江苏省高考文科数学试题解析.docx
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江苏省高考文科数学试题解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。
本卷满分为160分,考试
时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置
作答一律无效。
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式:
(1)样本数据
x1,x2,,xn的方差
n
22
1
s(xx)
i
n
i1
其中
n
1
xx
i
n
i1
(2)直柱体的侧面积Sch,其中c为底面周长,h是高
(3)柱体的体积公式VSh,其中S为底面面积,h是高
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填写在答题.卡.相.应.位.置.上..。
1、已知集合A{1,1,2,4},B{1,0,2},则AB_______,
答案:
-1,2
解析:
考察简单的集合运算,容易题。
2、函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是__________
1
答案:
+
(-,)
2
解析:
考察函数性质,容易题。
3、设复数i满足i(z1)32i(i是虚数单位),则z的实部是_________
答案:
1
解析:
简单考察复数的运算和概念,容易题。
4、根据如图所示的伪代码,当输入a,b分别为2,3时,最后输出的m的值是________
答案:
3
解析:
考察算法的选择结构和伪代码,是容易题。
5、从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
1
答案:
3
解析:
简单考察古典概型的概率计算,容易题。
2
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差___
s
16
答案:
5
解析:
考察方差的计算,可以先把这组数都减去6再求方差,
16
5
,容易题。
7、已知tan(x)2,则
4
tan
tan
x
2x
的值为__________
4
答案:
9
解析:
考察正切的和差角与倍角公式及其运用,中档题。
tan(x)1
2
1tanxtanx1tanx4
(-)4
tantan(),
x=x==
2tanx
443tan2x29
tan(x)1
2
41-tanx
8、在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数
两点,则线段PQ长的最小值是________
f
2
(x)的图象交于P、Q
x
答案:
4
解析:
考察函数与方程,两点间距离公式以及基本不等式,中档题。
设交点为
2
(x,)
x
,
2
(x,)
x
,则
242
PQ(2x)()4
x
9、函数f(x)Asin(wx),(A,w,是常数,A0,w0)的部分图象如图所示,则
f(0)____
6
答案:
2
解析:
考察三角函数的图像与性质以及诱导公
式,中档题。
由图可知:
第题图
9
A
T7
2,,2,
41234
2
2k,k,
33
26
f(0)2sin(k)由图知:
32
f(0)
6
2
10、已知e1,e2是夹角为
k的值为。
2
3
的两个单位向量,2,,
ae1ebkee若ab0,则
212
5
答案:
4
解析:
考察向量的数量积及其相关的运算,中档题。
由ab0得:
k
5
4
11、已知实数a0,函数
2xa,x1
f(x),若f(1a)f(1a),则a的值为
x2a,x1
________
答案:
a
3
4
解析:
考察函数性质,含参的分类讨论,中档题。
3
a0,22aa1a2a,a,
2
3
不符合;a0,1a2a22aa,a
4
x的图象上的动点,该图12、在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数f(x)e(x0)
象在P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵
坐标为t,则t的最大值是_____________
答案:
11
t(e)
max
2e
解析:
综合考察指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置
关系,难题。
设
x
P(x,e),则
0
0
xxx
l:
yee(xx),M(0,(1x)e),过点P作l的垂线
000
00
xxxx
yee(xx),N(0,exe),
0000
00
11
xxxxxx
t[(1x)eexe]ex(ee)
000000
000
22
1
'xx
teex,所以,t在(0,1)上单调增,在(1,)单调减,
()
(1)
00
0
2
11
t(e)
max
2e
。
13、设
1aaa,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差
127
为1的等差数列,则q的最小值是________
答案:
3
qmin3
解析:
考察综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,难题。
由题意:
23
1aaaqa1aqa2aq,
1212121
2
a2qa21,a21qa22
3
qa223,而
aaaaa的最小值分别为1,2,3;
21,11,,221,22
3
q。
min3
m
2ymxyR
22
14、设集合Ay)|(x2),,},
{(x,
2
B,
{(x,y)|2mxy2m1,x,yR}
若AB,则实数m的取值范围是______________
1
答案:
m21
2
解析:
综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、
两条直线位置关系、解不等式,难题。
当m0时,集合A是以(2,0)为圆心,以m为
半径的圆,集合B是在两条平行线之间,
22m12
m(12)m0,因为
22
A此时无解;当m0时,集合A是以(2,0)为圆心,以
B,
m
2
和m为半径的圆
22m1
环,集合B是在两条平行线之间,必有
22
2
2
m
m
m21
2
m.又因为
21
m1
2
m,m21
22
二、解答题:
本大题共6小题,共90分。
请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分14分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边为a,b,c
(1)若sin(A)2cosA,求A的值;
6
1
(2)若cosA,b3c,求sinC的值.
3
解析:
考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力,容易题。
(1)sin(A)2cosA,sinA3cosA,A
63
(2)
1
2222
cosA,b3c,abc2bccosA8c,a22c
3
由正弦定理得:
22cc
sinAsinC
,而
222
sinA1cosA,
3
sin
1
C。
(也可以先
3
推出直角三角形)
16、(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,
AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点
求证:
(1)直线EF‖平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD
解析:
简单考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质,容易题。
(1)因为E、F分别是AP、AD的中点,
EFPD,又P,D面PCD,E面PCD
直线EF‖平面PCD
(2)AB=AD,BAD=60,F是AD的中点,BFAD,
(第16题图)又平面PAD⊥平面ABCD,面PAD面ABCD=AD,BF面PAD,
所以,平面BEF⊥平面PAD。
17、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分
所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,
正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直
角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm
DC
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm
2)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm
3)最大,试问x应取何值?
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
xEFx
AB
解析:
考察空间想象能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建模能力、导数的运用,中
档题。
(1)
2222
Sxxxx(0 604(602)2408 (2) 222 V(2x)(602x)42x(30x)(0x30),所以, 2 '122(20), Vxx 当0x20,时,V递增,当20x30时,V递减,所以,当x=20时,V最大。 此时,包装盒的高与底面边长的比值为 2 (60-2x) 2 1 y 2x2 P18、(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,M、N BC M x A N (第18题图) 22 xy 分别是椭圆1 42 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象 限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN时,求k的值; (2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0,求证: PA⊥PB 解析: (1) (2)两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、 解方程组,是容易题;(3)是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、 直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力,是难题。 22 (1)M(-2,0),N(0,2),M、N的中点坐标为(-1,),所以 k 22 (2)由 y2x 22 x2y4 得 24242 P(,),A(,),C(,0),AC方程: 33333 2 x y 3 422 即: yx 2 3 333 242 所以点P到直线AB的距离 d 333 2 22 3 (3)法一: 由题意设 P(x,y),A(x,y),B(x,y),则C(x,0), 0000110 A、C、B三点共线, y yyy 1 010 xx2xxx 10010 又因为点P、B在椭圆上, 2222 xyxy 001,111 ,两式相减得: 4242 k PB xx 01 2(yy) 01 kk PAPB yxx(yy)(xx) 0011001 []1 x2(yy)(xx)(yy) 0011001 PAPB 法二: 设 AxyBxy中点则xyx, (,),(,),A,BN(x,y),P(-,),C(-,0) 112200111 A、C、B三点共线, yyyy 2211 xxxx2x 21211 k AB 又因为点A、B在椭圆上, 2222 xyxy 221,111 两式相减得: 4242 y 1 0 x2kAB 0 yy1 01 kk2k1 ONPAAB xx2k 01AB ONPB,PAPB 32 19、(本小题满分16分)已知a,b是实数,函数(),(), ff(x)和 xxaxgxxbx g是f(x),g(x)的导函数,若f(x)g(x)0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在 (x) 区间I上单调性一致 (1)设a0,若函数f(x)和g(x)在区间[1,)上单调性一致,求实数b的取值范围; (2)设a0,且ab,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求 |a-b|的最大值。 解析: (1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题,中档题; (2)综合 考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应 用、化归及数形结合的思想,难题。 (1)因为函数f(x)和g(x)在区间[1,)上单调性一致,所以, '' x[1,),f(x)g(x)0,即 x 2 (3+a)(2x+b)a0,x[1,),2x+b0, [1,),x0, 即a0,x[1,),b2x,b2; (2)当ba时,因为,函数f(x)和g(x)在区间(b,a)上单调性一致,所以, '' x(b,a),f(x)g(x)0, 2 即x(b,a)(,3x+a)(2x+b)0,ba0,x(b,a),2xb0, 2x(b,a),a3x, 2 bab设zab,考虑点(b,a)的可行域,函数 3, 2 yx的斜率为1的切线的切 3 点设为 (x,y) 00 11 则000 6x1,x,y, 612 111 z(); max 1266 当ab0时,因为,函数f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性一致,所以, '' x(a,b),f(x)g(x)0, 2 即x(a,b)(,3x+a)(2x+b)0,b0,x(a,b),2xb0, 2 x(a,b),a3x, 21 a3a,a0, 3 1 (ba); max 3 当a0b时,因为,函数f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性一致,所以, '' x(a,b),f(x)g(x)0, 2 2 即x(a,b),(2x+b)(3x+a)0,b0,而x=0时,(3x+a)(2x+b)=ab<0,不符合 题意, 当a0b时,由题意: 2 2x(3+a) x(a,0),x0, 2 2 3+a x(a,0),x0,3aa0, 11 a0,ba 33 综上可知, 1 ab。 max 3 20、(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合,数列{a}的首项a11,前n项 n 和为 S,已知对任意整数k属于M,当n>k时,SnS2(SS)都成立。 nknknk (1)设M={1},a2,求a5的值; (2)设M={3,4},求数列{an}的通项公式。 2 解析: 考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的 能力,其中 (1)是容易题, (2)是难题。 (1) k1,n1,SS2(SS),SS2(SS)即: n1n1n1n2nn11 a2a2a1 nnn 所以,n>1时, a成等差,而a2, n2 S23,S32(S2S1)S17,a34,a58; (2)由题意: n3,SnSn2(SnS), (1);n4,SnSn2(SnS), (2), 333444 n4,SS2(SS),(3);n5,SS2(SS),(4); nnnnnn 当n5时,由 (1) (2)得: a4a32a4,(5) nn 由(3)(4)得: a5a22a4,(6) nn 由 (1)(3)得: a4a22a1,(7); nnn 由 (2)(4)得: a5a32a1,(8); nnn 由(7)(8)知: a4,a1,a2,成等差, nnn a5,a1,a3,成等差;设公差分别为: nnn d1,d2, 由(5)(6)得: a52a3d22a42,a4(d29)a; nnnnnn 由(9)(10)得: a5a4d2d1,2a4d1d2,a2a3d2d1;an(n2)成 nnnn 等差,设公差为d, 在 (1) (2)中分别取n=4,n=5得: 2a+6a15d2(2a5a5d),即4a5d2; 12122 2a8a28d2(2a7a9d),即3a5d1 12122 a23,d2,an2n1. 绝密★启用前 2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学II(附加题) 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共2页,均为解答题(第21题~第23题)。 本卷满分为40分,考试时间为30分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请.选.定.其.中.两.题.,.并.在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作. 答., 若多做,则按作答的前两题评分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A.选修4-1: 几何证明选讲(本小题满分10分) 如图,圆O1与圆O2内切于点A,其半径分别为r1与 r2(r1r2), 第图 21-A 圆 O的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上), 1 求证: AB: AC为定值。 解析: 考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质,容易题。 证明: 由弦切角定理可得 AOCAOB 21 AB OBr 11 ACOCr 2 B.选修4-2: 矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵 11 A,向量 21 1 2 ,求向量,使得 2 A. 解析: 考察矩阵的乘法、待定系数法,容易题。 设 x y ,由 2 A得: 3x2 , 4y32 3x2y1x11 4x3y2y22 C.选修4-4: 坐标系与参数方程(本小题满分10分) x5cos 在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆(为参数)的右焦点且与直线 y3sin x42t (t为参数)平行的直线的普通方程。 y3t 解析: 考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置 关系,中档题。 椭圆的普通方程为 22 xy 259 1, 右焦点为(4,0),直线 x42t y3t (t为参数)的普通 方程为2yx2,斜率为: 1 2 ;所求直线方程为: 1 y(x4),即x2y40 2 D.选修4-5: 不等式选讲(本小题满分10分) 解不等式: x|2x1|3 解析: 考察绝对值不等式的求解,容易题。 原不等式等价于: 4 x32x13x,2x,解集为 3 4 (2,) 3 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答.题.卡.指.定.区. 域.内.作答,解答时应写出 第题图 22 文字说明、证明过程或演算步骤。 22.(本小题满分10分) 如图,在正四棱柱 ABCDABCD中, 1111 AAAB,点N是BC的中点,点M在 12,1 CC上,设二面角 1 ADNM的大小为。 1 (1)当 0 90时,求AM的长; 6 (2)当 cos时,求CM的长。 6 解析: 考察空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算 能力, (1)是中档题, (2)是较难题。 以D为原点,DA为x轴正半轴,DC为y轴正半轴,DD1为z轴正半轴, 建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,2),N( 1 2 1,0),C(0,1,0)),设M(0,1,z), 面MDN的法向量 nxyz, 1(1,1,1) 1 DA(1,0,2),DN(,1,0),DM(0,1,z) 1 2 x2z0 00 设面A1DN的法向量为 n(x,y,z),则 000 DAn0,DNn0,1 1 2 xy 00 0 取 x02,则y01,z01,即n(2,1,1) 1 2 xy 11 0 (1)由题意: DNn0,DMn0,nn,0yzz0 11111 取 2xyz0 111 1 x2,
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