54 追及问题二.docx
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54 追及问题二.docx
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54追及问题二
4追及问题
(二)
学习目标:
1、认识速度差、追及时间、追及路程,掌握三者之间的等量关系;
2、利用数形结合思想,掌握画线段图的基本技巧,能熟练运用解决问题;
3、在解决追及问题的过程中,运用问题解决的模式,让学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程,发展学生的模型思想。
教学重点:
1、掌握速度差、追及时间、追及路程三者之间的等量关系;
2、利用数形结合思想,掌握画线段图的基本技巧,能熟练运用解决问题。
教学难点:
如何解决较复杂的追及问题
教学过程:
一、情景体验
PPT展示图片
师:
同学们,你们能描述一下图中看到的内容吗?
从中你能联想到什么数学问题呢?
学生积极发言
师补充:
对啦,这里面涉及到我们之前学习的行程问题中的追及问题。
(板书:
追及问题)
首先来看两道简单的应用题。
1.好马每天行500千米,劣马每天行300千米,劣马先行4天,好马几天后可追上劣马?
学生读题
师:
本题关键词“好马几天后可追上劣马”,说明是什么问题?
生:
追及问题。
师引导学生画出线段图(先画出劣马先行4天的路程)
师:
之前已经学过追及问题,现在我们再来复习回顾一下。
劣马先行4天,可以算出劣马先行了300×4=1200(千米)。
然后两马同时出发,好马所走的路程比劣马多1200千米。
好马每天行500千米,劣马每天行300千米,一天好马比劣马多行500-300=200(千米)。
所以同时出发,当好马追上劣马时,好马比劣马多行1200千米需要的时间为1200÷200=6(天)。
列综合算式:
1200÷(500-300)=6(天)
1200是指劣马先行的路程,也是好马追上劣马,两者所行的路程差,我们称为追及路程。
500是好马的速度,300是劣马的速度,所以500-300是两者的速度差。
6天是两者的追及时间。
因此可以得出:
追及路程÷速度差=追及时间。
根据这个数量关系,还可以得到:
追及路程÷追及时间=速度差,追及时间×速度差=追及路程。
2.甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发,走15分钟后,甲返回原地取东西,而乙继续前进,甲取东西用去5分钟后,改骑自行车以每分钟360米的速度去追乙,甲骑车多少分钟才能追上乙?
学生读题
师:
读完题目,发现这仍然是什么问题?
生:
追及问题。
师:
刚才我们已经得到了追及问题中三者之间的数量关系,问甲骑车多少分钟才能追上乙,要求的是追及时间。
追及时间=追及路程÷速度差,已知甲骑自行车的速度是每分钟360米,乙步行的速度是每分钟60米,所以速度差=360-60=300。
那么,还需要知道追及路程,同学们,你们能通过画线段图找出甲乙的追及路程吗?
学生尝试画线段图
师引导学生画出正确的线段图(参考PPT)
师:
从图上可知,蓝色箭头表示甲骑车追上乙所行的路程,绿色箭头表示当甲从原地骑车出发、乙步行走的路程。
因此,追及路程(路程差)就是之前乙走(15+15+5)分钟的路程,是60×(15+15+5)=2100(米)。
追及路程和速度差都已知了,所以甲骑车追上乙的时间是2100÷300=7(分钟)。
二、思维探索(建立知识模型)
展示例1
例1:
一辆货车以每小时60千米的速度开出2小时后,一辆吉普车以每小时80千米的速度追赶货车,几小时能追上?
在吉普车追上货车前半个小时,两车相距多远?
学生读题
师:
第一问,求吉普车几小时能追上货车,同样是求追及时间。
已知两车的速度,只有追及路程不知道,那么两车的追及路程是多少呢?
生:
画线段图分析。
师:
对的,碰到这种复杂的追及问题,我们可以借助线段图来分析。
师引导学生画出吉普车追上货车的线段图
师:
从图上可知,绿色箭头表示吉普车追上货车所行的路程,蓝色箭头表示两车同时出发货车走的路程。
因此,追及路程(路程差)就是之前货车先开出的120千米。
吉普车、货车的速度题目已告诉了,所以速度差为80-60=20(千米/时)。
师:
已知追及路程、速度差,因此追及时间为:
120÷20=6(小时)。
即6小时吉普车能追上货车。
师:
再来看第二问,“在吉普车追上货车前半个小时,两车相距多远”,这句话怎么理解呢?
学生思考回答
师引导:
我们可以把这句话换个说法,就是当吉普车追上货车需要半个小时,在追上之前,两车相距多远。
那么,追上的半个小时就是追及时间,而要求两车相距多远,实际上就是要求两车的追及路程。
已知追及时间是半小时,两车的速度差是20千米/时,所以追及路程=20×0.5=10(千米)。
师引导学生梳理完整的解题思路
学生自主完成即学即练,师再集体订正讲解。
三、思维拓展(知识模型拓展)
展示例2
例2:
家与公园之间的距离为4.8千米,如弟弟从家出发,以每分钟60米的速度步行去公园,哥哥在15分钟后骑自行车从家出发去追赶弟弟,自行车的速度是每分钟240米,哥哥在离家多远的地方追上弟弟?
哥哥追上弟弟后到达公园后又返回,不久与弟弟相遇,那么相遇处离公园多远?
学生读题
师:
读完题后,发现第一问其实和例题1的第一问是一样的,对吗?
大家不妨画线段图自己动手分析吧。
学生尝试画出线段图解答,师可点学生说出解题过程。
师补充讲解:
从画出的线段图上很明显可以看出当哥哥追上弟弟的时候,哥哥与弟弟的路程差就是弟弟提前出发15分钟所走的距离,即追及路程=60×15=900(千米)。
两人的速度差=240-60=180(米/分),因此追及时间=900÷180=5(分)。
哥哥从家出发5分钟追上弟弟,所以追上地点离家有240×5=1200(米)。
师:
题目说“哥哥追上弟弟后到达公园后又返回,不久与弟弟相遇”,画出哥哥弟弟相遇所走的线段图。
师引导学生画出哥哥弟弟相遇时所跑的路程
师:
第一问已经求出从家到追及地点的距离是1200米,那么从图中能看出兄弟两人的相遇路程是多少吗?
生:
是追及地点到公园这段距离的两倍。
师追问:
为什么?
生:
相遇路程就是兄弟两人同时出发所走的路程和,即图上蓝色和绿色箭头所指的路程,是后半部分的两倍。
师:
对的,看来大家已经完全理解相遇路程的含义了。
后半部分的距离是多少你们知道吗?
生:
从家到公园的距离是4.8千米,即4800米,减去前面的1200米,就是3600米。
师:
所以兄弟两人的相遇路程是多少?
生:
3600×2=7200(米)
师:
已知相遇路程是7200米,兄弟两人的速度也知道,可以求出什么?
生:
求相遇时间,7200÷(60+240)=24(分)
师:
也就是兄弟两人各自走了24分钟。
问题要求相遇处离公园多远,我们可以先求出弟弟走24分钟的路程,为60×24=1440(米)。
所以相遇处离公园还有4800-1200-1440=2160(米)。
师引导学生梳理完整的解题思路
学生自主完成即学即练,师再集体订正讲解。
展示例3
例3:
一只兔子奔跑时,每一步都跑0.3米,一只狗奔跑时,每一步都跑1.2米。
狗跑一步的同时,兔子能跑3步。
兔子在狗前方30米处,当狗追上兔子的时候,兔子跑了多少米?
学生读题
师:
已知狗一步跑1.2米,兔子一步跑0.3米,题目说狗跑一步的同时兔子能跑3步,也就是狗跑1.2米,兔子就能跑0.3×3=0.9(米)。
兔子在狗前方30米处,要求当狗追上兔子的时候,兔子跑了多少米,我们不妨还是画线段图分析。
师引导学生画出线段图
师:
从图上可知狗和兔子的路程差(追及路程)是30米,狗的速度是1.2米/步,兔子的速度是0.9米/步,因此可以求出狗追上兔子所用的时间(步数)是30÷(1.2-0.9)=100(步)。
狗追上兔子用了100步,兔子按照0.9米/步的速度也跑了100步,因此兔子跑的路程是0.9×100=90(米)。
师强调:
本题中一定要注意狗跑一步,兔子跑三步,因此狗追兔子时两者的速度要统一。
学生自主完成即学即练,师再集体订正讲解。
四、融汇贯通(知识模型的运用)
展示例4
例4:
一架敌机侵犯我领空,我机立即起飞迎击,在两机相距50千米时,敌机扭转机头以每分钟15千米的速度逃跑,我机以每分钟22千米的速度追击,当我机追至离敌机1千米时与敌机激战,只用了半分钟就将敌机击落,敌机从扭头逃跑到被击落共用了多少分钟?
学生读题
师:
书上已经画出了线段图,我们根据题意再重新认识一下。
师:
题目说在两机相距50千米时,敌机扭头逃跑,我机追击。
根据题目给的线段图可判断出敌机是向右逃跑,我机也是向右追击,用箭头在图上标注出方向。
当我机追至离敌机1千米时发生激战,题目已画出距离1千米时敌机、我机的位置,因此可以找出敌机飞行的路程(红色)和我机飞行的路程(蓝色)。
既然敌机逃跑和我机追击是同时进行的,敌机在前,我机在后,那么从图中你能知道我机与敌机的追及路程是多少吗?
学生观察思考
师引导:
很明显,从图上可得到一个等量关系式,即50+敌机路程=我机路程+1。
将这个式子变形,得到我机路程-敌机路程=49,即路程差(追及路程)是49千米。
我机的速度和敌机的速度已知,所以速度差=22-15=7(千米/分)。
知道了追及路程和速度差,就可以得出追及时间,为49÷7=7(分),即敌机逃跑到两机开始激战的时间是7分钟,激战用了半分钟将敌机击落,所以敌机从扭头逃跑到被击落共用了7+0.5=7.5(分)。
师引导学生梳理完整的解题思路
学生自主完成即学即练,师再集体订正讲解。
展示例5
例5:
张明、李军和赵琪三人都要从甲地到乙地,早上6时,张、李两人一起从甲地出发,张明每小时走5千米,李军每小时走4千米,赵琪上午8时才从甲地出发,傍晚6时赵、张两人同时到乙地,问:
赵琪什么时候追上李军?
学生读题
师:
题目要求赵琪什么时候追上李军,也就是求追及时间,想一想,需要知道什么条件?
生:
需要知道赵琪和李军的追及路程、两人的速度差。
师:
因为题目涉及到三个人,为了更好地理清条件,我们不妨借助图表来分析。
师引导学生画出图表(参考PPT),并将题目给出的已知数据填入表格。
师:
从表格中可知张明的出发时间是早上6时,到达时间是傍晚6时,那么他一共用了多长时间呢?
生:
傍晚6时=18时,18-6=12(小时)
师:
同样,也可以计算出赵琪所用的时间是傍晚6时减去上午8时,等于10小时。
从甲地到乙地,张明的速度是5千米/小时,所用时间是12小时,能算出甲乙之间的距离是5×12=60(千米),赵明从甲地到乙地用10小时,根据路程÷时间=速度,可算出赵明的速度是60÷10=6(千米/小时)。
师:
现在已知李军、赵明两人的速度,只需要找出他们之间的追及路程即可。
大家可以尝试画线段图做一做。
学生尝试,师可点学生说出解题过程。
生:
和前面的题目一样,当赵琪追上李军的时候,他们的路程差(追及路程)就是8千米,所以赵琪追上李军的追及时间=8÷(6-4)=4(小时)。
赵琪上午8时出发,经过4小时追上李军,追上的时候就是8+4=12时,即中午12时赵琪追上李军。
师小结:
解决一些复杂的行程问题时,可根据情况结合图表、线段图帮助分析。
五、创新应用
展示例6
例6:
甲、乙、丙三人都从A城到B城,甲每小时行4千米,乙每小时行5千米,丙每小时行6千米,甲出发3小时后乙才出发,恰好三人同时到达B城,乙出发几小时后丙才出发?
学生读题
师:
已知甲乙丙三人的速度,甲出发3小时后乙才出发,结果同时到达,既然甲乙不是同时出发,最后同时到达,可不可以理解成最后是乙在B城追上甲呢?
生:
可以。
师:
既然是乙追上甲,不妨先画出乙追上甲的线段图。
师引导学生画出线段图
师:
从图上很明显可知,甲乙的路程差(追及路程)是甲先出发3小时所行的12千米,已知甲乙各自的速度,因此可算出乙追上甲所用的时间是4×3÷(5-4)=12(小时)。
乙是从A城出发,在B城追上甲,因此这12小时也可以看作是乙从A到B需要的时间。
师:
题目问的是乙出发几小时丙才出发,如果能知道从A城到B城丙需要的时间,答案就出来了。
那么,同学们思考一下,你能求出从A到B,丙需要多长时间吗?
学生思考
生1:
乙的速度是每小时行5千米,需要12小时,能求出AB两城的距离是5×12=60(千米)。
生2:
AB的距离是60千米,丙每小时行6千米,因此丙需要的时间是60÷6=10(小时)。
师:
乙、丙是同时到达,乙要用12小时,而丙用10小时,所以乙应该比丙晚出发几小时?
生:
12-10=2(小时)
师引导学生梳理完整的解题思路
学生自主完成即学即练,师再集体订正讲解。
展示例7
例7:
快、中、慢三辆车同时从同一地点出发,沿公路追赶前面一骑车人,这三辆车分别用6、9、12分钟追上该骑车人,已知快车每分钟行240米,中速车每分钟行200米,求慢车每分钟行多少米?
学生读题
师:
书上已经给出了线段图,三车都是从A地向右同时出发,根据题意可在图中标出快车、中车、慢车。
请大家仔细观察,从图上可以得到什么信息?
学生思考
师讲解:
快车6分钟就追上骑车人,这时候快车停下,但是骑车人继续前进,到第9分钟中车就追上骑车人。
比较快车、中车各自表示路程的箭头,可以得出:
中车路程-快车路程=骑车人3分钟所行的路程。
同理,中车与慢车相比,又可以得出:
慢车路程-中车路程=骑车人3分钟所行的路程。
发现,等号右边都是骑车人3分钟所行的路程,因此等号左边的就应该是相等的,即中车路程-快车路程=慢车路程-中车路程。
进一步变形得到:
慢车路程=中车路程×2-快车路程。
中车的速度是每分钟行200米,时间是9分钟,因此中车路程=200×9=1800(米)。
快车的速度是每分钟240米,时间是6分钟,因此快车路程=240×6=1440(米)。
由此可以算出慢车的路程为:
1800×2-1440=2160(米)。
慢车的路程是2160米,时间是12分钟,因此速度就是2160÷12=180(米/分)。
六、总结
通过这次课的学习,你学到了什么呢?
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