入门级数学建模练习题.docx
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入门级数学建模练习题
入门级数学建模练习题
2.假设在一所大学中,一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。
再设图书馆平均一周收回借出书的1/10,若在充分长的时间内,一位普通教授大约借出多少年本书?
3.一人早上6:
00从山脚A上山,晚18:
00到山顶B;第二天,早6:
00从B下山,晚18:
00到A。
问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点?
4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分?
5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家,家中的狗一直在二人之间来回奔跑。
已知哥哥的速度为3公里/小时,妹妹的速度为2公里/小时,狗的速度为5公里/小时。
分析半小时后,狗在何处?
6.甲乙两人约定中午12:
00至13:
00在市中心某地见面,并事先约定先到者在那等待10分钟,若另一个人十分钟内没有到达,先到者将离去。
用图解法计算,甲乙两人见面的可能性有多大?
7.设有n个人参加某一宴会,已知没有人认识所有的人,证明:
至少存在两人他们认识的人一样多。
8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10
端小孔的
面积为0.59.假设在一个刹车交叉口,所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡,计算这种情
下的刹车距离。
如果汽车由西驶来,刹车距离又是多少?
10.水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。
包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。
为了节省材料,如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。
:
顶=1:
a:
b,选坐v>0,而设语雨速
L,v≤xvv+1),v>x.解:
由于教授每天借一本书,即一周借七本书,而图书馆平均每周
收回书的1/10,设教授已借出书的册数是时间t的函数小x的函数,则它应满足
其中初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。
解该线性问题得X=70[1-e?
t]
由于当∞时,其极限值为70,故在充分长的时间内,一位普通教授大约已借出70本书。
3.解:
我们从山脚A点为始点记路程,设从A到B路程函数为f,
即t时刻走的距离为f;同样设从B点到A点的路程为函数g。
由题意有f=0,f=|AB|,g=|AB|,g=0;
令h=f--g,则有h=f--g=--|AB||0又注意f,g都是时刻t的连续函数,因此h也是时刻t的连续函数,由连续函数的介质定理,一定存在某时刻t。
使h=0,即f=g所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。
4.解:
设I为平面上任一封闭曲线,p为平面上一点,则存在已过点p的直线,将I所围的面积二等
分,如下图
设l为过点p的一条直线,若S1=S1,则得证,否则设S1>S2,l与x轴夹角为a,让l逆时针绕p旋转S,S2,则S1,S2随a的变化连续的变化,记其面积为S1a),S2,则记S1=S1,S2=S2,f5.解:
哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时,因此一小时后,哥哥与妹妹都已到家,而狗一直在二者之间,因此狗已到家。
6.解:
设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点,显然0≤x≦60,0≦y≦60,若两人相遇则有|x-y|≦10,这是一个几何概率问题,其中样本空间为A={|≤x≦60,0≦y≦60}它构成了空间直角标系中的正方形,相遇空间为
G={,|x-y|≦10}
其图形见上图阴影部分,Sa,Sg分别表示正方形、阴影部分的面积,从而相遇的概率为P=Sa/Sg=/≈0.306
7.证明:
设第i个人认识的人为s,则s∈{0.1.2.3……N-1}设没有两个人认识的人一样多,则s,s,……互不相等,则s取遍集合{0、1、2……N-1}中的一个值,即至少存在某两个人k1,k2使s=N-1,s=0,而对第ki个人,由于=N-I,故他必然认识第k2人,故s至少为1,与s=0矛盾,得证。
8.解:
由水力学定律可知Q=dv/dt=0.62S2gh,其中0.62为流量系数S为空口横截面,g为重力加速度,h为从从空口到水面的高度,故有dv=0.312ghdt,
另一方面,在△t时间内,水面由h降至h+dh,则仅有
《数学建模入门》练习题
练习题1:
发现新大陆!
发现新大陆!
人人都能做到,可是最终哥伦布做到了。
为什么哥伦布能做到呢?
有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。
练习题2:
棋盘问题
有一种棋盘有64个方格,去掉对角的两个格后剩下62个格,给你31块骨牌,每块是两个格的大小。
问能否用这些骨牌盖住这62个方格?
不能,如图所示。
图中共有32个黄格,30个红格,而每张骨牌必定盖住一红一黄
两格,那么最后两个黄格用一个骨牌无论如何也盖不上.
练习题3:
硬币游戏
如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上,使得这些硬币不重叠。
最后放上硬币的人为胜者,在开始时你有权决定先放还是后放。
为了能赢得这场比赛,你决定先放还是后放呢?
答:
决定先放。
第一枚硬币放在桌子中心,随后自己放置的硬币总与对方上次放置的硬币成中心对称,如果对方能放得下,那么己方的硬币必然可以放下。
所以己方放置的硬币必然为最后一枚。
练习题4:
高速问题
一个人从A地出发,以每小时30公里的速度到达B地,问他从B地回到A地的速度要达到多少?
才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里?
解:
设A,B两地距离为S,则有:
2S/=60.t为从A地到B地的时间,T为从B地到A地的时间。
即有
12S/=60○
2S=30t○
得出:
T=0.即速度v=+∞
但是这是不可能达到的速度。
所以此题无解。
练习题5:
登山问题
某人上午八点从山下的营地出发,沿着一条山间小路登山,下午五点到达山顶;次日上午八点又从山顶开始下山返回,下午五点又到达了山下的营地。
问:
是否能找到一个地点来回时刻是相同的?
答:
可以看做在一天,两人同时于八点分别从山顶山脚出发,,在五点到达。
看途中是否能遇到。
设f为上山时的时间与位移表达式,g为下山是的位移表达式,h=f-g为合位移,总位移为S,规定上山为正方向。
当h=0,两人相遇。
以山脚为位移原点,则山脚处位移为0,山顶为S。
h-g=-Sh=f-g=S>0
在8=练习题6:
兄弟三人戴帽子问题
解放前,在一个村子里住着聪明的三兄弟,他们除恶杀了财主的儿子,犯了人命案。
县太爷有意想免他们一死,决意出一个难题测测他们是否真的聪明,如果他们能在一个时辰内回答出来,就免他们一死,否则就被处死。
题目如下:
兄弟三人站成一路纵队,并分别被蒙住了眼睛,县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子,接着分别给他们头上各带了一顶帽子,然后又分别把被蒙住的眼睛解开。
此时,老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子,老三看不见帽子。
只有一个时辰的时间,看谁能说出自己头上帽子的颜色,第一句声音有效。
现在开始!
答:
一共有多少种戴法:
全红1种,2红1黑3种,1红2黑3种。
共7种不同的戴法。
哪一种最难:
当然是给老三戴红帽最难了。
我们一步步分析,从最简单的开始看起。
首先肯定是老大猜,因为他能看到老二老三的帽子颜色,如果老二老三帽子都是黑的,那么老大马上就能判断自己帽子是红的,这就是1红2黑的3种中的一种情况。
共1种,这种情况最简单。
但是万一老大猜不出来呢?
那就是老二老三帽子要么1黑1红,要么2红,这个时候,该让老二猜了,如果老二看到老三的帽子是黑的,他马上就可以猜到自己帽子是红的。
如果让老二猜,并且猜出来,这是较难的戴帽方法,包括2红1黑3种中的一种,1红2黑3种中的一种。
共2种,这
2种较难。
但是万一老二也猜不出来呢?
那就是老三的帽子是红的,老二不能猜出来,老三要经过老大老二都不能猜出来分析来判断自己的帽子是红的。
包括3红情况下的1种,2红1黑3种情况下中的2种,1红2黑3种情况中的一种,共4种。
这4种是最难的。
练习题7:
做出空间图形
做出由曲面z?
x2?
2y2与z?
6?
2x2?
y2相交的空间曲线和所围成的立体的图形。
练习题8:
?
之事,知多少?
关于圆周率?
的事,你们知道多少?
圆周率是指平面上圆的周长与直径之比。
用希腊字母π?
?
25p?
1200,而供给量函数是
G?
35p?
3600,其中p为该商品的价格函数,那麽该商品的均衡价格是
80.
6、一次晚会花掉100元用于食品和饮料,其中食品至少要花掉40%,饮料起码要花30元,用f和d列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是Sns?
A[?
1]。
n
7、有人观察到鱼尾每摆动一次,鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等,则鱼尾摆动的次数T、鱼身的长度L和它的速度V的关系式为V=TL。
、已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d倍,且它的平均密度是地球的s倍,则此行星质量是地球的ddds倍.
9、在超级市场的收银台有两条队伍可选择,队1有m1个顾客,每人都买了n1件商品,队2有m2个顾客,每人都买了n2件商品,假设每个人付款需p秒,而扫描每件商品需t秒秒,则加入较快队1的条件是m1?
n1?
m2?
n2
10、在夏季博览会上,商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关:
参加展览会的人数n;气温T超过10C;冰淇淋的售价p.
由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为.
Q?
11、若y?
z,
*
?
T?
*
z?
x,则y与x的函数关系是y=kx.
12、设S表示挣的钱数,x表示花的钱数,则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为P?
Mx
[1?
2]e
x
2
..
二、分析判断题:
1、考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益,指出建立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少5个。
2、有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。
为尽量多洗干净盘子,有哪些因素应予以考虑?
试至少列出四种。
解:
1)水的温度足够洗掉油腻,2)水的温度适合手的进入其中,3)洗涤过程中水的温度在逐渐变凉,4)多长时间凉得不能洗干净。
3、要为一所大学编制全校性选修课程表,有哪些因素应予以考虑?
试至少列出5种。
解:
1)全校选修该课程的具体人数,2)这些人分布在那些班级,3)上选修课与正常教学是否有冲突,4)上选修课的老师能不能到位,5)每周多少节选修课合适。
4、假设某个数学模型建成为如下形式:
P?
Mx
[1?
2]e
x
2
.
试在适当的假设下将这个模型进行简化.
5、某种疾病每年新发生1000例,患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人,到2005年将会出现甚麽结果?
有人说,无论多少年过去,患者人数只是趋向2000人,但不会达到2000人,试判断这个说法的正确性。
解:
由题意可知,下一年病人数=当年患者数的一半+新患者令Xn为从2004年起计的n年后患者的人数,则
Xn+1=0.5Xn+1000且Xo=1200
由此可以算出从2005年起计的n年后患者的人数,则X5=1975人
显然,这也是一阶线性常系数差方程,且Xn的值会趋向某一定值L,可求出L=2000。
说明无论多少年过去,患者人数只能趋向2000,但不会达到2000人。
三、计算题:
某铝合金加工单位要加工一批成套窗料,每套窗料含有2.2和1.5长度的料各两根,总计要加工20套,所用原料的长度均为4.6,试建立整数规划模型以给出一个截料方案,使得所用原料最少?
解:
模型问题分析
要求材料最省是指每根成料被裁后余料最短,为此不妨给出各种方案,再进行混合,从中选取最佳组合,方案如下表
1、套裁时为考虑裁剪损失等其它因素
2、假定如下变量。
按方案1需原料X1根。
方案2需原料X2根。
方案3需原料X3根。
模型建立
由假设2。
总料头长y=0.1x1+0.9x2+0.2x3
目标是求其最小值。
又由配套要求应有0x1+x2+2x3=40x1+x2+0x3=40
于是得到套裁裁问题的数学模型miny=0.1x1+0.9x2+0.2x3X2+2x3=40
3x1+x2=40x1,x2,x3?
N
模型求解:
x1=40/3,x3=20。
因为x1?
N。
便有最佳方案。
按方案1截14根,按方案3截20根。
方案2不予考虑。
总计需34根原料,料头总长为5.4m四、综合应用题:
1、试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型,以说明方桌能否在地面上放稳的问题。
解:
依假设条件,四个桌脚连线呈正方形,因而以其中心为对称点,令正方形绕中心旋转便表示了方桌位置改变,于是可以用旋转角度的变化表达桌子的不同位置。
为了确定起见,我们以这个正方形中心为原点建立平面直角坐标系,并假设旋转开始时又a·10·10=30
a·2·4=2
即得问题的数学模型为ax·10=10
a·10·10=30a·2·4=2模型求解得a=2vh。
=4v
从而得到x=5即5小时水位才能降至安全线以下。
4、在比较寒冷的北方城镇,双层玻璃密封窗使用的十分普遍.这种窗户上的玻璃是双层的,两层玻璃中间有一定空隙,利用橡胶制品将中间的空气与外界隔离开制成.我们已经通过建立热传导模型证明了:
这种窗户保暖效果比过去沿用多年的单层玻璃窗要好,试建立数学模型以描述双层玻璃密封窗对于高热的南方的防热功能。
假设单层窗厚度为2d,双层窗厚度也为d,但分为两个厚度为d的部分如图,两层窗中有宽度为l
的不流动空气
如图。
设双层玻璃的外侧温度为Ta。
外层玻璃内侧温度为Tb。
常数T1、T2。
如假设2,并设玻璃的热传导系数k1,空气的热传导系数k2,则有公式得双层玻璃与一层空气的热传导值为
Q=k1/d=k1/d=k2/l
为与单层玻璃做比较,消去Ta、Tb得Q=k1/d①而A=lk1/dk又单层窗的热传导值为Q。
=k1/2d②故①、②即为用于比较分析所需的数学模型。
二
一、填空题:
1、一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.、如图是一个邮路,邮递员从邮局A出发走遍所有
长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向A均为1km,纵向均为2km,则他至少要走km..
3、设某种物资有两个产地A1,A2,其产量分别为10、20,两个销地B1,B2的销量相等均为15。
如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为a,则最优运输方案与运价具有优运输方案不惟一;总运费均相等两个特点。
4、设开始时的人口数为x0,时刻t的人口数为x,若人口增长率是常数r,那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为
dxdt
?
rx,x?
x0?
x?
x0e;.
rt
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