湖北省武汉市江夏一中汉阳一中高考数学模拟试题答案解析.docx
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湖北省武汉市江夏一中汉阳一中高考数学模拟试题答案解析
2020年湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高考数学模拟试卷答案解析.选择题(共12小题)
1.已知全集U=R,集合A={x|3x2T3x<0},B={yy=3x+1},则AC(?
uB)=()
A.口马B.(0,1]C.(1,马D.(0,1)
33
【解答】解:
依题意得,^U|3x2-13I B={y|y=3x+1}={y|y>1}, 贝U? uB={y|yw1}, 所以An(? ub)=(0,1], 故选: B. 2 .若复数z满足z? (4-2i)=3+i,则在复平面内复数z所对应的点位于() 【解答】解: 依题意得, 4-2i(4-21)(4+2i)20221 故在复平面内复数z所对应的点为e,^),该点位于第一象限, 3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》中有如下两个问题: [三三]今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何? [三四]又有宛田,下周九十九步,径五十一步.问为田几何? [三四]又有一扇形田,弧长99步,直径长51步.问这块田面积是多少? 则下列说法正确的是() A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步 C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D.问题[三四]中扇形的面积为气生平方步 【解答】解: 依题意,问题[三三]中扇形的面积为号=120平方步,问题[三四]中扇形的面积为工皇上叫平方步. ■ill\Z_ 可以填() S=2,a=-2,k=2;第二次循环S=-6,a =2,k=3;第三次循环,S=12,a=-2,k=4;第四次循环,S=-20,a=2,k=5, 此时输出S的值,观察可知,仅选项C符合题意, 5.已知正项数列 {an}的首项为1,{an2}是公差为3的等差数列,则使得an>6成立的n的 最小值为( ,依题意得, A.m>0,0Vn<1 ・nCN,•・使得an>6成立的n的最小值为13, 6,若函数f(x)=(4mx-n)2的大致图象如图所示,则( C.m<0,0vnv1D.m<0,n>1 【解答】解: 令f(X)=0,即4mx=n,贝|Jmx=|Og4n,即 由图可知, 故m>0时n>1,m<0时0vnv1,排除A、D; 当m<0时,易知y=4mx是减函数,且当x一+8时,尸0则f(x)一RC明显不合题 意,排除C, 7,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABXAC,AA1,平面A1B1C1,则下列选项中,能使异 面直线BC1与A1C相互垂直的条件为() A.ZACA=45°B,ZACA=45° C,四边形ABBiAi为正方形D.四边形BCCiBi为正方形 【解答】解: 如图,因为AAU平面A1B1C1,所以AA11AB, 又ABLAC,AAinAC=A,所以AB,平面CClAl, 因为AiC? 平面ACC1A1,所以ABXA1C. 当异面直线BCi与AiC相互垂直时,由ABABCi=B,可得平面ABCi, 因为ACi? 平面ABC1,所以A1CXAC1, 所以四边形ACC1A1为正方形,所以/A1CA=45°, 反之亦然,即当/AiCA=45°时,可得BC11A1C, 8,已知非零实数m,n满足m2? |m|>n2? |n|,则下列结论错误的是() A.In|m|>ln|n|B.., M|n| 99 C.|m|+sin|m|<|n|+sin|n|D.m>n 【解答】解: 因为非零实数m,n满足产? |可,所以|m|3>|n/>0,所以 0, 所以ln|m|>ln|n|,,,m2>n2,所以选项A、B、D均正确; |m||n| 对于选项C,当门三-时,|午|14sly|,所以选项C 错误. 故选: C. 【解答】解: 依题意得%w0,由2(2n+1)anan+i=an-an+i, an 二2n"1—怎7)®旬 %=(2n-l)⑵i+l)—2n-l~2n+l, ai+a2+a3+---+a2020= 11_x11 40414041 37二十+4039~4041 故选: C. io,已知函数£(6=泥石山一的8必,则下列说法正确的是() 97Tr A.函数f(x)在["4.n]上单调递减 B.将函数f(x)的图象向左平移等个单位长度后关于y轴对称O cJ7冗、,7冗\ CfI--十耳)=f-K) OO d.当兀E[-兀十]叱f&)£〔一扬技 【解答】解: 依题意得,ftx)-T/2sin2x_V2cos2x-2sin(2x一“),故函数f(x) 在[青L,冗]上先减后增,故A错误; 因为将函数f(x)的图象向左平移里二个单位长度后其图象对应的函数解析式为81 式K)=2sin(2x可■一^-)=2,口(2/兀)=-2式门2],函数g(x)的图象关于原点对 称,故B错误; 因为式)=ZsiMZ工[^——)=2sirr^—=-2,所以支」^-是函数f(x)图象的 一条对称轴,即_翼),故C正确; 8凸 当十]时’得匚],则fG)E[-也,2],故d错 误. 综上所述, 故选: c. 由 m>0,n>0,故m+n>4G/^-l), 12.过双曲线; BE|+|DF|=|EF|,若AE-AF>x,则x的取值范围为() A(-8,8(也-1)]B.1-8,8(V2-D) C.(-8,8(V2+1)]d.(-°0,S(V24D) 【解答】解: 以A为坐标原点,线段AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的 (2,m),F(n,2),则蛆,kF=2(m+n), |BE|+|DF|=|EFI,得通=几示不化简可得mn=4-2(m+n),-1-4: -2Cin-+n)<(jEy1)S,故(m+n+4)2>32,因为 当且仅当m=n=2(0T)时等号成立, AE-AF=2(in+n)>SCV2-l)5故x的取值范围为 =l(a>Ojb>0)的右焦点F作直线1,且直线l与双曲线C的 一条渐近线垂直,垂足为A,直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点,若4 C的离心率为( OAB的内切圆的半径为近一]育,则双曲线2a Ox上,过点M分另I」作MN A.亭B.VS+l 【解答】解 (1)若A,B在y轴同侧,不妨设A在第一象限. 如图,设^OAB内切圆的圆心为M,则M在/AOB的平分线 XOA于N,MTXAB于T, 由FALOA得四边形MTAN为正方形,由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b,又|OF|=c, 所以|OA|=a, 又|NAI三|MNI三";La.,所以|noI国, 22 所以»气很n/ABF・F"! 工^,从而可得)1+(旦)2=2/1 鼻时|3BVaJ3 (2)若A,B在y轴异侧,不妨设A在第一象限如图,易知|FA|=b,|OF|=c,|OA|=a, 所以△oab的内切圆半径为।旧十Ida1-I』bI 22M 所以IOBITAB|=2a~Vsa, 又因为OB|2=AB|2+a2,所以|研|=的"|OB|=2a, 所以/BOA=60°,/AOF=60°,则[二tanG。 。 S,从而可得巳][十卢「二2. 综上,双曲线C的离心率为二辛或2. 故选: D. 二.填空题(共4小题) 13.[2小一’的展开式中,项的系数为240. 【解答】解: 依题意可得,(2技二一)6的展开式的通项为Tr+1= 2, x 瑞•(班三骑・26-工,《_1尸7々: 令3—1r=-2,解得「=2, 故」^项的系数为Cg-24-(-1)2=15X16=240- 故答案为: 240. 14 .若直线y=9x+a与曲线y=x3-3x相切,贝Ua=T6或16 【解答】解: 设切点坐标为(X0,yo),由y'=3x-3,得切线斜率 解得X0=±2, 故切点为(2,2)或(-2,-2),分别代入y=9x+a中,可得a=-16或a=16. 故答案为: -16或16. 15 .某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务,已知甲完成任务的概率为 【解答】解: 4个人都没有完成任务的概率为 4个人中有3个没有完成任务的概率为: 1212 故至少2人完成任务的概率为1一-一 y(z 16.已知抛物线C: y2=8x的焦点为F,直线11,⑵过点F且与抛物线C分别交于点M, N和点P,Q,弦MN和PQ的中点分别为D,E,若11,12,则下列结论正确的是①②③ ①|MN|+|PQ|的最小值为32; ②以M,N,P,Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为128; ③直线DE过定点(6,0); ④焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点. 【解答】解: 依题意得直线11,12的斜率均存在,且F(2,0),设M(xi,yi),N(x2, y2),直线li: y=k(x-2), y三kC2D 联立方程,得.整理可得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0, 、y=8x ? +/Wk2)16十16: 32,当且仅当 44弋替k可得,|PQ|=8+8k2,|mm|+|PQ|二8十 =±1时取等号,所以①正确; 四边形的面积■|PQ|<32X(2+上2」7)〉128,当且仅当k=±1时取等'k 所以②正确; 2 因为口(2十々,金),E(2+4k2,-4k),请k -2Tk*)(了十4k)=(+十狄)@一2—生k"),即k(x―6)-(1-k2)y=0,恒过定点(6,0),故③正确; 若点F为弦MN的三等分点,不妨设NF=2H,则(2-x2,-y2)=2(xl2,y1),所 以2—x2=2x1一4,即2x1+x2=6,又x1x2=4, 代人七十乂2=—丁,得k=+2也,与两直线垂直矛盾,故④错误. 综上所述,故答案为: ①②③ 、解答题(共70分) (1)求^ABC外接圆的面积; (2)若b+c=8,求^ABC的面积. 【解答】解: (1)依题意得: —-]=2abcQSC ©22 故: 」,iL ◎二H22seA b+c-a 贝U: 2bcosA—ccosA=acosC, 所以: 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),即: 2sinBcosA=sinB, 所以: 故△ABC外接圆的面积S=7Tr2」患文 .及余弦定理得: a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc, Xa=2^7-7,b+c=8, 所以: (2V7)2=82-3bc5解得: bc=12. 故S△四©[bcsi汕=3«. a 18 AB=4. .如图,四棱锥S-ABCD中,二面角S-AB-D为直二面角,E为线段SB的中点,/ DAB=ZCBA=3ZASB=3ZABS=90°,tanZASD=—,2 (1)求证: 平面DAEL平面SBC; (2)求二面角C-AE-D的大小. 【解答】解: (1);二面角S-AB-D为直二面角, ,平面SAB,平面ABCD, ・./DAB=90°, AD±AB, ・平面ABCDA平面SAB=AB,AD? 平面ABCD, •・AD,平面SAB,又BS? 平面SAB,ADIBS, ・./ASB=/ABS, AS=AB, 又E为BS的中点, ・••AEXBS, 又ADAAE=A, BS±¥面DAE, .BS? 平面SBC, ・•・平面DAE,平面SBC. 令X=1,贝U尸y,2=2^3, n=(l,■明、2点[)是平面CAE的一个法向量, 「SB,平面DAE, ・•・平面DAE的一个法向量为九。 ), cosGitSB> 羡豆二26速」 |nI-|-SB|二4乂如1一2 由图可知二面角C-AE-D的平面角为锐角,故二面角C-AE-D的大小为60°. 19,2019年11月份,全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%,环比下降0.1%某企业在了 解市场动态之后,决定根据市场动态及时作出相应调整,并结合企业自身的情况作出相 应的出厂价格,该企业统计了2019年1〜10月份产品的生产数量x(单位: 万件)以及 销售总额y(单位: 十万元)之间的关系如表: x2.082.122.192.282.362.482.592.682.802.87 y4.254.374.404.554.644.754.925.035.145.26 (1)计算x,Y的值; (2)计算相关系数r,并通过r的大小说明y与x之间的相关程度; (3)求y与x的线性回归方程直+;,并推测当产量为3.2万件时销售额为多少.(该 问中运算结果保留两位小数) 附: 回归直线方程直十;中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 参考数据: 10__10ri E(x;-x)Cyi-y)-k£-10k 『i=L_=I_V尸_r122X一股之0997 po一元;函—―2L04 但(xt-k)*E(v/v)1忙v「ioy \i=l『1Vi=l 因为0.997>0.75, 所以y与x之间具有很强的相关性. ⑶由;=? 一瓦加4.7W1-L22X2445~1.” 所以所求回归直线方程为Q=]22k+175, 故当x=3.2时,^=1.22X3.2+1.75^5..6E 22 20.已知斜率存在且不为0的直线l过点D(1,0),设直线l与椭圆C: 工一十[交于A, 42 B两点,椭圆C的左顶点为P. (1)若^PAB的面积为电池,求直线l的方程; 8 (2)若直线PA,PB分别交直线x=3于点M,N,且MR=1」肌记直线AB,RD的斜率 分别为k,k’.探究: k? k'是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 【解答】解: (1)设A(XA,yA),B(XB,yB). 因为D(1,0),椭圆C的左顶点为P(-2,0),所以|PD|=3, 延=23FDA4V।〃一玲।= 设直线l的方程为x=my+1, y2+2my-3=0, ‘置二呻41 联立的v2,整理得(m2+2) U21 故1了/一二己1=7(产1+了8)£_&y75曰=也皿解得m2=6ini-iV&, 故直线l的方程为. (2)由题意得,直线l的方程为y=k(x-1),设A(刈,k(xl1)),B(x2,k(x2-1)), ry=k(x-l) 联立,22,整理得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0, 窜,F3 令x=3,解得怔(工 设R(XR,yR), 所以•--,'_ 3-16k --,为定值. 21 .已知函数f(x)=ex(x2+8x—4). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的不等式(工: 8月-G在[°,+°°)上恒成立,且m*0,求 实数m的取值范围. 【解答】解 (1)依题意,xCR,f'(x)=ex(x2+8x—4+2x+8)=ex(x2+10x+4), 令f'(x)=0,即x2+10x+4=0,解得支二 故当kEC-8,Yf/H)时,f'(x)>0, 当x£(-5-V1L-5*7^1)时,f'(x)V0, 当kE(-5+"/^I,+0°)时,f'(x)>0, 故函数f(x)的单调递增区间为(-8,-5-721)^(-5+721,制°),单调递减区间 为五). 注: -5-VH,-5+^处写成闭区间也给分. (2、&「、(«z+8x-4),. (2)岂1乂)-+m-msmx, 由题意得,当x=0时,g(0)=m-1>0,则有m>1. 下面证当m>1时,对任意x>0,都有g(x)>0. 由于xCR时,1-sinx>0,当m>1时,则有晨元)>=J号J+2HT)+l-sitiK• 故只需证明对任意x>0,都有/§J+2区-1>41-3inx>C・ 易知h(x)=x-sinx在[0,+8)上单调递增, 所以当x>0时,h(x)>h(0)=0,即x>sinx, 所以1-x<1-sinx,则曰*《笈,2x-l)+l-sins》®*号x,2k7)+1f, 设F(jt)=e”号/十2算一1)十1-工,x>0,则f‘(k)=巳,食了2V寸1)-1. 当x>0时,ex>1,十1》1, J- 所以F'(x)>0,所以F(x)在[0,+8)上单调递增, 所以当x>0时,F(x)>F(0)=0, 所以对任意x>0,都有日'■其之+2工-1)+1-sinx》=C. 所以当m>1时,对任意x>0,都有e'x心4GlnsirLX, 故实数m的取值范围为[1,+8). 22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,'一,[(t为参数),曲线C1的参数 lv=-2t 「7=l+ccigQ 方程为(”为参数),曲线C1与x轴交于O,A两点.以坐标原点。 为极 [y=sinOL 点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l的普通方程及曲线C1的极坐标方程; (2)若直线l与曲线Cg: 尸? 二电工在第一象限交于点m,且线段MA的中点为N,点P 在曲线C1上,求|PN|的最小值. —.x-2-t 【解答】解: (1)由直线l的参数方程为(t为参数),转换为直角坐标方程2x 、尸2t =4+y,即2x-y-4=0, 所以直线l的普通方程为2x-y-4=0. 由曲线Cl的参数方程为P=1+cOsCI(a为参数),转换为直角坐标方程(X-1)2+y2l.y=sinCI =1,即X2+y2-2x=0, 将X=pcos0,p2=X2+y2代入上式,可得p2-2pcos0=0,即p=2cos0, 所以曲线Ci的极坐标方程为p=2cos0. r2x^y_4=0.zofk-1(x=4”, (2)由,解得,Z1或,*住,所以M(4,4), y2=4xlv=-2lw4 由 (1)可得A(2,0),因为线段MA的中点为N,所以N(3,2), 由 (1)可知曲线Ci表示圆,其圆心为Ci(1,0),半径r=1, 所以|C[N|=Vcs-1)2十(2-0>2=2的>「 因为点P在曲线C1上,所以 (2)已知实数 【解答】证明: m,n满足m>1,求证: 2m2n+4mn2+1w4m2n2+m+2n. (1)由题可得以+2咻+1+1>3强XIX1=6也,当且仅当翼蒋时 取等号; 同理可得8尸2>6占,Sz+2>6Vz5 故(网田丽+2)(8工+2)>216%后,当且仅当片y=£=/时取等号,O 因为Mxy工二 64 所以(8x+2)(8y+2)(8z+2)>27,当且仅当天二y=z二二时取等号.S (2)要证2m2n+4mn2+1<4m2n2+m+2n,即证4m2n2-4mn2+2n-2m2n+m-1>0,即证4mn2(m—1)—(2mn+2n)(m—1)+m-1>0,即证(m—1)(4mn2—2mn—2n+1) >0, 即证(m—1)[2mn(2n—1)—(2n—1)]>0,即证(m—1)(2n—1)(2mn—1)>0, 因为m>1,所以m-1>0,2n-1>0,2mn-1>0, 所以(mT)(2nT)(2mnT)>0,所以2m2n+4mn2+1w4m2n2+m+2n.
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