平面直角坐标系知识梳理及经典题型.docx
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平面直角坐标系知识梳理及经典题型.docx
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平面直角坐标系知识梳理及经典题型
平面直角坐标系
知识结构图:
一、知识要点:
(一)有序数对:
有顺序的两个数a与b组成的数对。
记作(a,b)
(二)平面直角坐标系:
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;
1、坐标平面上的任意一点P的坐标,都和惟一的一对有序实数对()一一对应;其中,为横坐标,为纵坐标坐标;
2、轴上的点,纵坐标等于0;轴上的点,横坐标等于0;坐标轴上的点不属于任何象限
(三)四个象限的点的坐标具有如下特征:
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负
1、点P()所在的象限横、纵坐标、的取值的正负性;
2、点P()所在的数轴横、纵坐标、中必有一数为零;
(四)在平面直角坐标系中,已知点P,则
1、点P到轴的距离为;
2、点P到轴的距离为;
3、点P到原点O的距离为PO=
(五)平行直线上的点的坐标特征:
1、在与轴平行的直线上,所有点的纵坐标相等;
点A、B的纵坐标都等于;
2、2、在与轴平行的直线上,所有点的横坐标相等;
点C、D的横坐标都等于;
(六)对称点的坐标特征:
1、点P关于轴的对称点为,即横坐标不变,纵坐标互为相反数;
2、点P关于轴的对称点为,即纵坐标不变,横坐标互为相反数;
3、点P关于原点的对称点为,即横、纵坐标都互为相反数;
关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称
(七)两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:
1、若点P()在第一、三象限的角平分线上,则,即横、纵坐标相等;
2、若点P()在第二、四象限的角平分线上,则,即横、纵坐标互为相反数;
在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上
(八)利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下:
1、建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;
2、根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
3、在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
(九)用坐标表示平移:
见下图
二、题型分析:
题型一:
代数式与点坐标象限判定
此类问题通常与不等式(组)联系在一起,或由点所在的象限确定字母的取值范围,或由字母的取值范围确定点所在的象限.
【例1】在平面直角坐标系中,点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】由各象限点的特征知,点在第四象限,故选D.
【点评】解答这类问题所需的知识点是第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是(+,+)、(-,+)、(-,-)、(-,+).
【例2】若点()的横坐标与纵坐标互为相反数,则点一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】由题意知,解得于是点P的坐标为(1,-1),于是点P在第二象限.选B.
【点评】本题设置了一个小小的障碍,即先根据横坐标与纵坐标互为相反数列出方程解出m,然后才能根据会标特点确定象限.
【例3】若点P(a,b)在第四象限,则点M(b-a,a-b)在()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
答案:
B
分析:
第四象限横坐标大于0,纵坐标小于0.
【例4】如果a-b<0,且ab<0,那么点(a,b)在()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限,D、第四象限.
答案:
B
【例5】对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案:
C
【例7】点P(x,y)在第四象限,且|x|=3,|y|=2,则P点的坐标是 。
答案:
(3,-2)
【例8】若点M(1–x,x+2)在第二象限内,则x的取值范围为;
答案:
x>2
习题演练:
1、在平面直角坐标系中,点P()一定在象限。
2、点P(x-1,x+1)不可能在()
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、如果点M(a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第________象限。
4、点Q(3–a,5–a)在第二象限,则=;
5、点M(a,a-1)不可能在()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
6、如果<0,那么点P(x,y)在()
A、第二象限B、第四象限C、第四象限或第二象限D、第一象限或第三象限
题型二:
用代数式求坐标轴上的点坐标
例1:
在平面直角坐标系中,已知点P()在轴上,则P点坐标为
答案:
(7,0)
例2:
已知:
A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是.
答案:
(-2,2)或(2,2)
习题演练:
1、已知点A(m,-2),点B(3,m-1),且直线AB∥x轴,则m的值为。
2、已知线段AB=3,AB∥轴,若点A的坐标为(,2),则B点的坐标为;
3、已知点P(x2-3,1)在一、三象限夹角平分线上,则x=.
题型三:
求对称点的坐标
解答此类问题所需知识点是:
点(a,b)关于x轴的对称点是(a,-b),关于y轴的对称点是(-a,b),关于原点的对称点是(-a,-b).
【例1】在如图1所示的方格纸中,每个小正方形的边长为1,如果以所在的直线为轴,以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系,使点与点关于原点对称,则这时点的坐标可能是( )
A.B.
C.D.
【解析】根据题意,点与点关于原点对称,MN所在直线为y轴,于是可确定原点为图中O点位置,即x轴为过O点的一条横线,于是C点的坐标为(2,-1),即选B.
【点评】本题逆向考查了两点关于原点对称问题,求C点坐标的关键是确定直角坐标系的原点所在.
例1:
点M(2,-3)关于轴的对称点N的坐标为;关于轴的对称点P
的坐标为;关于原点的对称点Q的坐标为。
答案:
(2,3);(-2,-3);(3,-2)
例2已知点A(a,-5),B(8,b)根据下列要求,确定a,b的值.
(1)A,B两点关于y轴对称;
(2)A,B两点关于原点对称;(3)AB∥x轴;
(4)A,B两点在一,三象限两坐标轴夹角的平分线上.
【分析】
(1)两点关于y轴对称时,它们的横坐标互为相反数,而纵坐标相同;
(2)两点关于原点对称时,两点的横纵坐标都互为相反数;
(3)两点连线平行于x轴时,这两点纵坐标相同(但横坐标不同);
(4)当两点位于一,三象限两坐标轴夹角的平分线上时,每个点的横纵坐标相同.
【解答】
(1)当点A(a,-5),B(8,b)关于y轴对称时有:
(2)当点A(a,-5),B(8,b)关于原点对称时有
(3)当AB∥x轴时,有
(4)当A,B两点位于一,三象限两坐标轴夹角平分线上时有:
xA=yB且xA=yB即a=-5,b=8.
【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键.
习题演练:
1、点P(,)关于轴的对称点的坐标是,关于轴的对称点的坐标是,关于原点的对称点的坐标是;
2、在平面直角坐标系下,下列各组中关于原点对称又关于y轴对称的点是( )
A、(3,-2)(-3,-2)B、(0,3)(0,-3)
C、(3,0)(-3,0)D、(3,-2)(-3,2)
题型四:
根据坐标对称求代数式的值
例1:
已知点P和点A关于轴对称,那么=;
答案:
习题演练:
1、已知点A(2a+3b,-2)和点B(8,3a+2b)关于x轴对称,那么a+b=()
A、2B、-2C、0D、4
答案:
A
2、已知:
点P的坐标是(,),且点P关于轴对称的点的坐标是(,),则;
答案:
-3;
题型五:
根据到坐标轴的距离求坐标
例1:
过点A(2,-3)且垂直于y轴的直线交y轴于点B,则点B坐标为().
A、(0,2)B、(2,0)C、(0,-3)D、(-3,0)
答案:
C
例2:
已知点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则M点的坐标为().
A、(3,2)B、(-3,-2)
C、(3,-2)D、(2,3),(2,-3),(-2,3),(-2,-3)
答案:
D
例3:
若点P(,)到轴的距离是,到轴的距离是,则这样的点P有()
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
答案:
D
习题演练:
1、点P位于x轴下方,y轴左侧,距离x轴4个单位长度,距离y轴2个单位长度,那么点P的坐标是()
A、(4,2)B、(-2,-4)C、(-4,-2)D、(2,4)
答案:
B
2、点E(a,b)到x轴的距离是4,到y轴距离是3,则有()
A、a=3,b=4B、a=±3,b=±4C、a=4,b=3D、a=±4,b=±3
答案:
D
3、已知点P的坐标为(2–a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,则点P坐标是()
A、(3,3)B、(3,—3)C、(6,一6)D、(3,3)或(6,一6)
答案:
D
题型六:
根据图形的其他顶点坐标求点坐标
例1:
在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.
答案:
一
习题演练:
1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(–1,–1)、(–1,2)、(3,–1),则第四个顶点的坐标为()
A、(2,2)B、(3,2)C、(3,3)D、(2,3)
答案:
B
题型七:
根据点的坐标求图形的面积
例1:
已知点A(-2,0)B(4,0)C(-2,-3)。
(1)求A、B两点之间的距离。
(2)求点C到X轴的距离。
(3)求△ABC的面积。
答案:
(1)6;
(2)3;(3)9
习题演练:
1、在坐标系中,已知A(2,0),B(-3,-4),C(0,0),则△ABC的面积为()
A、4B、6C、8D、3
答案:
A
技巧:
割补法求面积
题型八:
求平移后的坐标
例1:
已知三角形的三个顶点坐标分别是(-1,4)、(1,1)、(-4,-1),现将这三个点先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则平移后三个顶点的坐标是()
A、(-2,2),(3,4),(1,7)B、(-2,2),(4,3),(1,7)
C、(2,2),(3,4),(1,7)D、(2,-2),(3,3),(1,7)
答案:
A
例2:
线段CD是由线段AB平移得到的.点A(–1,4)的对应点为C(4,7),则点B(–4,–1)的对应点D的坐标为()
A、(2,9)B、(5,3)C、(1,2)D、(–9,–4)
答案:
C
习题演练:
1、已知点,将它先向左平移4个单位,再向上平移3个单位后得到点,则点的坐标是.
答案:
(-1,1)
题型九:
图形变换后点的坐标
【例4】将点沿轴的正方向平移个单位得到点的坐标是( )
A.B.C.D.
【解析】将点P沿轴的正方向平移时,横坐标发生变化,然纵坐标是不变化的,于是点的坐标为(2,2),即选C.
图2
【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下
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- 平面 直角 坐标系 知识 梳理 经典 题型