最新B偏导数练习总汇总.docx
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最新B偏导数练习总汇总
B偏导数练习总
1.设有三个正数«SkipRecordIf...»,它们的和为12,当它们取何值时,函数«SkipRecordIf...»达到最大?
解:
用拉格朗日乘子法,得到拉格朗日函数:
«SkipRecordIf...»,……2分
对该函数求偏导数,得到方程组:
«SkipRecordIf...»……4分
解上面的方程组,得到
«SkipRecordIf...»………6分
根据问题的实际意义,可知这组解就是唯一的解,
即«SkipRecordIf...»是极大值点,极大值为6912。
……8分
2.设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»具有连续偏导数,证明:
«SkipRecordIf...»。
证明:
由于
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
所以:
«SkipRecordIf...»……6分
3、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
4.设«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»具有连续的偏导数,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»;……4分
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»。
……8分
5.在椭球面«SkipRecordIf...»上求到平面«SkipRecordIf...»的距离最近的点和最近的距离,最远的点和最远的距离.
解:
椭球面«SkipRecordIf...»上的点«SkipRecordIf...»到平面«SkipRecordIf...»的距离
«SkipRecordIf...»……2分
构造辅助函数«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»分别对«SkipRecordIf...»求导数,并令其为零,有
«SkipRecordIf...»……4分
得到«SkipRecordIf...»,代入«SkipRecordIf...»,可得驻点«SkipRecordIf...»
……6分
分别求得到平面的距离为«SkipRecordIf...»,由于实际问题中最远和最近距离存在,因此所求最近点为«SkipRecordIf...»,最近距离«SkipRecordIf...»,最远点为«SkipRecordIf...»,最远距离为«SkipRecordIf...».……8分
6、设«SkipRecordIf...»,而«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……2分
=«SkipRecordIf...»……4分
=«SkipRecordIf...»……6分
7、求函数«SkipRecordIf...»的极值.
解:
先解方程组
«SkipRecordIf...»……2分
得驻点«SkipRecordIf...»
再求出二阶偏导数:
«SkipRecordIf...»…4分
从而在点(1,0)处«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,故去的极小值«SkipRecordIf...»;
在点(1,2)处«SkipRecordIf...»,无极值;……6分
在点(-3,0)处«SkipRecordIf...»,无极值;
在点(-3,2)处«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,故去的极大值«SkipRecordIf...».
……8分
8、现用铁板做成一个表面积为36的有盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时体积最大?
并求最大体积.
解:
设长方体水箱的长、宽、高分别为«SkipRecordIf...»,则问题就是在约束条件
«SkipRecordIf...»
下,求函数«SkipRecordIf...»的最大值。
……2分
构造辅助函数«SkipRecordIf...»,对其求«SkipRecordIf...»的偏导数,并使之为零,得……4分
«SkipRecordIf...»……6分
由上式得«SkipRecordIf...»
代入
(1)得«SkipRecordIf...»
这是唯一的极值点,所以最大值为«SkipRecordIf...».……8分
9、、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……6分
10、已知三角形一条边长为«SkipRecordIf...»,其对角为«SkipRecordIf...»,利用拉格朗日乘数法求其它两条边的长,使三角形的面积为最大.
解:
设三角形另两边长分别为«SkipRecordIf...»,则问题就是在约束条件
«SkipRecordIf...»
下,求函数«SkipRecordIf...»的最大值。
……2分
构造辅助函数«SkipRecordIf...»,对其求«SkipRecordIf...»的偏导数,并使之为零,得……4分
«SkipRecordIf...»……6分
由上式得«SkipRecordIf...»
代入
(1)得«SkipRecordIf...»
这是唯一的极值点,所以最大值为«SkipRecordIf...».……8分
11、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
12、求函数«SkipRecordIf...»在闭域«SkipRecordIf...»上的最小值和最大值.
解:
在区域D内,由
«SkipRecordIf...»的唯一驻点(1,1),«SkipRecordIf...»……2分
当x=0时,«SkipRecordIf...»;(在点(0,0)及(0,2))
当y=0时,«SkipRecordIf...»;(在点(0,0)及(0,«SkipRecordIf...»))……4分
当x=2时,«SkipRecordIf...»;(在点(2,2)及(2,0))
当y=2时,«SkipRecordIf...»;(在点(2,2)及(0,0))……6分
比较得原函数的最大值为5,最小值为-3。
……8分
13、将正数30表示成3个正数«SkipRecordIf...»之和,试求«SkipRecordIf...»各等于多少时,函数«SkipRecordIf...»达到最小.
解:
解:
用拉格朗日乘子法,得到拉格朗日函数:
«SkipRecordIf...»,……2分
对该函数求偏导数,得到方程组:
«SkipRecordIf...»……4分
解上面的方程组,得到
«SkipRecordIf...»………6分
根据问题的实际意义,可知这组解就是唯一的解.……8分
14、求函数极限«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»……6分
15、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
16、在椭圆«SkipRecordIf...»上求一点,使其到直线2x+3y-6=0的距离为最近.解:
问题就是在约束条件
解:
设«SkipRecordIf...»为椭圆上的任意一点,即有«SkipRecordIf...»,P到直线2x+3y-6=0的距离为
«SkipRecordIf...» .…2分
作拉格朗日函数
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...».
解得«SkipRecordIf...»……6分
故«SkipRecordIf...»为两个驻点,从而«SkipRecordIf...»,又由实际问题可知最短距离存在,因此点«SkipRecordIf...»即为所求点.«SkipRecordIf...»即为最短距离……8分
17、求极限«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
=-8……6分
18、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»…6分
19、设长方体的表面积为«SkipRecordIf...»,求体积最大的长方体,并求最大体积
解:
设长方体的长宽高分别为。
«SkipRecordIf...»问题就是在约束条件«SkipRecordIf...»
下,求函数«SkipRecordIf...»的最大值。
……2分
构造辅助函数«SkipRecordIf...»,对其求«SkipRecordIf...»的偏导数,并使之为零,得……4分
«SkipRecordIf...»……6分
由上式得«SkipRecordIf...»
代入
(1)得«SkipRecordIf...»
这是唯一的极值点,此时函数达到最大,即为正方体时体积最大……8分
20、设«SkipRecordIf...»,证明:
«SkipRecordIf...»
证:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……6分
21、设«SkipRecordIf...»求«SkipRecordIf...»
解:
«SkipRecordIf...»,……4分
«SkipRecordIf...»……5分
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»……6分
22、在平面«SkipRecordIf...»上求一点,使它与两定点«SkipRecordIf...»距离平方和最小。
解:
设点«SkipRecordIf...»在平面上,«SkipRecordIf...»……2分
令«SkipRecordIf...»,分别对«SkipRecordIf...»求偏导数,并令其为零,有
«SkipRecordIf...»……4分
解得«SkipRecordIf...»,……6分
代入«SkipRecordIf...»,求得M«SkipRecordIf...»……8分
23、设函数«SkipRecordIf...»由方程«SkipRecordIf...»确定,证明:
«SkipRecordIf...»
证:
设«SkipRecordIf...»则……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»……6分
24、求«SkipRecordIf...»
解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
=-2……6分
25、已知«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»
解:
由«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»……2分
于是«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……6分
26、求函数«SkipRecordIf...»的极值.
解:
先解方程组
«SkipRecordIf...»求得驻点«SkipRecordIf...»……2分
且«SkipRecordIf...»……4分
在«SkipRecordIf...»处«SkipRecordIf...»,此时无极值;……6分
在«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,函数取得极小值«SkipRecordIf...»
在«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,函数取得极大值«SkipRecordIf...»……8分
27、设«SkipRecordIf...»,而«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……6分
28、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...».
解:
设«SkipRecordIf...»,则……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……6分
29、设有一根长为«SkipRecordIf...»的铁丝,将其分成两段,分别构成圆形和正方形,设圆形的面积为«SkipRecordIf...»,正方形的面积为«SkipRecordIf...»,证明:
当«SkipRecordIf...»最小时,«SkipRecordIf...».
证:
设两根铁丝长分别为«SkipRecordIf...»(构成圆),«SkipRecordIf...»(构成正方形),则
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»……4分
由«SkipRecordIf...»得唯一驻点«SkipRecordIf...»……6分
从而«SkipRecordIf...»……8分
30.设«SkipRecordIf...»,求全微分«SkipRecordIf...»。
解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»
31.求二元函数«SkipRecordIf...»的极值.
解:
由«SkipRecordIf...»得方程组«SkipRecordIf...»,解得«SkipRecordIf...»……4分
又由解得«SkipRecordIf...»,故为极小值……6分
将«SkipRecordIf...»代入得,«SkipRecordIf...»……8分
32.设«SkipRecordIf...»,证明«SkipRecordIf...»。
解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……4分
代入整理得«SkipRecordIf...»,得证……6分
33、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
34、设«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
35、讨论函数«SkipRecordIf...»的极值.
解:
由«SkipRecordIf...»得方程组«SkipRecordIf...»,解得«SkipRecordIf...»……4分
又由解得«SkipRecordIf...»,故为极小值……6分
将«SkipRecordIf...»代入得,«SkipRecordIf...»……8分
36、求由方程«SkipRecordIf...»所确定的函数«SkipRecordIf...»的偏导数«SkipRecordIf...».
解:
有题意«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……7分
37、设«SkipRecordIf...»求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»
……4分
«SkipRecordIf...»……8分
38、现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时体积最大?
并求最大体积.
解:
由题意分别设水箱长,宽,高为«SkipRecordIf...»
则所求即为«SkipRecordIf...»,又由«SkipRecordIf...»代入
得«SkipRecordIf...»……2分
对上式求极值«SkipRecordIf...»,得«SkipRecordIf...»……4分
又由«SkipRecordIf...»的对称性知«SkipRecordIf...»……6分
解得«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»……8分
这时«SkipRecordIf...»……10分
39、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……6分
40、讨论函数«SkipRecordIf...»的极值.
解:
由«SkipRecordIf...»得方程组«SkipRecordIf...»,解得«SkipRecordIf...»……4分
又由解得«SkipRecordIf...»,故为极小值
将«SkipRecordIf...»代入得,«SkipRecordIf...»
41、设函数«SkipRecordIf...»由方程«SkipRecordIf...»=0确定,且«SkipRecordIf...»具有连续的偏导数,证明:
«SkipRecordIf...»。
令«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»……6分
42、设«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解:
有题意«SkipRecordIf...»……3分
得:
«SkipRecordIf...»……6分
43、在xoy平面上求一点,使得它到x=0,y=0和x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最小。
解:
设所求该点为«SkipRecordIf...»,直线过点«SkipRecordIf...»
故所求点到直线距离可以下式计算:
«SkipRecordIf...»……2分
平方和最小,则«SkipRecordIf...»,求出«SkipRecordIf...»即所求点为«SkipRecordIf...»……8分
44、设«SkipRecordIf...»可微,证明«SkipRecordIf...».
解:
令«SkipRecordIf...»……4分
代入左式即«SkipRecordIf...»等于右边,得证
45、解:
«SkipRecordIf...»……1分
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»……6分
46、解:
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
47、解:
«SkipRecordIf...» ……3分
«SkipRecordIf...»……7分
«SkipRecordIf...»……8分
49、解:
由«SkipRecordIf...» ……1分
得«SkipRecordIf...»……2分
从而,«SkipRecordIf...»…4分
又«SkipRecordIf...»……6分
即«SkipRecordIf...»,由于«SkipRecordIf...»
所以无极值。
……8分
50、证明:
由于«SkipRecordIf...»……2分
显然随着«SkipRecordIf...»的值的不同而改变。
……4分
故极限«SkipRecordIf...»不存在。
51、解:
«SkipRecordIf...»……2分
«SkipRecordIf...»……3分
«SkipRecordIf...»……4分
«SkipRecordIf...»……5分
«SkipRecordIf...»……6分
52、解:
对方程两端关于«SkipRecordIf...»求偏导得:
«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»……4分
再对上式两端关于«SkipRecordIf...»求偏导得:
«SkipRecordIf...»……7分
从而有«SkipRecordIf...»……8分
53.方程«SkipRecordIf...»确定«SkipRecordIf...»,求«SkipRecord
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