第三讲几何变换的应用.docx
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第三讲几何变换的应用
第三讲:
几何变换的应用
第三讲全等变换的应用
全等变换的复习与九上证明二和证明三的衔接
【核心讲解】
在第一讲我们知道,全等变换是指对图形的旋转、平移以及对折(对称).应用全等变换可以解决许多平面几何问题,使用这种解决问题的方法对于理清解题思路、简化解题步骤有着不可替代的作用,并且对难度较大的一些平面几何问题的解决有化难为易的奇效.
通过学习,首先应明白应用全等变换的目:
一是将题目中所给的分散的条件加以拼合,组成某种特殊关系或者特殊形状的图形.二是将结论中或所要求解的线段、角等加以拼合,使得它们处在同一个基本图形中,从而达到方便解题的目的.下面,我们就通过例题来说明,如何利用全等变换解证几何问题的.
【思维体验】
一、旋转变换的应用
A
B
C
D
E
【例1】如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,求证:
DE//BC且DE=½BC.
例1图
【反思与小结】1.当题设中涉及到具有公共点的相等线段(特别是已知线段的中点)时,可以考虑使用旋转变换,以这个公共点(或线段中点)为旋转中心,通过旋转使相等的线段重合.
2.本例证明的是几何中一个很重要的定理——三角形中位线定理:
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.同学们可证明另一个定理:
过三角形一边中点与另一边平行的直线,必平分第三边.
【例2】如图,点M、N在正方形ABCD边BC、CD上,已知△MCN的周长是正方形ABCD的周长的一半,求证:
∠MAN=450
【点拨】注意到∠DAB=90°,所以只需证明∠MAN=
∠DAN+∠MAB.如何使∠DAN与∠MAB“合二为一”呢?
例2图
【反思与小结】旋转变换是几何变换中比较常见的一种变换,它在几何求解题、证明题、作图题中都有着广泛的应用,当题设中涉及到正多边形(等边三角形、正方形、正六边形等)的情形时,采用旋转变换将分散的元素集中或将有关条件建立起联系,可收到事半功倍之效。
掌握旋转变换的应用,对进行初等几何教学具有很好的指导作用。
二、平移变换的应用
【例3】如图,△ABC中,BD、CE是AB、AC边上的中线,且BD=CE.求证:
AB=AC
A
B
E
C
D
【点拨】将分散的条件“BD、CE是…且BD=CE”,集中于一个三角
形内(构成三角形的两条边)以便于利用这个条件.
【解】
例3图
【反思与小结】此为将分散条件通过平移而集中的一例,又是线段的平移.通常如本例所那样,是通过构造平行四边形来平移线段的.平移之后还要利用平移的性质,找出图中线段、角的等量关系.利用所找的等量关系和已知条件,确定解题方法并作出解答.
【例4】(2009年绥化中考题改编)如图:
在四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,FE的延长线分别交BA、CD的延长线于点M、N,若AB=CD.求证:
∠BMF=∠CNF
【点拨】由于∠BMF与∠CNF看上去有些“错位”,因此需将它们通过
变换“拉近”.
例4图
【反思与小结】此为将结论中分散图形通过平移而集中的一例,又是角的平移.角的平移可有两种方法:
一是在该角的一条边上选取一个适当的点,过该点作角的另一边的平行线;二是在图形中选取一个适当的点,过该点分别作角的两边的平行线.通常情况下的,方法一优于方法二.在例2中,需平移两个角,请注意这里是怎样利用中位线平移角的.
三、对称变换的应用
【例5】1.如图,△ABC中,∠C=2∠B,AD⊥BC于D.
求证:
BD=AC+CD.
【点拨】将条件中所涉及到的∠C移动位置,以便更好地利用
条件∠C=2∠B.那么怎样移动∠C呢?
例5图1
2.如图,△ABC中,AD是角平分线,若AB=AC+CD,求证∠C=2∠B.
【点拨】注意利用角是以它的平分线为对称轴的图形添加辅助线,使∠C
处于与∠B有密切关系的位置.
例5图2
【反思与小结】当题设中涉及垂线(或角平分线)时,可以考虑使用对称法添加辅助线.这样,能够将垂线(或角平分线)一边的图形移动到这条垂线(或角平分线)的另一边.
【例6】(2010年浙江台州中考题)如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E
=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.
(1)观察:
①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK_______MK(填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当∠CDF=30°时,AM+CK___MK(只填“>”或“<”).
(2)猜想:
如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK_______MK,证明你所得到的结论.
【点拨】对于
(2),需添加辅助线构造三角形,以便利用三角形两边之和大于第三边来证明.
图1
图2
图3
图4
【反思与小结】在解决某些几何问题时,可以选择某直线为对称轴,通过翻折,将不是轴对称的图形变为轴对称图形.或将轴一侧的图形通过“反射”变到另一侧,使条有关图形相对集中.
【积累与总结】
平移、旋转、对称是几何变换中的基本变换,三者也都是全等变换..“全等变换,变而不变”.正是“变”,重构了图形的相互位置关系,优化配置了已知条件;正是“不变”,保留了非方位关系,得以在新的环境下对原对象进行等价研究.所以,全等变换是作为一种数学思想帮助我们打开证明思路,使题解“峰回路转”“柳暗花明”的.
【一试身手】
基础训练
1.如图,四边形ABCD中AB=CD,E、F、M分别是AD、BC、BD中点,求证:
△EMF是等腰三角形。
y
O
A
B
C
P
D
x
2.(2010年鄂州)如图,正方形OABC的边长为6,点A、C分别在
x轴、y轴的正半轴上,点D(2,0)在OA上,P是OB上一动点,
则PA+PD的最小值为()
A.2
B.
C.4D.6
3.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=400,∠B=700,求证:
AD=AB–CD
4.等边△ABC中,P是三角形内一点,且∠APB=∠APC,求证:
BP=CP
5.如图,正方形ABCD中,∠1=∠2,求证:
BE+DF=AE
6.如图,△ABC中,∠A=2∠B,CD平分∠ACB,求证:
BC﹣AC=AD.
7.如图,在△ABC中,D、E在BC边上,∠CAE=∠B,E是CD的中点,AE平分∠BAE.
求证:
BD=AC.
提高训练
1.如图,四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.AB>AD,下列结论正确的是()
A.AB﹣AD>CB﹣CD
B.AB﹣AD=CB﹣CD
C.AB﹣AD D.AB﹣AD与CB﹣CD的大小不确定 2.如图,四边形ABCD中,AC=BD,AC、BD交于O,E、F是AB、CD中点,EF交对角线于点G、H,求证: OG=OH 3.在正方形ABCD作∠MAN=45°,M、N分别在BC、CD上,再作AH⊥MN于H. 求证: AH等于正方形的边长. 4.如图,在“风车三角形”中,AA’=BB‘=CC’=2,∠AOB‘=∠BOC’=60°. 求证: S△AOB′+S△BOC′+S△COA′< 5.(2010年重庆第26题第(3)题)如图,△ 是边长为2的等边三角形,△ 是顶角∠ =120°的等腰三角形. ,其两边分别与 , 交于点 , ,连接 .将 绕着点 旋转( 旋转角 ),使得 , 始终在边 和边 上.试判断在这一过程中,△ 的周长是否发生变化? 若没变化,请求出其周长;若发生变化请说明理由. A C B O M N
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- 第三 几何 变换 应用
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