高二数学苏教版必修5学案223 等差数列的前n项和二.docx
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高二数学苏教版必修5学案223等差数列的前n项和二
2.2.3 等差数列的前n项和
(二)
明目标、知重点 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系,能根据Sn求an.
1.数列中an与Sn的关系
对任意数列{an},Sn与an的关系可以表示为
an=
2.由数列前n项和Sn判断数列的类型
由于等差数列前n项和公式Sn=na1+
d=
n2+
n.令A=
,B=a1-
,则Sn=An2+Bn,所以Sn是关于n的常数项为0的二次函数.反过来,对任意数列{an},如果Sn是关于n的常数项为0的二次函数,那么这个数列也是等差数列.
3.等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取到最值的n可由不等式组
确定;
当a1<0,d>0时,Sn有最小值,使Sn取到最值的n可由不等式组
确定.
(2)因为Sn=
n2+
n,若d≠0,则从二次函数的角度看:
当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值;且n取最接近对称轴的自然数时,Sn取到最值.
[情境导学]
如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式,如何求它的通项公式?
如果一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),那么这个数列一定是等差数列吗?
这就是本节我们探究的主要问题.
探究点一 已知数列{an}的前n项和Sn求an
思考1 已知数列的通项公式an能求出Sn;反过来,已知数列{an}的前n项和Sn,如何求an?
答 对所有数列都有Sn=a1+a2+…+an-1+an,Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2).因此,当n≥2时,有an=Sn-Sn-1;当n=1时,有a1=S1.所以an与Sn的关系为an=
当a1也适合an时,则通项公式要统一用一个解析式an=f(n)(n∈N*)来表示.
思考2 在数列{an}中,已知Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数)如何求an?
判断这个数列一定是等差数列吗?
答 当n=1时,a1=S1=a+b+c;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an2+bn+c)-[a(n-1)2+b(n-1)+c]=2an-a+b.
∴an=
.
只有当c=0时,a1=a+b才满足an=2an-a+b,数列{an}才是等差数列.
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+
n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?
如果是,它的首项与公差分别是什么?
解 根据Sn=a1+a2+…+an-1+an与Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1),
可知,当n>1时,an=Sn-Sn-1=n2+
n-[(n-1)2+
(n-1)]=2n-
,①
当n=1时,a1=S1=12+
×1=
,也满足①式.
∴数列{an}的通项公式为an=2n-
.
由此可见:
数列{an}是以
为首项,公差为2的等差数列.
反思与感悟 已知前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1求得a1,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求an,最后验证a1是否符合an,若符合则统一用一个解析式表示.
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn=3n,求an.
解 当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1.
把n=1代入an=2·3n-1得a1=2≠3.
∴an=
.
探究点二 等差数列前n项和的最值
思考1 将等差数列前n项和Sn=na1+
d变形为Sn关于n的函数后,该函数是怎样的函数?
为什么?
答 由于Sn=na1+
d=
n2+(a1-
)n,所以当d≠0时,Sn为关于n的二次函数,且常数项为0.
思考2 类比二次函数的最值情况,等差数列的Sn何时有最大值?
何时有最小值?
答 由二次函数的性质可以得出:
当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.
小结
(1)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
(2)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值;
特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值.
例2 已知等差数列5,4
,3
,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
解 方法一 由题意知,等差数列5,4
,3
,…的公差为-
,
所以Sn=5n+
(-
)=-
(n-
)2+
.
于是,当n取与
最接近的整数即7或8时,Sn取最大值.
方法二 an=a1+(n-1)d
=5+(n-1)×
=-
n+
.
an=-
n+
≤0,解得n≥8,即a8=0,a9<0.
所以和从第9项开始减小,而第8项为0,
所以前7项或前8项和最大.
反思与感悟 在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn为关于n的二次函数,也可借助二次函数的图象或性质求解.
跟踪训练2 在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.
解 方法一 ∵an=2n-14,∴a1=-12,d=2.
∴a1 ∴当n=6或n=7时,Sn取到最小值. 易求S6=S7=-42,∴(Sn)min=-42. 方法二 ∵an=2n-14,∴a1=-12. ∴Sn= =n2-13n= 2- . ∴当n=6或n=7时,Sn最小,且(Sn)min=-42. 探究点三 前n项和公式在实际生活中的应用 例3 某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm,如图所示.已知卫生纸的厚度为0.1mm,问: 满盘时卫生纸的总长度大约是多少米? (精确到1m) 解 卫生纸的厚度为0.1mm,可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆,然后分别计算各圆的周长,再求总和. 由内向外各圈的半径分别为20.05,20.15,…,59.95. 因此各圈的周长分别为40.1π,40.3π,…,119.9π. 因为各圈半径组成首项为20.05,公差为0.1的等差数列,设圈数为n,则59.95=20.05+(n-1)×0.1, 所以n=400.显然,各圈的周长组成一个首项为40.1π,公差为0.2π,项数为400的等差数列. 根据等差数列的求和公式,得 S=400×40.1π+ ×0.2π=32000π(mm). 32000π(mm)≈100(m). 答 满盘时卫生纸的长度约为100m. 反思与感悟 建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.易错方面: 把前n项和与最后一项混淆,忘记答或写单位. 跟踪训练3 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,每月大约存入多少元? (2)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元? 此时3年后本息合计约为多少? (精确到1元) 解 (1)设每月存A元,则有 A(1+2.1‰)+A(1+2×2.1‰)+…+A(1+36×2.1‰)=20000. 利用等差数列求和公式,得 A(36+36×2.1‰+ ×2.1‰)=20000, 解得A≈535(元). (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多可存入 ≈555(元). 这样,3年后的本息和为555(1+2.1‰)+555(1+2×2.1‰)+…+555(1+36×2.1‰) =555(36+36×2.1‰+ ×2.1‰)≈20756(元). 答 欲在3年后一次支取本息2万元,每月大约存入535元.3年期教育储蓄每月至多存入555元,3年后本息合计约20756元. 1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an=________. ★答案☆ 2n-1 解析 当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又因a1=1适合an=2n-1,所以an=2n-1. 2.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ=________. ★答案☆ -1 解析 等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn, ∴λ=-1. 3.首项为正数的等差数列,前n项和为Sn,且S3=S8,当n=________时,Sn取到最大值. ★答案☆ 5或6 解析 ∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0,∴a6=0.∵a1>0,∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.故当n=5或6时,Sn最大. 4.甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解 (1)设n分钟后第1次相遇,依题意, 有2n+ +5n=70,整理得n2+13n-140=0. 解之得n=7,n=-20(舍去). 第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设n分钟后第2次相遇,依题意, 有2n+ +5n=3×70,整理得n2+13n-420=0. 解之得n=15,n=-28(舍去). 第2次相遇是在开始运动后15分钟. [呈重点、现规律] 1.因为an=Sn-Sn-1只有n≥2才有意义.所以由Sn求通项公式an=f(n)时,要分n=1和n≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前n项和最值的方法: (1)二次函数法: 用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N*,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观. (2)通项法: 当a1>0,d<0, 时,Sn取得最大值;当a1<0,d>0, 时,Sn取得最小值. 3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点. 一、基础过关 1.若数列{an}的前n项和Sn=n2-1,则a4=________. ★答案☆ 7 解析 a4=S4-S3=(42-1)-(32-1)=7. 2.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为________. ★答案☆ 10000 解析 由已知得{an+bn}为等差数列,故其前100项的和为S100= =50×(25+75+100)=10000. 3.已知数列{an}满足an=26-2n,则使其前n项和Sn取最大值的n的值为________. ★答案☆ 12或13 解析 ∵an=26-2n,∴an-an-1=-2, ∴数列{an}为等差数列.又a1=24,d=-2,∴Sn=24n+ ×(-2)=-n2+25n=- 2+ . ∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn最大. 4.一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n=33,则该数列的公差是________. ★答案☆ -3 解析 由 得nd=-18. 又a1-a2n=-(2n-1)d=33,所以d=-3. 5.已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值时,n为________. ★答案☆ 23或24 解析 ∵a24=0,∴a1,a2,…,a23<0,故S23=S24最小. 6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为________. ★答案☆ 4或5 解析 由 , 解得 , ∴a5=a1+4d=0, ∴S4=S5同时最大. ∴n=4或5. 7.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2-30n. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)求Sn的最小值及对应的n值. 解 (1)∵Sn=2n2-30n, ∴当n=1时,a1=S1=-28. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-30n)-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32, n=1时,4n-32=-28,符合此式. ∴an=4n-32,n∈N*. (2)方法一 Sn=2n2-30n=2(n- )2- , ∴当n=7或8时,Sn最小,且最小值为S7=S8=-112. 方法二 ∵an=4n-32, ∴a1 当n≥9时,an>0. ∴当n=7或8时,Sn最小,且最小值为S7=S8=-112. 二、能力提升 8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5 ★答案☆ 8 解析 由an= ,得an=2n-10. 由5<2k-10<8,得7.5 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=________. ★答案☆ 5 解析 am=2,am+1=3,故d=1, 因为Sm=0,故ma1+ d=0, 故a1=- ,因为am+am+1=5, 故am+am+1=2a1+(2m-1)d =-(m-1)+2m-1=5, 即m=5. 10.若数列{an}是等差数列,首项a1>0,a2013+a2014>0,a2013·a2014<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________. ★答案☆ 4026 解析 由条件可知数列单调递减, 故知a2013>0,a2014<0, 故S4026= =2013(a2013+a2014)>0, S4027= =4027×a2014<0, 故使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4026. 11.设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值. 解 (1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得 可解得 所以数列{an}的通项公式为an=11-2n. (2)由 (1)知,Sn=na1+ d=10n-n2. 因为Sn=-(n-5)2+25, 所以当n=5时,Sn取得最大值. 12.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标: 从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解 依题意得,从2001~2010年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元,所以可以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金,其中,a1=500,d=50. 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为 S10=10×500+ ×50=7250(万元). 答 从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元. 三、探究与拓展 13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)问前几项的和最大,并说明理由. 解 (1)∵a3=12,∴a1=12-2d, ∵S12>0,S13<0, ∴ 即 ∴- (2)∵S12>0,S13<0, ∴ ∴ . ∴a6>0, 又由 (1)知d<0. ∴数列前6项为正,从第7项起为负. ∴数列前6项和最大.
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