双曲线离心率值与范围类型.docx
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双曲线离心率值与范围类型
圆曲之双曲线离心率值与范围类型
一.选择题(共40小题)
1.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,
则E的离心率为()
A.B.2C.D.
2.如图,F1、F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C
的左、右2个分支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()
A.4B.C.D.
3.设双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0)(0,b)两点,已知
原点到直线l的距离为,则双曲线的离心率为()
A.2
B.
C.
D.
4.双曲线
﹣
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1、F2离心率为e.过F2的直线
与双曲线的右支交于
A、B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则
2
e
的值是(
)
A.1+2
B.3+2
C.4﹣2
D.5﹣2
5.已知
1,F2是双曲线E:
﹣
=1的左、右焦点,点
M在E上,MF1与x轴垂直,
F
sin∠MF2F1=
,则E的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.2
第1页(共38页)
6.如图,F1、F2是双曲线
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双
曲线的左右两支分别交于点
A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为(
)
A.4B.C.D.
7.设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P
使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?
|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()
A.B.C.D.3
8.设F1、F2分别为双曲线C:
﹣
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左
顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于
M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该
双曲线的离心率为(
)
A.
B.C.
D.
9.下列三图中的多边形均为正多边形,
M,N是所在边的中点,双曲线均以图中的
F1,F2
为焦点,设图示①②③
中的双曲线的离心率分别为
e1,e2,e3、则e1,e2,e3的大小关系
为(
)
A.e1>e2>e3
B.e1<e2<e3
C.e2=e3<e1D.e1=e3>e2
10.设点P是双曲线
2
2
2
2
在第一象限的交点,
F1,
=1(a>0,b>0)与圆x+y=a
+b
F2分别是双曲线的左、右焦点,且
|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为(
)
A.B.
C.
D.
第2页(共38页)
11.设F1,F2分别为双曲线
﹣
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点
2
2
)
P使得(|PF1|﹣|PF2|)=b﹣3ab,则该双曲线的离心率为(
A.B.C.4
D.
12.如图所示,A,B,C是双曲线
=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点
O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率是()
A.B.C.D.3
13.已知O为坐标原点,双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F,以OF为直径作圆
交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B,若(+)?
=0,则双曲线的离心率e
为()
A.2B.3C.D.
14.如图,F1,F2是双曲线C:
(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l
与C的左、右两支分别交于A,B两点.若|AB|:
|BF2|:
|AF2|=3:
4:
5,则双曲线的离
心率为()
A.B.C.2D.
第3页(共38页)
15.已知双曲线(a>0,b>0)的左右焦点是F1,F2,设P是双曲线右支上一
点,上的投影的大小恰好为且它们的夹角为,则双曲线的离心率e
为()
A.B.C.D.
16.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为A,
与另一条渐近线交于点B,若=2,则此双曲线的离心率为()
A.B.C.2D.
17.已知点P是双曲线C:
左支上一点,F1,F2是双曲线的左、
右两个焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线
段PF2,则双曲线的离心率是()
A.
B.2C.
D.
18.已知点P为双曲线
(a>0,b>0)的右支上一点,
F1、F2为双曲线的左、
右焦点,使
(O为坐标原点),且||=|
|,则双曲线离心
率为(
)
A.
B.
C.
D.
19.如图,已知双曲线
﹣
=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为
F1,F2,|F1F2|=4,P
是双曲线右支上的一点,
F2P与y轴交于点A,△APF1的内切圆在边
PF1上的切点为Q,若
|PQ|=1,则双曲线的离心率是(
)
第4页(共38页)
A.3B.2
C.D.
20.设双曲线C:
(b>a>0)的左、右焦点分别为
1,F2.若在双曲线的右
F
支上存在一点
P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率e的取值范围为(
)
A.(1,2]B.
C.
D.(1,2)
21.已知F1,F2分别为双曲线
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线左支
上任一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是()
A.(1,+∞)B.(0,3]C.(1,3]D.(0,2]
22.已知点F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直
于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取
值范围是()
A.B.C.D.
23.已知点P是双曲线左支上除顶点外的一点,F1,F2分别是
双曲线的左、右焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,双曲线离心率为e,则=()
A.B.C.D.
24.设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,
则该双曲线的离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
第5页(共38页)
25.已知点F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与
双曲线交于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率
e的取值范围是(
)
A.(1,+∞)B.
C.(1,2)D.
26.已知双曲线
的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(
)
A.(1,2]
B.(1,2)C.[2,+∞)
D.(2,+∞)
27.设双曲线
﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线
l交两
渐近线于A、B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ
(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
28.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线交双
曲线于P,Q两点且PQ⊥PF1,若|PQ|=λ|PF1|,,则双曲线离心率e的取值
范围为()
A.B.C.D.
29.如图,已知双曲线=1(a>0,b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,
点F为双曲线的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈[,],则双曲线离心
率e的取值范围为()
A.[,2+]B.[,]C.[,]D.[,+1]
30.已知F1,F2是双曲线=1(a,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直
线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2为钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围
是()
第6页(共38页)
A.(1,+∞)B.
C.
D.
31.过双曲线﹣
2
2
2
的切线,切点
=1(a>0,b>0)的左焦点F(﹣c,0)作圆x+y=a
为E,延长FE交抛物线y2
=4cx于点P,O为坐标原点,若
=(
+),则双曲线的离
心率为(
)
A.
B.C.
D.
32.已知双曲线C:
﹣=1的左、右焦点分别是F1,F2,正三角形AF1F2的一边AF1
与双曲线左支交于点
B,且
=4
,则双曲线C的离心率的值是(
)
A.+1
B.
C.
+1
D.
33.设双曲线
﹣
=1的两条渐近线与直线x=
分别交于A,B两点,F为该双曲线的
右焦点.若
60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是(
)
A.(1,
)B.(
,2)
C.(1,2)D.(
,+∞)
34.如图,已知A(﹣2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|,E为AC上
一点,且
.又以A、B为焦点的双曲线过
C、D、E三点.若
,则
双曲线离心率
e的取值范围为(
)
A.B.C.D.
35.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,若在双曲线的右
支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率e的取值范围为()
A.[,+∞)B.[2,+∞)C.D.(1,2]
36.点P是双曲线(a>0,b>0)左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M
为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为,则双曲线的离心率e范围是()
A.(1,8]B.C.D.(2,3]
第7页(共38页)
37.已知P点是双曲线
上一点,F1、F2是它的左、右焦点,若
|PF2|=3|PF1|,则双曲线的离心率的取值范围是(
)
A.(1,2)B.(2,+∞)
C.(1,2]
D.[2,+∞)
38.设双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作x轴的垂线交两渐近线于
点A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为
P,设O为坐标原点,若=λ+u
(λ,
2
2
)
μ∈R),λ+u=,则双曲线的离心率为(
A.
B.
C.
D.
39.已知在双曲线
中,F1,F2分别是左右焦点,A1,A2,B1,B2分别为双曲
线的实轴与虚轴端点,若以
A1A2为直径的圆总在菱形F1B1F2B2的内部,则此双曲线
离心率的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
40.已知点F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F2且垂直
于x轴的直线与双曲线交于M,N两点,若?
>0,则该双曲线的离心率e的取值
范围是()
A.(,+1)B.(1,+1)C.(1,)D.
第8页(共38页)
圆曲之双曲线离心率值与范围类型
参考答案与试题解析
一.选择题(共40小题)
1.(2015?
新课标II)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰
三角形,顶角为120°,则E的离心率为()
A.B.2C.D.
【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上,由题意可得M的坐标为(﹣2a,a),代
入双曲线方程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值.
【解答】解:
设M在双曲线﹣=1的左支上,
且MA=AB=2a,∠MAB=120°,
则M的坐标为(﹣2a,a),
代入双曲线方程可得,
﹣=1,
可得a=b,
c==a,
即有e==.
故选:
D.
2.(2016?
天津校级模拟)如图,F1、F2是双曲线
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,
过F1的直线l与C的左、右
2个分支分别交于点
A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲
线的离心率为(
)
A.4B.C.D.
第9页(共38页)
【分析】利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a,利用等边三角
形的定义可得:
|AB|=|AF2|=|BF2|,.在△AF1F2中使用余弦定理可得
:
=﹣,再利用离心率的计算公
式即可得出.
【解答】解:
∵△ABF2为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|,.
由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a.
又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a,|AF1|=6a.
在△AF1F2中,由余弦定理可得:
=﹣
,
∴
2
2
,化为c=7a
,
∴=.
故选B.
3.(2016?
肇庆三模)设双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0)(0,
b)两点,已知原点到直线l的距离为,则双曲线的离心率为()
A.2B.C.D.
【分析】直线l的方程为,原点到直线l的距离为,∴,
据此求出a,b,c间的数量关系,从而求出双曲线的离心率.
【解答】解:
∵直线l的方程为
2
2
2
,
,c
=a
+b∴原点到直线l的距离为
∴
,
2
2
4
,
∴16a
b=3c
2
2
2
4
2
2
4
4
,
∴16a
(c﹣a)=3c
,∴16ac﹣16a
=3c
∴3e4﹣16e2+16=0,
解得
或e=2.0<a<b,∴e=2.
故选A.
第10页(共38页)
4.(2016?
河南模拟)双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2离心率
为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直
角三角形,则e2的值是()
A.1+2B.3+2C.4﹣2D.5﹣2
【分析】设|AF1|=|AB|=m,计算出|AF2|=(1﹣)m,再利用勾股定理,即可建立a,
2
c的关系,从而求出e的值.
【解答】解:
设|AF1|=|AB|=m,则|BF1|=m,|AF2|=m﹣2a,|BF2|=m﹣2a,
∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m,∴m﹣2a+m﹣2a=m,
∴4a=
m,∴|AF2|=(1﹣
)m,
2
2
+|AF2|
2
∵△AF1F2为Rt三角形,∴|F1F2|=|AF1|
2
﹣
2
∴4c=(
)m,
∵4a=
m
2
﹣
2
∴4c=(
)×8a,
2
∴e=5﹣2
故选D.
5.(2016春?
唐山校级期末)已知F1,F2是双曲线E:
﹣=1的左、右焦点,点M在
E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(
)
A.B.
C.D.2
【分析】设|MF1|=x,则|MF2|=2a+x,利用勾股定理,求出x=
,利用sin∠MF2F1=
,
求得x=a,可得
=a,求出a=b,即可得出结论.
【解答】解:
设|MF1|=x,则|MF2|=2a+x,
∵MF1与x轴垂直,
222
∴(2a+x)=x+4c,
∴x=
∵sin∠MF2F1=,
∴3x=2a+x,
∴x=a,
第11页(共38页)
∴=a,
∴a=b,
∴c=a,
∴e==.
故选:
A.
6.(2016?
锦州一模)如图,
F1、F2是双曲线
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过
F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点
A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的
离心率为(
)
A.4B.C.D.
【分析】由双曲线的定义,可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a,BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,再在△F1BF2中应用余弦定理得,a,c的关系,由离心率公式,计算即可得到所求.【解答】解:
因为△ABF2为等边三角形,不妨设AB=BF2=AF2=m,
A为双曲线上一点,F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a,
B为双曲线上一点,则BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,
由
,则
,
在△F1BF2中应用余弦定理得:
4c
2
2
2
=4a
+16a﹣2?
2a?
4a?
cos120°,
2
2
,则
.
得c
=7a
故选:
B.
第12页(共38页)
7.(2014?
重庆)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线
上存在一点P使得|PF1|+|
PF2|=3b,|PF1|?
|PF2|=
ab,则该双曲线的离心率为(
)
A.B.C.
D.3
【分析】不妨设右支上P点的横坐标为
x,由焦半径公式有
|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,结
合条件可得a=b,从而c=
=
b,即可求出双曲线的离心率.
【解答】解:
不妨设右支上
P点的横坐标为x
由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,
∵|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?
|PF2|=
ab,
2
2
ab
∴2ex=3b,(ex)﹣a=
∴b2﹣a2=ab,即9b2﹣4a2﹣9ab=0,
∴(3b﹣4a)(3b+a)=0
∴a=b,
∴c==b,
∴e==.
故选:
B.
8.(2016?
岳阳二模)设F1、F2分别为双曲线
C:
﹣
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,
A为双曲线的左顶点,以
F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于
M,N两点,且满足∠
MAN=120°,则该双曲线的离心率为(
)
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