。 兀轴上的任意集 Ec/? rx{0},因此,E为零测集. 16.证明: 若EmczRn是单调增加集列(不一定可测)且UEm,贝ij /|=1 co m*(UE加)=limm*Em n=]川一>8 8 证明: E=UE册,即,E冇界并RE]u5u6u…uu…uE n=l 7/7*E) 有上界.所以,limm*Em存在并且limm*Em /;l->00加TOO 下证: limm*Em>m*E. n/—>oo 由于E有界,可作一个开长方体A=f](e・,〃),有VneTV, /=! 88 V£>0,因为加=inf⑵厶IIUOEn,厶为开长方体}.故,存在开长方体序列 00 {厶}使得U/,OEn, n=\ 一几m*En1()<* 心気 00 =工II f=l oo 令Gn=(U/,)AA,则G“为有界开集,且E“uG“uA,n=l oo m*En i=i V〃wN,又令A”=S=l,2,…).且力4”,则由E“uA”uA知, r? =l/: =1 88 E=UuU九=Au△ 〃=1n=l {An}是单调递增的口J测序列,由P46的定理4,m*E ”一>oon->oo 乂由,AnuGn(VngN),有mAn limmAn /nAn Vfl、flxfl ->00加=]"TOO 17.证明: R"中的Bor"集类具冇连续势. 证明: 为了叙述方便,我们仅以/? =1为例进行证切: 合;Q表示/? '所有闭集;几和禺 分别表示所有的化型集,所有G〃型集. 用]a9b[表示7T上的开区间,用(d,b)表示上的一个点.A表示7? '上的所有开区间的集 因为A={]a,b[|a.be/? '}~\a,bwR',a dw/? '}uA.故RyA5R'xR'=C.所以A=C. oo= 又因为A^{0\存在可数个开区间{/J,有O=U人}.所以A noo q/TtQ,有0(口厶)=U/wQ・故0是一个满射.所以 /=! /=1◎ C=A 0000 又定义: 屮rp(7^(Y[0i)=^0i.r(Y[0i)=[: 0ic /=! /=,i=\Z=1 则鸭与厂都是满射.所以C 记0时H上的Bo炮集的全体.因集合的“差”运算可以化成“交”运算,例如: A-B=AC\BC•因此,0中的每个元都是可数元的并,交后而成•故c=Pa[j&s 从而,孑二c.即,Borel集的全体的势为C. 1&证明对任意的闭集F,都可找到完备集片uF,使得mF,=mF. 19.证明: 只要/n£>0,就一定可以找到xeE,使对0》〉0,有m(EnC(x,^))>0.证明: 设EuR”,mE〉O.首先将/? "划分成可数边长为丄的左开右闭的/? 维长方体 2 心(牛每与吩Z}•则0冃酊0(牛巴匸乜)Im.gZ}互不相交且至多可数.不/=! 22;=122 妨记为0|={£/取站,A\UN・ 因E=U01=U尽),则加£=工吨⑴>0.故旳wN,冇加&⑴〉0.又因 k 02={砂巾[1(与,竺二)1"WZ}互不相交且至多可数故可记02={即}心,其中 ^uN,又由,EP=U02=U/p.故证『=工勒2)>0,所以, k 並UN,有加即〉o. 这样下去得一个单调递减的可测集列E=E„EjnE;? 二…,其中: V/>7V, %"磅(争昭X前11(笋需h记沪帀心(笋譽)], i—1i—Ii—1 故闭集列{FJ爲单调递减且Pj>N,0 f) 由闭集套定理,3! xenFr J=i 11 对于V5>0,因mF<(—)\取/0>N,使(匚严•则 j2〃v2〃 ™~11 xgF.(=£ni]J[(—)|<=0(^,^)0£,故m(EC\O(x,3))>mFjn>0. /=i2°20 20•如果EuRn可测,cr>0记aE={(ax^...,axn)\(xp...,xn)eE}.证明: aE也 nJ测,Rm(aE)=an-mE. 证明: (1)先证: m*(aE)=an-m*E 8 因为m*(qE)=inf{工I厶I i=[ co |U厶naE,/.为开长方体},对于开长方体序列[In}二, i=l 18888 士工山•即q"•加*EW工I厶丨.因此€Z? •/? ? *£ 体}・ 00 另一方面,0£〉0,因为m*E=inf{^IZzl 1=1 8尸8 氏方体序列yiz/l 二aE,故仃an曰 CO00 加*(血)二工1如*丨二工/丨厂Iva"+由£得任意性,知 /=! /=1 m*(aE) (2)再证: 必可测 事实上,VTcRn,丄TuR”,由E得可测性,m(-T)=m*(丄T"E)+aaa m*(-TACE).故,—7t? (T)=—in*(T门必)+丄加*(T门aCE). aananan 因此m^T=/77*(TDcr£)+*(TAaCE).aE可测. 因此,当EHf测时,m^aE=a"mE. 下面是外测度的平移不变性定理. 定理(平移不变性)设EuR“,x0€/? \记£+{xo}={x+xolxe£}.则 An*(E+{x0})=m*E 证明: 当£是R"小开长方体时E+{x0}也是一个开长方体,且其相应的边均相同,故m*(E+{兀。 })=1£+[xQ}1=1E1=m*E. 如果E是/? ”中的任意点集,对于E德任意由开长方体序列{/,}: .构成的覆盖,仏+{“)}}着也是E+[xq}覆盖,且仍是开长方体序列,故//7*(E+{x0})< 8008g Z'A+{兀。 }1=工1厶I.所以/77*(£+{x0}) j=l/=! /=! /=1 m*E.即加*(E+{x0}) 下证: m^E 令£,=£+{x0},由上面的证明知,加*(巴+{—心})5加*£].所以 /n*E=m*(£,+{-x()}) 21.设/(x)=x2,EuRl是零测集,证明: f(E)=f(x)=x2\xeE}也是零测集. 证明: 设EuR,mE=0 (1)当E(=(0,1)时,Vg>0,当加*E=0,则存在开区间至%厶=@,屈)};1 00008F8 使得EuU(e,0Ju(O,l),冃工1厶1=丫(0「—故/(E)=/(U(e,0J)= /=,z=i: =i2/=, 0088OQ U(&,0: )u(O,l).加号(E)5》l/(/)=》(A2-^2)=Z(0,—e)(Q+e) /=li=li=\/=1 (0,_e)=2-彳之.所以卅/(E)=0. i=l2
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